20+代数学基础(4)环和域.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,环和域,环的定义,环(Ring):一个非空集合S上有两种运算：加法“+”和乘法“”，假设这两种运算满足以下性质，就称为环：,(R,+)是一个交换群，加法单位元记为0称为零元；,R关于乘法“”满足结合律:(ab)c=a(bc),并有单位元,记为1；,安排律成立:(a+b)c=ac+bc,c(a+b)=ca+cb.,注：0是抽象的写法，不同于整数中的0.,“+”和“”是抽象的运算,环的例子1,在通常的加法和乘法运算下，,Z,Q,R,和,C,都是环，加法单位元为,0,，乘法单位元为,1,环的例子2,对任意,n0,，在模,n,加法和模,n,乘法下，,Z,n,是一个环加法单位元为,0,，乘法单位元为,1,环的例子,(3),多项式环,Zx,环中的零元,对于环中的任意元素a,都有0a=a0=0,一般地，0与1不相等，否则1a=a,而0a=0，这说明环中只有一个元素，平凡情形，一般不考虑,所以0关于乘法没有可逆元,环的几共性质,设,R,是一个环,a,b R,有,:,a(-b)=(-a)b=-(ab),(-a)(-b)=ab,交换环,类似于交换群的定义，假设一个环关于乘,法运算具有可交换性，就称它为交换环。

无零因子环,设R是一个环,假设存在a,bR,a0,b0,但ab=0,那么称R是有零因子环,否则称R是无零因子环.,ab=0 a=0或b=0.,无零因子环的性质,性质1.设R是无零因子环,那么,假设a0,ab=ac,则b=c;,假设a0,ba=ca,则b=c.,性质,2.,设,R,是无零因子环,那么,R,中非零元的加法阶相等,或者为,或者为素数,.,子环、抱负和商环,子环,(subring),设R是一个环,S是R的非空子集,假设S关于R的运算也构成环,则称S是R的子环.,抱负(Ideal),设R是一个环,I是R的一个子环,假设a I,rR,有ra R,ar R,则称I是R的一个抱负.,抱负的例子,Fx为数域F上的一元多项式环,I=a1x+a2x2+anxn|aiF,n N,即I是由全部常数项为0的多项式构成的集合,则I是Fx的抱负.,主抱负,由R中一个元素a生成的抱负称为主抱负.,商环,设I是环R的抱负,在加法商群R/I上定义如下乘法,(x+I)(y+I)=(x+y)+I,则R/I关于加法和乘法构成一个环.,环同态,设R和R是两个环,f是R到R的一个映射,假设a,bR,均有,f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b),那么称f是R到R的环同态映射.,假设f是满射,那么称R和R同态;,假设f是双射,那么称R和R同构.,类似的有环同态根本定理,概念的类比,群,环,正规子群,理想,循环群,主理想,商群,商环,域的定义,域(Field),假设一个交换环中的非零元素关于乘法运算形成一个群，就称它为域。

域的例子1,在通常的加法和乘法运算下，,Q,R,和,C,都是域域的例子2,令,p,是一个素数，在模,p,加法和模,p,乘法,运算下，,Z,p,是一个域,.,也记为,F,p,或者,GF(p).,留意：,整数环Z不是域；,当n是合数时，Zn不是域有限群、子群、商群和群的阶的概念可,以直接推广到环和域中域的特征,F是域，其特征char(F)定义为单位元1的加法阶,即使得 的最小自然数n，假设不存在这样的自然数，那么记char(F)=.,性质：假设char(F)有限，那么确定是素数.,域的例子3,构造方法,域上的多项式环,不行约多项式,利用不行约多项式构造有限域,Z Z,p,Fx Fx/f(x),F,p,=Z,p,p,为素数,F为p阶有限域,f 为n次不行约多项式,Fx/f(x),为,p,n,阶有限域,域上的多项式的带余除法,设,F,是一个域，,f,g,是,Fx,中的两个多项式，且,g,不为,0,，类似于整数的除法：,f=gq+r,，,其中，,q,r,是,Fx,中的两个多项式，且,deg(r)deg(g).,带余除法的例子,f(x)=x,5,+x,4,+x,3,+x,2,+x+1F,2,x,g(x)=x,3,+x+1F,2,x,q=x,2,+x,r=x,2,+1,不行约多项式,定义:设F是一个域，f(x)Fx,f(x)的次数为正数，假设f(x)=g(x)h(x)，其中f(x),h(x)Fx,则g(x)和h(x)中必有一个为常数多项式,那么称f(x)是不行约的.,留意：,多项式的可约性依靠于该多项式定义在什么样的代数构造上.一个多项式在一种代数构造上不行约，但可能在另一种代数构造上就是可约的.,例,对于二次多项式f(x)=x2-2x+2：,.,1在复数域上可约；,2在实数域上不行约；,3在F3上不行约.,利用不行约多项式构造域,定义:Fx是域F上的多项式环,f,g,rFx,g0,满足f=gq+r,deg(r)deg(g),称r为f除以g的余式,记为rf(mod g).,考虑Fx中全部多项式模g(x)的余式,将这些集合称为Fx模g(x)的多项式,记为Fx/g(x).,利用不行约多项式构造域,令F是一个域，f(x)是Fx中的一个非零多项式，那么Fx/f(x)是一个环，当且仅当 f(x)在F上不行约时，Fx/f(x)是一个域.,f(x)是Fx中的一个不行约多项式，当F是域时，Fx/f(x)是一个域.将f(x)称为域Fx/f(x)的定义多项式.,定理,令F为含有p个元素的域，f(x)是F上的n次不行约多项式，那么域Fx/f(x)中元素的个数是pn.,Fx/f(x)是Fx中全部次数小于deg(f)=n、系数取遍F中全部p个元素的多项式全体构成的集合.共有pn个这样的多项式.,留意：在此定理中，并没有假设p是素数，事实上，F可以是任意域，称Fx/f(x)为由基域F通过域扩张得到的扩域.,P,n,阶域的存在性,Zp是阶为p的域；,对任意的有限域F和任意的正整数n，Fx中确定存在n次不行约多项式.,推论 对于每一个素数p和每一个正整数n，都存在一个阶为pn的有限域.,域Fpx/f(x)中构造是很清晰的，它仅是全部次数小于n、系数在Fp的全部多项式的集合；,在同构的意义下，这是唯一的阶为pn的有限域.,例子,(1),实数域:R,不行约多项式 f(x)=x2+1,Rx/f(x),(ax+b)+(cx+d)=(a+c)x+(b+d),(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd,=(ad+bc)x+(bd-ac)(mod f(x),Rx/f(x),C,ax+b,ai+b,求逆,g(x)=ax+b(a0),例子,(2),二元域F2,0+0=1,0+1=1 1+0=1,1+1=0,00=0,01=0 10=0,11=1,不行约多项式f(x)=x8+x4+x3+x+1,加法,乘法,求逆,。