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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题186解答题问题:1. 设A为n阶矩阵，λ1和λ2是A的两个不同的特征值．x1，x2是分别属于λ1和λ2的特征向量，试证明：x1+x2不是A的特征向量．答案:证：反证法假设x1+x2是A的特征向量，则存在数λ，使得A(x1+x2)=λ(x1+x2)，则 (λ-λ1)x1+(λ-λ2)x2=0． 因为λ1≠λ2，所以x1，x2线性无关，则矛盾．故x1+x2不是A的特征向量．已知矩阵2. 求x与y；答案:解：B的特征值为2，y，-1．由A与B相似，则A的特征值为2，y，-1．故 3. 求一个满足P-1AP=B的可逆矩阵P．答案:解：分别求出A的对应于特征值λ1=2，λ2=1，λ3=-1的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵，则P-1AP=B．问题:4. 设矩阵，问k为何值时，存在可逆矩阵P，使得，求出P及相应的对角矩阵．答案:解： 因λ=-1是二重特征值，为使A相似于对角矩阵，要求 r(λr-A)=r(-E-A)=1， 故当k=0时，存在可逆矩阵P，使得 当k=0时， 故当k=0时，存在可逆矩阵 使得 问题:5. 设矩阵有三个线性无关特征向量，λ=2是A的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得是对角矩阵．答案:解：A有三个线性无关的特征向量，λ=2是二重特征值，故特征矩阵2E-A的秩应为1． 解得x=2，y=-2，故 因，故λ3=6． 当λ=2时， 解得 当λ=6时， 解得 已知ξ=[1，1，-1]T是矩阵的一个特征向量．6. 确定参数a，b及ξ对应的特征值λ；答案:解：设A的特征向量ξ所对应的特征值为λ，则有Aξ=λξ，即 即 解得λ=-1，a=-3，b=0． 7. A是否相似于对角矩阵，说明理由．答案:解：当a=-3，b=0时，由 知λ=-1是A的三重特征值，但 当λ=-1时，对应的线性无关特征向量只有一个，故A不能相似于对角矩阵， 问题:8. 设A是n阶方阵，2，4，…，2n是A的n个特征值，E是n阶单位矩阵，计算行列式|A-3E|的值．答案:解：若λ为A的特征值，则λ-3位A-3E的特征值．所以A-3E的特征值为-1，1，3，…，2n-3，故|A-3E|=(-1)·1·3·…·(2n-3)=-(2n-3)!!．问题:9. 计算行列式 答案:解： 故原式=(a2+b2+c2+d2)2(负号舍去，取b=c=d=0，原式=a4，可知结果取“+”)． 问题:10. 计算 答案:解：方法一 把Dn按第一行展开，得 把递推公式①改写成 Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)，② 继续用递推关系②递推，得 Dn-αDn-1=β(Dn-1-αDn-2)=β2(Dn-2-αDn-3)=…=βn-2(D2-αD1)， 而 D2=(α+β)2-αβ，D1=α+β， Dn-αDn-1=βn-2(D2-αD1)=βn，③ ③式递推得Dn=αDn-1+βn=α(αDn-2+βn-1)+βn =…=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn． 除了将①式变形得②式外，还可将①式改写成 Dn-βDn-1=α(Dn-1，-βDn-2)，④ 由④式递推可得 Dn-βDn-1=αn，⑤ ③×β-⑤×α得 (β-α)Dn=βn+1-an+1， 当β-α≠0时，有 方法二 把原行列式表示成如下形式 再利用“拆项”性质，将Dn表示成2n个n阶行列式之和，可以看出Dn中第i列的第2子列和第i+1列的第1子列成正比，因此2n个行列式中只有n+1个不为零，即各列都选第1子列，或者由第i列起(i-n，n-1，…，1)以后都选第2子列，而前i-1列都选第1子列，最后得 Dn=αn+αn-1β+αn-2β2+…+αβn-1+βn． 问题:11. 设3阶矩阵A满足|A-E|=|A+E|=|A+2E|=0，试计算|A*+3E|．答案:解：由|A-E|=|A+E|=|A+2E|=0可知λ=1，-1，-2均满足特征方程|λE-A|=0，又由于A为3阶矩阵，可知1，-1，2为A的3个特征值，可知|A|=2，因此A*+3E=|A|A-1+3E=2A-1+3E有特征值 2×1-1+3=5，2×(-1)-1+3=1，2×(-2)-1+3=2， 故|A*+3E|=5×1×2=10． 问题:12. 设A是n阶矩阵，满足AAT=E(E是n阶单位矩阵，AT是A的转置矩阵)，|A|＜0，求|A+E|．答案:解：|A+E|=|A+AAT|=|A(E+AT)| =|A|·|(A+E)T|=|A|·|A+E| 问题:13. 设a1，a2，…，an是互不相同的实数，且 求线性方程组AX-b的解． 答案:解：因a1，a2，…，an互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|≠0，根据克拉默法则，方程组AX=b有唯一解，且 其中Ai是b代换A中第i列所得矩阵，则 |A1|=|A|，|Ai|=0，i=2，3，…，n． 故AX=b的唯一解为X=[1，0，0，…，0]T． 问题:14. 设B=2A-E，证明：B2=E的充分必要条件是A2=A．答案:证：B=2A-E，B2=(2A-E)(2A-E)=4A2-4A+E， 设15. 证明当n≥3时，有An=An-2+A2-E；答案:证：用归纳法， 因，验证得当n=3时，A3=A+A2-E，上式成立， 假设当n=k-1(n＞3)时成立，即Ak-1=Ak-3+A2-E成立，则 Ak=AAk-1=A(Ak-3+A2-E)=Ak-2+A3-A =Ak-2+(A+A2-E)-A=Ak-2+A2-E， 即n=k时成立，故An=An-2+A2-E对任意n(n≥3)成立． 16. 求A100．答案:解：由上述递推关系可得 A100=A98+A2-E=(A96+A2-E)+A2-E =A96+2(A2-E)=…=A2+49(A2-E) 问题:17. 证明：若A为n阶方阵，则有|A*|=|(-A)*|(n≥2)．答案:证：设A=(aij)n×n，|A|的元素a的代数余子式为Aij，则|-A|的元素-aij的代数余子式为 Bij=(-1)n-1Aij， 于是(-A)*=(-1)n-1(Aji)n×n=(-1)n-1A*，所以 |(-A)*|=|(-1)n-1A*|=[(-1)n-1]n|A*|=|A*|． A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，试证明：18. 答案:证：当aij=Aij时，有AT=A*，则ATA=AA*=|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以．而tr(AAT)=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|＞0．在AAT=|A|E两边取行列式，得|A|n-2=1，|A|=1． 反之，若ATA=E且|A|=1，则A*A=|A|E且A可逆，于是ATA=A*A，AT=A*，即aij=Aij． 19. 答案:解：当aij=-Aij时，有AT=-A*，则ATA=-A*A=-|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即aij不全为0，所以．在ATA=-|A|E两边取行列式得|A|=-1． 反之，若ATA=E且|A|=-1，由于A*A=|A|E=-E，于是ATA=-A*A．进一步，由于A可逆，得AT=-A*，即aij=-Aij． 问题:20. 证明：方阵A与所有同阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A为对角矩阵．答案:证：充分性 A是对角矩阵，则显然A可与任何对角矩阵可交换． 必要性设 与任何对角矩阵可交换，则应与对角元素互不相同的对角矩阵可交换，即 故biaij=bjaij，bi≠bj，则aij=0，i≠j，i=1，2，…，n，j=1，2，…，n，故是对角矩阵．问题:21. 证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．答案:证：设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，则 A+B=[α1+β1，α2+β2，…，αn+βn]， 由于A+B的列向量组α1+β1，α2+β2，…，αn+βn都是由向量组α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn线性表出的，故 r(α1+β1，α2+β2，…，αn+βn)≤r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)． 又由于 r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn)≤r(α1，α2，…，αn)+r(β1，β2，…，βn)， 故 r(A+B)=r(α1+β1，α2+β2，…，αn+βn) ≤r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn) ≤r(α1，α2，…，αn)+r(β1，β2，…，βn) =r(A)+r(B)． 问题:22. 设A，B是n阶矩阵，证明：AB和BA的主对角元素的和相等．(方阵主对角元素的和称为方阵的迹，记成tr(A)，即)答案:证：设 且记AB=C=(cij)n×n，BA=D=(dij)n×n，则 问题:23. 已知3阶矩阵A的逆矩阵为，试求其伴随矩阵A*的逆矩阵．答案:解： 问题:24. 已知X=AX+B，其中，求矩阵X．答案:解： 问题:25. 已知对于n阶方阵A，存在正整数k，使得Ak=0．试证明矩阵E-A可逆，并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位矩阵)．答案:证：E=E-Ak=Ek-Ak=(E-A)(E+A+…+Ak-1)，所以E-A可逆，且 (E-A)-1=E+A+…+Ak-1．。