《高等数学》例题解析-第二十讲 二阶线性微分方程.pdf

第二十讲：二阶线性微分方程 一、单项选择题 131．以212xxyc ec e为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 ( ) A． 6yyy 000.B． 60yyyC． 6yyyD． 60yyy解： 122,3rr 2230,6rrrr 故有 选 D 6yyy 02． 的通解为 ( ) 0yyA． 12xycc x e B． 12xycc e C． 12cossinycxcx D． 12xxyc ec e 解： 221,210,1,1rrr  12xxyc ec e 选 D 3．的待定特解 24yyx1y ( ) A． B． 2AxBxc2x AxBxc C． 2AxB D． 2x AxB 解：(1)240rr, 120,4rr  (2) 0 是特征单根 2yx AxBxc   选 B 4．22xyyye的待定特解( ) y A． xAxB e B． 2xAx e C． xAe D． xAxe 解：(1)221rr0,  2110rr , 121,12rr.  (2)1 不是特征根,xyAe   5．2xyyx e的待定特解( ) y A．2()xAxBx C e B．2()xx AxBxC e C．2xAx e D．3xAx e 解 ： (1)20rr, ∴ 特 征 根2*12( )2xxxyy xxxeyCC e (2)1 不是特征根, 2xyx AxBxC e  选 B 6． 若1y和2y是0ypyqy(, p q为常数)的两个特解,则1122yc yc y (为任意常数)是 ( ) 12,c cA． 方程的通解 B． 方程的特解 C． 方程的解 D． 不一定是方程的解 解：1122yc yc y是方程的解,选 C (注:若1y,2y线性无关,则1122yc yc y是方程通解) 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 7．以12 2xycc x e为通解的二阶线性常系数齐次微分方程是 解：重根121,1rr210r0 221rr ,故方程为: 20yyy 8．的通解 10340yyy 解： 210340rr1,2101004 342r  6552ii3 通解 5cos3sin3xyeAxBx9．369xyyyxe的待定特解 y  解：(1). 269rr0230r , 1,23r  (2)是特征重根,   312xycc x e   10．1xyyxex的待定特解 y  解：(1)20rr,120,1rr (2)xyyxe,是 特 征 单根,1 xyxAxB e  (3)1yyx,是 特 征 单根,0 Dyx Cx 故: xyx AxB ex CxD  11．222xyyyex的待定特解 y  解：(1)2220rr 1,224812ri  (2)∵121,0  都不是特征根 ∴12xyyyAeBxC 12．设1yx为yyx的解,212xye 为xyye的解,则xyyxe的通解y  解：(1)210r  , 1,2ri 12cossinycxcx (2)yx ,2xey  2xeyx   (3)通解121cossin2xycxcxxe 三、计算题 313．求16的通解. 80yyy解： 216810rr  2410r ,1,214r 方程的通解:1412xycc x e 14．求的通解(为常数) 0ykyk解： 220rkrk (1)当时, 0k 0,yy c12yc xc (2)当时,,0k 2rk 1,2rk   12kxkxyc ec e  (3)当时,0k 1,2rk i 12cossinyckxckx 15．求满足, 613yyy 01 0y3 0y 的特解. 解：(1) 26130rr1,2636522r 32i   (2)通解 312cos2sin2xyecxcx(3)特解: 03y,13c 3123cos2sin2xyecxc  x 3122sin22cos2xecxcx  01y ,2192c   ,24c 特解:33cos24sin2xyexx 16． 已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为1,212ri ,求此微分方程. 解：(1)特征方程: 12120riri   2212ri0,2214ri 021i  2rr,2140  225rr0 (2)微分方程:25yyy0 17．求239yyx的通解. 解：(1)230rr， 123,0rr  312xy xcc e (2)0 是特征单根. 2yx AxBxC  32AxBxCx 2132yAxBxc  62yAxB 代入原方程:  422629639AxBAxBxcx 比较系数,得 A=1,B=-1,C=23, 3223yxxx (3)通解:  yy xy 3321223xcc exxx 18．求2xyyyxe的通解. 解：(1),220rr122,1.rr   212xxy xc ec e (2) 不是特征根, 1  ()xyAxB e  ()xyAAxB e   ()xyAxABA e  代入原方程: (222 )AxABAAxBAxB x比较系数,A=12,-A-2B=0,12=2B,B=14 1)42xxye   (3)通解:  yy xy 2121)42xxxxc ec ee 19．求23xyyye的通解. 解：(1) 21,2210,rrr   12xy xcc x e (2)1  是特征重根,2xyx e    2xyxxe      2222xyxxx  e23 代入原方程: 224242A xxxxx 323,2AA 故有232xyx e  (3) 通解:  yy xy 21232xxcc x ex e 20．求xyyxe的通解. 解：(1)20rr.120,1rr 12( )xy xcc e (2)求**12:yyy* 考虑'''1...(1 )yyx ∵10是特征单根 *21()yx AxBAxBx∵, *'12yAx B*''12yA代入得 2A-2Ax-B=x 比较系数得(1 ) 12,1AB  ,*2112yxx  再考虑'''...(2 )xyye 1∵21是特征单根 ∴*2xyCxe  5'2(1)xxyC xe，''2(2)xxyC xe 代入(2:[() 2)(1)]xxxxee 比较系数得 C=1, 2xxyxe 故有*212xyxxx e (3)通解2*12( )2xxxyy xyCCex xe  四、 证明题（本题 8 分） 21． 设  12,yxyx是 ypyqyf x (, p q为常数)的两个不同的解,证明:   21yyxyx是方程 0ypyqy的解. 证：(1)是的解, 1yx ypyqyf x  1...... 1qyfx11ypy (2)是 2yx ypyqyf x的另一个解.  yp222...... 2yqyf x (3) 得:  21  212121yypypyqyqyf xf x2121210yyp yyq yy21故yyy0ypyqy是的解 证毕 五、综合题（每小题 10 分，共 30 分） 22．设函数( )440yy xyyy由及 02y,  0y4 所确定。

求广义积分  0y x dx解：(1)2440rr2 1,220,rr2  故方程的通解:212xycc x e (2)求特解:  01,20yc02e12c 得 又22222(2)xxyc x ec  e 又 y 04 ,0242(20)ec   故20c ，特解22xye (3) 2002xy x dxedx 22002xxxeed  20011xeelimx    1dx0y x 23．  00xxxf xexf t dttf t dt 其f连续,求 f x的具体表达式. 解：(1)    0xxfxexf xf t dtxf x   xfxef x,  xfxf xe   ,0ff 011 (2) 012r10 .1,2ri  (2)解微分方程6 12cossinf xcxcx 012120.0,kkrrrrmm 02 不是特征根,1 12ktmscc e  ,xxfxAefxAe020 是特征单根,sAt   xfxAe代入  xfxf xesA  ,0s 代入微分方程,得0kAgmxxxAeAee, 11,22xAfxe,mgmgAstkk 03通解:  yf xfx121cossin2xcxcxe03通解:12ktmmgscc etk(3)求特解: 111101.122fcc(3)求特解: 1200,0...... 1scc1211sincossin22xycxcxxe   2ktmc kmgs temk  2101,12fc  故:212c  22200m gsck 111cossin222xf xxxe答:  1cossin2xf xxx 22(1)ktmm gmgs tetkk e24． 一潜水艇质量为,从水面由静止开始下沉,所受阻力与下沉速度成正比(比例系数为)求下沉深度与时间函数关系mk ss t 解：(1) 列出微分方程:下沉过程中,作用力为重力,阻力为.由牛顿第二定律mgkvFma，msmgks000,0ttkssgmss  。