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第二章 矩阵 10 矩阵【【基本要求基本要求】】1. 理解矩阵的概念.2. 熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及运算规律, 以及方阵的幂、行列式，对角矩阵的定义及其性质.3. 理解逆矩阵的概念.4. 掌握矩阵的初等变换知道初等变换与初等矩阵、可逆矩阵与初等矩阵的关系5. 熟练掌握求逆矩阵的两种方法:伴随矩阵法和初等变换法.6、理解矩阵的秩的概念和基本性质，特别是“矩阵的初等变换不改变矩阵的秩”这一性质 7、熟练掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩的方法【【主要内容主要内容】】一、重要定理：一、重要定理：定理 1 设 A，B 是 n 阶矩阵，则BAAB 定理 2 如果 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵唯一定理 3 n 阶矩阵 A 可逆，其中,)(021sPPPAnArAL），，是初等矩阵（siPiL1定理 4 初等阵左（右）乘给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵作相应的初等行（列）变换定理 5 初等矩阵可逆，且其逆为同类型的初等矩阵，即。

)()()),1(())((,111kPkPkiPkiPPPijijijij二、重要公式、法则：二、重要公式、法则：1．加法与数乘．加法与数乘（1）A+B=B+A; (2 ) (A+B)+C=A+(B+C); (3 ) A+O=O+A=A; (4 ) A+(-A)= O.; (5 ) k (l A)=(kl)A; (6 ) (k+l)A=kA+lA;(7 ) k(A+B)=kA+kB; (8 ) 1A=A, 0A=O.2. 乘法乘法（1）(AB)C=A(BC) (2)A(B+C)=AB+AC (3 ) (kA)(lB)=kl(AB) (4)A0=0A=O3. 转置转置(1) （AT）T=A; (2) (A+B)T=AT+BT ; (3) (kA)T=kAT ; (4) (AB)T=BTAT; 线性代数114. 可逆可逆(1) ; (2) ; (3) ;  AA11TTAA)()(11 )0(111kAkkA(4) .111)(ABAB5. 伴随矩阵伴随矩阵（1）; （2）; (3) ;EAAAAA***)*(1AkkAnTTAA)()(**(4) ; (5) .AAAA)()(11*1nAA6. n 阶矩阵的行列式（阶矩阵的行列式（其中分别是 n 阶、n 阶、m 阶方阵）C,B,A（1） ; (2); (3) ; (4) ; AATAkkAnBAAB 11 AA(5) ; (6) ;1nAABABOOA B*OA BO*A(7) (其中分别是 n 阶、m 阶方阵)。

CA) 1(OCAOmnC,A三、二阶方阵：三、二阶方阵：（1）;bcadacbdAdcbaA       11（2）即主对角线上的元素调换位置，号”记法：“主换位，副变    acbdA*副对角线上的元素变化符号四、分块阵：四、分块阵：；;  111BOOA BOOA   OABO OBAO111；.  11111BOCBAA BOCA   11111BCABOA BCOA五、可逆的判断法：五、可逆的判断法：1. n 阶矩阵 A 可逆A 的行（列）向量组线性无关nArA)(0仅有零解，0 AXsPPPAL21），，是初等矩阵（siPiL1第二章 矩阵 122. 上三角阵的逆阵仍为上三角阵，且其主对角线上的元素为其原对角元素的倒数，下三角类同六、正交阵：（六、正交阵：（））IAAAATT1. A 正交，; 2. A 正交正交; 3. A 正交正交; 1ATA1A4. A 正交正交; 5. A 正交，; 6. A、B 正交AB 正交。

*ATA1A口诀口诀：：1 1、题设条件与代数余子式、题设条件与代数余子式或或有关，则立即联想到用行列式按行有关，则立即联想到用行列式按行( (列列) )展开定展开定ijA*A理以及理以及EAAAAA**2 2、若涉及到、若涉及到 A A、、B B 是否可交换，即是否可交换，即 ABAB＝＝BABA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析则立即联想到用逆矩阵的定义去分析3 3、、若题设若题设 n n 阶方阵阶方阵 A A 满足满足 f(A)=0f(A)=0，要证，要证 aA+bEaA+bE 可逆，则先分解出因子可逆，则先分解出因子 aA+bEaA+bE典型例题典型例题】】例例 1 设为三阶方阵，为的伴随矩阵，,求行列式的值AA*AA 1 2()*321AA解解: 由 , ()31 311AAAA AA*111 2得 ()()*321 32 32 38 2 7116 2 7111131AAAAAAA    例例 2 若方阵满足矩阵方程 ,其中为单位阵，证明： 可逆并求其逆AAAIO232IA矩阵证明证明: 将方程改写为 则 AAI232IAAAAI1 23 21 23 22()可逆，且AAAI1 23 2 例例 3 设为可逆阵，且的元素全为整数，试证 的元素全为整数的充要条件为AAA1 =1 或。

A1证明证明: 必要性：因为的元素全为整数， 所以 也是整数，又 的元素为整数，AAA1则 也为整数，而 ,所以 =1 或A1AA11A1充分性： 因为 =1 或，且 , 又因为的元素全为整数，则 A1AAA11*AA*的元素也全为整数，所以 的元素全为整数A1例例 4 设方阵满足 ()，则可逆，．AAOkkNIA()IAIAAk11L证明证明: QIAIAIAAIkk))((1L可逆，且IA11)(kAAIAIL例例 5 设为阶方阵，其中可逆且，证明：都可逆 A B,nBAABBO22AAB和 线性代数13证明证明: 由得即AABBO22AABB22 AABB（） 2两边取行列式  A ABAABBBn  （）221又可逆 ， ，从而；都可逆Q BB0AAB00,A AB,例例 6 设 1.试证：当时，有 2.求A   100 101 010n3AAAInn22A100解解: 1.证 采用数学归纳法: 当时，经计算 n  3AA AI32 设（）时结论成立，即：n14nAAAInn132两边乘以得： AAA AA A A Ann132将 代入，得 AA AI32 AAAInn222. AAAIAAIAAI10 09 829 622224 9()()L5 04 92AI  100 5010 5001例例 7 设(2E－C－1B)AT=C－1,其中 E 是 4 阶单位矩阵,AT是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵，求 A。

 1000210002101021C,1000210032102321B解解: 由题设得 C(2E－C－1B)AT=E，即 (2C－B)AT=E由于，|2C－B|=1≠0，故 2C－B 可逆，1000210032104321BC2于是 A=[(2C－B)－1]T=[(2C－B)T]－1121001210012000112340123001200011【【自我练习及解答自我练习及解答】】一、填空题一、填空题1 1．．已知是三阶方阵，B 是四阶方阵，且 则 A, 3|B| , 2|A|________;BA第二章 矩阵 142．设是阶方阵，，则＝ ，＝ ；An2A2AA23．____;__________13120421013104124311    4． 设，是A的伴随矩阵，则（）－1= ；   543022001 A*A*A5． 设 A 为 n 阶可逆阵，是A的伴随矩阵，则A= ，若A是可逆的，则(*A*A)－1 = ；*A6． 已知矩阵，则1200030000120021A_____;____,___,||146AAA7． 8. _;__________231112 312       _________;43211    二、. 选择题（1）设 ，，  333231232221131211aaaaaaaaa A 133312321131131211232221aaaaaaaaaaaa B，， 则必有（ ）   1000010101P   1010100012P(A). (B). (C). (D). BPAP21BPAP12BAPP21BAPP12（2）设 A 是任一阶方阵，是其伴随矩阵，为常数，且，则必)3( nn*Ak1, 0 k有 *)(kA(A) (B) (C) (D) *kA*1Akn*Akn*1Ak（3）A 为四阶方阵，则|3A|为( ).（A）43|A|；（B）3|A| （C）4|A| （D）34|A| 线性代数15 （4）若|A|=2，且 A 为 5 阶方阵，则|－2A|=（ ）（A）4 （B）－4 （C）－64 （D）64；(5) 设 A 和 B 都是 n 阶方阵，且|A+AB|=0，则有（ ）（A）|A|=0（B）|I+B|=0 （C）|A=0|或|I+B|=0 （D）|A|=0 且|I+B|=0 (6) 设矩阵 A、B、C 满足 AB=AC，且 A≠0，则 。

A) B=C；（B）B≠C；（C）B 可能等于 C，也可能不等于 C三、判断题: (若错,请举反例;若对,请论证)（1）若则 （ ）,2OA ;OA （2）若，则或 （ ）AA 2OA ; IA （3）若，则； （ ）OAB OBA （4）设是阶方阵，若存在阶非零方阵 B，使得 AB=BA=B，则 A=I；（ ）Ann（5）若 AX=AY，则 X=Y 。