从透视学到射影几何.pptx

从透视学到射影几何透视视学广义透视学指各种空间表现的方法；狭义透视学特指14世纪逐步确立的描绘物体，再现空间的线性透视和其他科学透视的方法；现代由于对人的视知觉的研究，拓展了透视学的范畴、内容狭义透视学（即线性透视学）方法是文艺复兴时代的产物，即合乎科学规则地再现物体的实际空间位置这种系统总结研究物体形状变化和规律的方法，是线性透视的基础线透视 线透视是一种把立体三维空间的形象表现在二 维平面上的绘画方法，使观看的人对平面的画 有立体感，如同透过一个透明玻璃平面看立体 的景物交点透视法（或称直线透视法Linear perspective）前缩透视法（foreshortening）仰视角透视画法（sotto in su）射影几何射影几何的某些内容在公元前就已经发现了， 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家 就开始研究透视法，也就是投影和截影但直 到十九世纪才形成独立体系，趋于完备1822年法国数学家彭赛列发表了射影几何的 第一部系统著作他是认识到射影几何是一个 新的数学分支的第一个数学家早期发展十七世纪，当笛卡儿和费马（Pierre de Fermat ，一译费尔马）创立的解析几何问世的时候，还 有一门几何学同时出现在人们的面前。

这门几何 学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古 希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺 复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和 成长准备了充分的条件这门几何学就是射影几 何学基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就 开始研究透视法，也就是投影和截影早在公元 前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作 为正圆锥面的截线来研究在4世纪帕普斯的著 作中，出现了帕普斯定理在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非 常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图 形那时候，人们发现，一个画家要把一个事物 画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影 中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描 绘出来在这个过程中，被描绘下来的像中的各 个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有 的却保持不变这样就促使了数学家对图形在中 心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许 多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何 这门学科射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的 一个重要分支，主要是在十七世纪在17世纪 初期，开普勒最早引进了无穷远点概念稍后 ，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位 法国数学家——笛沙格（或译作德扎格）和布 莱士·帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时 候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一 名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理 论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理 1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和 平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了 许多几何学的新概念他的朋友笛卡尔、帕斯 卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认 为他是圆锥曲线理论的真正奠基人帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要 的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接 于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线 ”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影 几何学中的一条重要定理1658年，他写了《 圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几 何方面的内容迪沙格和他是朋友，曾经敦促 他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥 曲线的许多性质简化成少数几个基本命题作为 目标帕斯卡接受了这些建议后来他写了许 多有关射影几何方面的小册子不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联 性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积) 但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用 严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的 研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几 何。

他们所用的是综合法，随着解析几何和微 积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何 的探讨也中断了射影变换在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”欧式 直线再加上一个无穷点就是射影几何中的直线，如果一 个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条 直线共有的无穷远点通过同一无穷远点的所有直线平 行 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直 线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的 时候才能求交点的限制就消失了 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影 和平行射影两者就可以统一了平行射影可以看作是经 过无穷远点的中心投影了这样凡是利用中心投影或者 平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以 叫做射影变换了原理与性质在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把 “过一点作一直线”和“在一直线上取一点” 叫做对偶运算在两个图形中，把其中一图形 里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它 的对偶运算，结果就得到另一个图形这两个 图形叫做对偶图形在一个命题中叙述的内容 只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素 改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算 的时候，结果就得到另一个命题。

这两个命题 叫做对偶命题对偶原理：在射影平面上，如果一个命题成立， 那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原 则同样，在射影空间里，如果一个命题成立， 那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则射影变换有两个重要的性质： （1）射影变换使点列变点列，直线变直线，线 束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不 变性； （2）射影变换下，交比不变交比是射影几何 中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间 的射影对应例如在一个图形中，S为中心点， 从S画出四条射线组成一个固定的 线束另一条直线与线束分别交于 A、B、C、D AB/CD：AD/BC 或AB·CD/BC·AD 叫做这个线束上 的交比不论直线L怎样取法（如 l′ ），只要线束固定，交比的值总 是不变的交比的不变性，就是射 影变换下不变性质中最基本一种性 质射影几何里许多重要的性质都 是从交比性质推导出来的冷门的研究如果就几何学内容的多少来说，射影几何学< 仿射几何学< 欧氏几何学，这就是说欧氏几何 学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫 乏比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学 的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象 (如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不 能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也 不能讨论图形的度量性质。

1872年，德国数学家F·克莱因(Felix Klein)在爱 尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提 出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变 换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学 ，而在每一种几何学里，主要研究在相应的变换 下的不变量和不变性The EndThe EndThe EndThe End。