电子技术基础数字部分第四讲212卡诺图补充最大项及例题.ppt
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2.2 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法Karnaugh map clear measure of Logic Algebra2.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式2.2.1 最小项的定义及性质最小项的定义及性质2.2.4 用卡诺图化简逻辑函数用卡诺图化简逻辑函数2.2.3 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数 二二. .最大项的定义及其性质最大项的定义及其性质 1.1.最大项最大项:在n变量逻辑函数中，若M为n个变量之和，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在M中出现一次则称M为该组变量的最大项最大项最大项 使使最大项为最大项为0的变量取的变量取值值对应的对应的十进制数十进制数编号编号 A B CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + CA + B + C0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101234567 M0M1 M2 M3M4 M5M6M7 2.2.最大项的主要性质，这就是：最大项的主要性质，这就是： ①①在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且只有一个最大项的值为大项的值为0 0。
②②全体最大项之积为全体最大项之积为0.0.③③任意两个最大项之和为任意两个最大项之和为1 1④④只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相同变量之和 3.3.最大项和最小项之间关系最大项和最小项之间关系 三、逻辑函数的两种标准形式三、逻辑函数的两种标准形式 1.1.逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式Minister expression of logic function Minister expression of logic function 利用利用A+A=1,A+A=1,可把任一逻辑函数化为可把任一逻辑函数化为最小项之和的标准形式最小项之和的标准形式2.2.逻辑函数的最大项之积形式逻辑函数的最大项之积形式 上面已经证明，任何一个逻辑函数皆可化为最小项之和的形式同时，从上面已经证明，任何一个逻辑函数皆可化为最小项之和的形式同时，从最小项的性质又知道全部最小项之和为最小项的性质又知道全部最小项之和为1 1由此可知，若给定逻辑函数由此可知，若给定逻辑函数为为Y=∑miY=∑mi，则，则∑∑mimi以外的那些最小项之和必为以外的那些最小项之和必为Y Y，即，即, ,故利用反演定理故利用反演定理可将上式变换为最大项乘积的形式可将上式变换为最大项乘积的形式例：例：Y=AB C+BC,Y=AB C+BC,Y=AB C+(A+A)BC=AB C +ABC+A BC=m3+m6+m7Y=AB C+(A+A)BC=AB C +ABC+A BC=m3+m6+m7 五五五五. . . .卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数卡诺图化简逻辑函数(Using Karnaugh map clear logic function(Using Karnaugh map clear logic function(Using Karnaugh map clear logic function(Using Karnaugh map clear logic function) )卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤卡诺图化简逻辑函数时可按如下步骤 ① ① ① ①将函数化简为最小项之和的形式将函数化简为最小项之和的形式将函数化简为最小项之和的形式将函数化简为最小项之和的形式( ( ( (或列出逻辑函数真值表或列出逻辑函数真值表或列出逻辑函数真值表或列出逻辑函数真值表) ) ) )；；；； ② ② ② ②画出表示该逻辑函数的卡诺图；．画出表示该逻辑函数的卡诺图；．画出表示该逻辑函数的卡诺图；．画出表示该逻辑函数的卡诺图；． ③ ③ ③ ③找出可以合并的最小项找出可以合并的最小项找出可以合并的最小项找出可以合并的最小项( ( ( (画圈画圈画圈画圈) ) ) )；；；； ④ ④ ④ ④写出最简写出最简写出最简写出最简““““与或与或与或与或””””逻辑函数表达式。
逻辑函数表达式逻辑函数表达式逻辑函数表达式例例2.2.3 2.2.3 用图形化简法对逻辑函数用图形化简法对逻辑函数F=∑m4(1,2,4,9,10,11,13,15)F=∑m4(1,2,4,9,10,11,13,15)进行化简进行化简解：据化简步骤解：据化简步骤, ,因逻辑函数已表示成最小因逻辑函数已表示成最小项之和的形式，可以省去步骤项之和的形式，可以省去步骤①①②②画出逻辑函数画出逻辑函数F F的卡诺图的卡诺图 ③③画圈，将相邻画圈，将相邻“1 1”格圈起来，先圈单个格圈起来，先圈单个“l l”格，再圈格，再圈2 2个个“l l”格，格，4 4个个“1 1”格格, ,合并最小项合并最小项④④写出最简写出最简“与或与或”逻辑函数表达式逻辑函数表达式AB00011110CD 00 01 11 10 01100100010110111ADB C DB C D ABC D ①①①①““““1 1 1 1””””格允许被一个以上的圈所包围，这是因为格允许被一个以上的圈所包围，这是因为格允许被一个以上的圈所包围，这是因为格允许被一个以上的圈所包围，这是因为A+A=AA+A=AA+A=AA+A=A；；；；②②②②““““1 1 1 1””””格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不相等；格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不相等；格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不相等；格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不相等； ③③③③圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个““““与与与与””””项相对应，圈数越少，项相对应，圈数越少，项相对应，圈数越少，项相对应，圈数越少，表达式中的表达式中的表达式中的表达式中的““““与与与与””””项就越少；项就越少；项就越少；项就越少；④④④④圈的面积越大越好，但必为圈的面积越大越好，但必为圈的面积越大越好，但必为圈的面积越大越好，但必为2 2 2 2i i i i个方块。
因为圈越大，消去的变量就个方块因为圈越大，消去的变量就个方块因为圈越大，消去的变量就个方块因为圈越大，消去的变量就越多；越多；越多；越多； ⑤⑤⑤⑤每个圈至少包含一个新的每个圈至少包含一个新的每个圈至少包含一个新的每个圈至少包含一个新的““““1 1 1 1””””格，否则这个圈是多余的格，否则这个圈是多余的格，否则这个圈是多余的格，否则这个圈是多余的可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有一个新一个新一个新一个新‘‘‘‘1 1 1 1’’’’格格格格””””画圈应注意的几个问题画圈应注意的几个问题画圈应注意的几个问题画圈应注意的几个问题 画圈应注意的几个问题①①“ “1 1” ”格允许被一个以上的圈所包围，这是因为格允许被一个以上的圈所包围，这是因为A+A=AA+A=A；；②②“ “1 1” ”格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不格不能漏画，否则简化后的逻辑表达式与原式不相等；相等； ③③圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个圈的个数要尽量少，因为一个圈与一个“ “与与” ”项相对项相对应，圈数越少，表达式中的应，圈数越少，表达式中的“ “与与” ”项就越少；项就越少；④④圈的面积越大越好，但必为圈的面积越大越好，但必为2 2i i个方块。
因为圈越大，消个方块因为圈越大，消去的变量就越多；去的变量就越多； ⑤⑤每个圈至少包含一个新的每个圈至少包含一个新的“ “1 1” ”格，否则这个圈是多余格，否则这个圈是多余的 “可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必可以重画，不能漏画，圈数要少，圈面要大，每圈必有一个新有一个新‘ ‘1 1’ ’格格” ” 具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简具有无关项的逻辑函数及其化简①①①①约束项：约束项：约束项：约束项：恒等于恒等于恒等于恒等于0 0 0 0的最小项叫做约束项的最小项叫做约束项的最小项叫做约束项的最小项叫做约束项 . . . . ②②②②任意项任意项任意项任意项 ：在输入变量的某些取值下函数值是：在输入变量的某些取值下函数值是：在输入变量的某些取值下函数值是：在输入变量的某些取值下函数值是1 1 1 1还是还是还是还是0 0 0 0皆可，并不影响电路皆可，并不影响电路皆可，并不影响电路皆可，并不影响电路的功能在这些变量取值下，其值等于的功能在这些变量取值下，其值等于的功能在这些变量取值下，其值等于的功能在这些变量取值下，其值等于l l l l的那些最小项称为任意项。
的那些最小项称为任意项的那些最小项称为任意项的那些最小项称为任意项 在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于在存在约束项的情况下，由于约束项的值始终等于0 0 0 0，所以既可以把约，所以既可以把约，所以既可以把约，所以既可以把约束项写进逻辑函数式中，也可以把约束项从函数式中删掉，而不影响函束项写进逻辑函数式中，也可以把约束项从函数式中删掉，而不影响函束项写进逻辑函数式中，也可以把约束项从函数式中删掉，而不影响函束项写进逻辑函数式中，也可以把约束项从函数式中删掉，而不影响函数值同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输数值同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输数值同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输数值同样，既可以把任意项写入函数式中，也可以不写进去，因为输入变量的取值使这些任意项为入变量的取值使这些任意项为入变量的取值使这些任意项为入变量的取值使这些任意项为l l l l时，函数值是时，函数值是时，函数值是时，函数值是l l l l还是还是还是还是0 0 0 0无所谓。
无所谓③③③③逻辑函数式中的无关项：我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的逻辑函数式中的无关项：我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的逻辑函数式中的无关项：我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的逻辑函数式中的无关项：我们把约束项和任意项统称为逻辑函数式中的无关项 这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可这里所说的无关是指是否把这些最小项写入逻辑函数式无关紧要，可以写入也可以删除以写入也可以删除以写入也可以删除以写入也可以删除 ④④④④无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用无关项在化简逻辑函数中的应用 : : : : 合并最小项时，究竟把卡诺图上的合并最小项时，究竟把卡诺图上的合并最小项时，究竟把卡诺图上的合并最小项时，究竟把卡诺图上的“ “ⅩⅩⅩⅩ” ” ( ( ( (或或或或φ)φ)φ)φ)作为作为作为作为1(1(1(1(即认为函数即认为函数即认为函数即认为函数式中包含了这个最小项式中包含了这个最小项式中包含了这个最小项式中包含了这个最小项) ) ) )，还是作为，还是作为，还是作为，还是作为0(0(0(0(即认为函数式中不包含这个最小即认为函数式中不包含这个最小即认为函数式中不包含这个最小即认为函数式中不包含这个最小项项项项) ) ) )对待，应以得到的相邻最小项矩形组合最大、而且矩形组合数目最对待，应以得到的相邻最小项矩形组合最大、而且矩形组合数目最对待，应以得到的相邻最小项矩形组合最大、而且矩形组合数目最对待，应以得到的相邻最小项矩形组合最大、而且矩形组合数目最少为原则。
少为原则少为原则少为原则 AB00011110CD 00 01 11 10 010000110ADAD(例例2.2.4) 2.2.4) 化简具有约束的逻辑函数化简具有约束的逻辑函数 Y=Y= 约束条件为约束条件为 =0A B C D+A B C D+A B C D+A B C D+ A B C DA B C DA BCD+A B C D+A BCD+A B C D+AB C D +AB C D +A B C D+ABCD+ABC D+A B C DA B C D+ABCD+ABC D+A B C D 举例举例: :由真值表到表达式由真值表到表达式或与式或与式或与式或与式: : : :②②该函数该函数F F的标准或与式是由那些使的标准或与式是由那些使F F＝＝0 0的所有输入变量组合所对应的最大项相与而成的，的所有输入变量组合所对应的最大项相与而成的， 即即F(AF(A，，B B，，C)C)＝＝或写成：或写成：F(AF(A，，B B，，C)C)＝＝M0M3M5M6M0M3M5M6由上述两种标准式的组成可看出它们的实值跟真值表一样，就是要表明由上述两种标准式的组成可看出它们的实值跟真值表一样，就是要表明哪些输入变量组合使函数哪些输入变量组合使函数F=1F=1，哪些输入变量组合使函数，哪些输入变量组合使函数F=0.F=0.A B C 0 0 00 0 00 0 10 0 10 1 00 1 00 1 10 1 11 0 01 0 01 0 11 0 11 1 01 1 01 1 11 1 10 0 1 1 1 10 0 1 1 0 00 01 1 F F函数函数F F的真值表的真值表与或式与或式: :① 该函数F的标准与或式是由那些使F=1的所有输入变量组合所对应的最小项相或而成的，即F(A，B，C)＝或写成： F(A，B，C)＝m1+m2+m4+m7 A B C+A B C+ A B C+A B C+ A B C+ABCA B C+ABC(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C) A B C+ A B C+ A BC+A B C=将F=(0,2,3,6)用最大项之积来表示A B C+ A B C+ A BC+A B C=F=(1，4，5，7)A B C+ A B C+ A B C+ABC=（A+B+C） （A+B+C） （A+B+C）（A+B+C）== M1M4M5M7= 3(1,4,5,7)这里这里““∏””表示逻辑表示逻辑““与与””运算，运算，M3表示三变量的最大项。
由该例可知，一个以最小表示三变量的最大项由该例可知，一个以最小项表示的逻辑函数项表示的逻辑函数F转换成以最大项表示的方法如下：先将转换成以最大项表示的方法如下：先将F用最小项的形式表示，然用最小项的形式表示，然后取与最小项有相同下标的最大项进行逻辑后取与最小项有相同下标的最大项进行逻辑““与与””，即可得，即可得F的最大项表示形式的最大项表示形式.任何一个逻辑函数都可以用最大项之积来表示下面用实例说明任何一个逻辑函数都可以用最大项之积来表示下面用实例说明 解：解：对F两次求反，并利用基本公式得：两次求反，并利用基本公式得： 卡诺图化简法：卡诺图化简法：( (例例1)1)用卡诺图法求用卡诺图法求F1(AF1(A，，B B，，C C，，D)=∑(0D)=∑(0，，2 2，，4 4，，7 7，，8 8，，10,1210,12，，13)13)的最简与或式的最简与或式0 00 01 10 01 11 1ABAB0000010111111010CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 0 01 11 11 11 11 11 11 11 1图图1-1 F11-1 F1的卡诺图的卡诺图F1=B D +C D +AB C+A BCDF1=B D +C D +AB C+A BCD0 00 01 10 01 11 1CDCD0000010111111010AB 00 01 11 10 AB 00 01 11 10 0 01 11 11 11 11 11 11 11 1图图1-2 F11-2 F1卡诺图的另一种表示卡诺图的另一种表示 ( (例例2) 2) 求求F2(DF2(D，，C C，，B B，，A)= ∑(3A)= ∑(3，，4 4，，5 5，，7 7，，9 9，，1313，，1414，，15)15)的最简与或式。
的最简与或式0 00 01 10 01 11 1DCDC0000010111111010BA 00 01 11 10 BA 00 01 11 10 0 01 11 11 11 11 11 11 11 1图图2-1 F22-1 F2的卡诺图的卡诺图F2= D C B+D B A+DCB+D BAF2= D C B+D B A+DCB+D BA图图3-1 F33-1 F3的卡诺图的卡诺图F3=A C +C D+BC+ACF3=A C +C D+BC+AC0 00 01 10 01 11 1ABAB0000010111111010CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 0 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1图图3-2 F33-2 F3卡诺图的另种画法卡诺图的另种画法F3=A C +A B+AD+ACF3=A C +A B+AD+AC0 00 01 10 01 11 1ABAB0000010111111010CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 0 01 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1( (例例3) 3) 求求F3(AF3(A，，B B，，C C，，D)D)＝＝∑∑m(0m(0，，1 1，，4 4，，5 5，，6 6，，7 7，，9 9，，1010，，1111，，1313，，1414，，15)15)的最简与或式。
的最简与或式 001011AB00011110CD 00 01 11 10 000000000(例例4)4) 求求F F4(A4(A，，B B，，C C，，D)= (1,3,5,7,8,9,10,11)D)= (1,3,5,7,8,9,10,11)的最简或与式的最简或与式注意：卡诺圈对应的是或项，写或项名称时见注意：卡诺圈对应的是或项，写或项名称时见0 0写原变量，见写原变量，见1 1写反变量写反变量. .解解 F F4 4的卡诺图及对的卡诺图及对0 0方格卡诺圈的画法如图所示方格卡诺圈的画法如图所示 所得最简或与式：所得最简或与式：F F4 4=(A+ D )( A +B)=(A+ D )( A +B)A+BA+D 1 1图图5-1 F55-1 F5的卡诺图的卡诺图F5=AB+BC+ ADF5=AB+BC+ AD0 00 01 10 01 11 1ABAB00000101111110100 01 11 11 11 1φφφφφφ1 11 1φφ( (例例5)5)求求F F5(A5(A，，B B，，C C，，D)=∑D)=∑m m(1(1，，3 3，，4 4，，7,13,14)+∑φ(2,5,12,15)7,13,14)+∑φ(2,5,12,15)的最简与或的最简与或式。
式 1 1图图6-1 F66-1 F6的卡诺图的卡诺图F6=(A+B)(A+C)(A+B)F6=(A+B)(A+C)(A+B)0 00 01 10 01 11 1ABAB0000010111111010CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 0 01 10 01 10 00 00 00 00 01 10 01 10 0φφφφφφ( (例例6)6)求求F6(F6(A A，，B B，，C C，，D)D)＝＝∑∑m(0,1,12,13,14)+∑φ(6,7,15)m(0,1,12,13,14)+∑φ(6,7,15)的最简或与式的最简或与式 CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 1 1图图7-1 F77-1 F7的填的填1 1卡诺图卡诺图最简与或式最简与或式F7=C+BD+B DF7=C+BD+B D0 00 01 10 01 11 1ABAB00000101111110100 01 11 11 11 1φφφφφφ1 11 1φφ1 1φφ0 00 00 0CD 00 01 11 10 CD 00 01 11 10 1 1图图7-2 F77-2 F7的填的填0 0卡诺图卡诺图最简或与式最简或与式 F7=(A+B+C)(A+C+D)(B+C+D)F7=(A+B+C)(A+C+D)(B+C+D)0 00 01 10 01 11 1ABAB00000101111110100 0φφφφφφφφ0 00 00 00 0(例例7)7)求求F7(AF7(A，，B B，，C C，，D)=∑m(0,1,4,7,9,10,13)+∑φ(2,5,8,12,15)D)=∑m(0,1,4,7,9,10,13)+∑φ(2,5,8,12,15)的的最简与或式及最简或与式。
最简与或式及最简或与式。
