“质点型”行程问题.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑“质点型”行程问题 “质点型”行程问题——相遇问题 学识广角 一个物体的移动离不开速度、时间、路程这三个量这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：路程=速度×时间 我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题假设按照解题时是否需要考虑运动着的物体的长度，分为两类：“质点型”行程问题和“火车型”行程问题本讲主要研究“质点型”行程问题 “质点型”行程问题都是把运动着的物体看作一个点来对付，不需要考虑物体自身的长度 方法探究 例1、小林和小强同时从A、B两地相对启程，小林步行每分钟走60米，小强骑自行车的速度是小林的4倍，经过6分钟后两人相遇请问A、B两地相距多少米？ 【思路导航】：要求A、B两地相距多少米，也就是求A、B两地之间的路程是多少，已知相遇的时间是6分钟，我们只需要求出两人的速度和就可以解决问题了 解：（60×4＋60）×6 =300×6 =1800（米） 答：A、B两地相距1800米 【思维链接】 这道题实际上是典型的相遇问题。

相遇问题一般是指两人（或两车等）从两地启程，相向而行的行程问题根本数量关系是：速度和×相遇时间=路程和 路程和÷相遇时间=速度和 路程和÷速度和=相遇时间 【举一反三】 1、两辆车同时从甲、乙两地启程，相向而行，客车每小时行45千米，货车每小时行38千米，5小时后两车还相距25千米求甲、乙两地间的路程 - 1 - 2、甲、乙两车同时从一点启程相背而行，甲每小时行60千米，乙每小时行65千米，4小时后两车相距多少千米？ 例2、快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？ 【思路导航】： “经过3小时快车过中点12千米与慢车相遇”，也就是说经过这3小时慢车离中点还差12千米与快车相遇，由此我们就可以知道在这3个小时里，快车比慢车多行了12×2千米，所以，我们可以得出快车每小时比慢车多行12×2÷3千米 解：40－12×2÷3 =40－8 =32（千米） 答：慢车每小时行32千米 【思维链接】 两个人（或两辆车等）在整个距离中心点的若干米处相遇是相遇问题中的一种，这类问题的实质是和差问题。

它们的路程差是两个距中点的距离 【举一反三】 3、快慢两列火车同时从甲乙两地相向开出,4小时后两车在距中点18千米处相遇,快车每小时行54千米甲乙两地相距多少千米？ 4、甲、乙两地相距21千米，小虎和小强分别从甲、乙两地同时启程相向而行，3小时后在离中点0.6千米的地方相遇，求小虎和小强的速度 例3、兄妹二人同时从家里启程到学校去，家与学校相距1400米哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米哥哥刚到学校就立刻返回来在途中与妹妹相遇从启程到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？ - 2 - 【思路导航】：兄妹二人从启程到相遇，可以分成两个片面：第一个片面是二人同向而行，其次个片面是哥哥到校后返回时与妹妹相向而行我们只需要算出哥哥返回时妹妹到底在哪里就可以把这一题转化成与例1一致的相遇问题了 解：（1400－1400÷200×80）÷（200＋80）＋1400÷200 =840÷280＋7 =3＋7 =10（分钟） 1400－80×10=600（米） 你还有别的解法吗？（提示：兄妹二人从启程到相遇，实际上两人共行了几个全程？） 其次种解法： 1400×2÷（200＋80）=10（分钟） 1400－80×10=600（米） 答：从启程到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米。

【思维链接】 速度快的走完全程后，返回与另一人相遇（同向而行到相向而行），这一类的相遇问题我们可以将它转化成两人从全程2倍距离的两地相向而行至相遇 【举一反三】 5、甲乙两地相距90千米，小汽车的速度是大卡车的2倍两车同时从甲地启程，小汽车到达乙地后立刻返回，然后两车在丙地相遇那么乙丙两地相距多少千米？（2022年浙江省小学数学夏令营试题） 6、甲、乙两地相距45千米，张、王二人同时从甲地启程去乙地，张骑自行车每小时行15千米，王每小时行6千米，张到达乙地后停留1小时，返回甲地途中与王相遇，相遇时他们距乙地多少千米？（《小学生数学报》全国小学数学邀请赛试题） 例4、AB两城间有一条马路长240千米，甲乙两车同时从A、B两城启程，甲以每 - 3 - 小时45千米的速度从A城到B城，乙以每小时35千米的速度从B城到A城，各自到达对方城市后立刻以原速沿原路返回，几小时后，两车在途中其次次相遇？相遇地点离A城多少千米？ 【思路导航】：根据题意我们来画线段图： 从线段图中我们可以看出：两个物体从两地启程相向而行，到达对方启程点后返回行走，第一次相遇，两个物体合行一个全程，其次次相遇，两个物体合行三个全程。

想一想：第三次相遇时、第四次相遇时它们有分别合行了几个全程呢？ 解：240×3÷（45＋35） =720÷80 =9（小时） 35×9－240=75（千米） 答：9小时后两车在途中其次次相遇，相遇地点离A城75千米 【思维链接】 画线段图是解决行程问题的重要方法通过画线段图我们可以领会的看到两个物体从两地启程相向而行，到达对方启程点后返回行走，第一次相遇时，它们正好合行一个全程；其次次相遇时，它们正好合行三个全程，也就是说，第一次相遇以后每相遇一次，它们所走的路程和就增加了2个全程的长度 【举一反三】 7、AB两地相距119千米，甲乙两车同时从A、B两地启程，相向而行，并连续往复于A、B两地甲车每小时行42千米，乙车每小时行28千米几小时后，两车在途中第三次相遇？相遇时甲车行了多少千米？ 8、甲城、乙城相距90千米，小张与小王分别从甲、乙两城同时启程，在两城之间往复行走(到达另一城后连忙返回)在启程后2小时两人第一次相遇小王到达甲城后返回，在离甲城30千米的地方两人其次次相遇小张每小时走多少千米？小 - 4 - 王每小时走多少千米？ 例5、小华和小明同时从甲、乙两城相向而行，在离甲城85千米处相遇，到达对方城市后立刻以原速沿原路返回，又在离甲城35千米处相遇，两城相距多少千米？ 【思路导航】：通过画线段图我们可以很领会的看到：第一次相遇时小华行了85千米，也就是说两人每行完一个全程小华就会行85千米，其次次相遇时，他们共行了3个全程，这时小华也就会行3个85千米。

而其次次的相遇地点距甲城还有35千米，从图中可以看出小华行的全体路程加上这个35千米正好是2个全程 解：（85×3＋35）÷2 =290÷2 =145（千米） 答：两城相距145千米 【思维链接】 画线段图解决行程问题的重要性在这里表达得淋漓尽致通过线段图我们要很明显的看到每个物体行的路程与全程之间的关系 【举一反三】 9、甲乙两车分别从A、B两站同时启程，相向而行，第一次相遇时在距A站28千米处，相遇后两车持续前进，各自到达B、A两站后，立刻沿原路返回，其次次相遇距A站60千米处A、B两站间的路程是多少千米？ 10、小冬、小青两人同时从甲、乙两地启程相向而行，两人在离甲地40千米处第一次相遇相遇后两人仍以原速持续行驶，并且在各自到达对方启程点后立刻沿原路返回，途中两人在距乙地15千米处其次次相遇，甲乙两地相距多少千米？ 例6：甲、乙、丙三辆车同时从A地启程到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们启程后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇求丙车的速度 - 5 - — 7 —。