2016年北京市高考理科数学真题及详细解析(解析版-学生版-精校版)页.pdf

1 2016 年北京市高考数学试卷理科一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 5 分已知集合 A= x| x| 2，集合 B= 1，0，1，2，3 ，则 AB= A 0，1B 0，1，2C 1，0，1D 1，0，1，22 5 分假设 x，y 满足，则 2x+y 的最大值为A0B3C4D53 5 分执行如下图的程序框图， 假设输入的 a 值为 1， 则输出的 k 值为A1B2C3D44 5 分设， 是向量，则 “ | =| ” 是“ |+ | =| | ” 的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5 5 分已知 x，yR，且 xy0，则A0Bsinxsiny0C xy0Dlnx+lny06 5 分某三棱锥的三视图如下图，则该三棱锥的体积为2 ABCD17 5 分将函数 y=sin2x图象上的点P，t向左平移 ss0个单位长度得到点P ，假设 P 位于函数 y=sin2x的图象上，则At=，s的最小值为Bt=，s的最小值为Ct=，s 的最小值为Dt=，s的最小值为8 5 分袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30分9 5 分设 aR，假设复数 1+i a+i在复平面内对应的点位于实轴上，则a=10 5 分在 12x6的展开式中， x2的系数为 用数字作答11 5 分在极坐标系中，直线cossin 1=0 与圆 =2cos交于 A，B两点，则 | AB| =12 5 分已知 an 为等差数列， Sn为其前 n 项和假设a1=6，a3+a5=0，则S6=3 13 5 分双曲线=1a0，b0的渐近线为正方形OABC的边 OA，OC所在的直线，点B 为该双曲线的焦点假设正方形OABC的边长为 2，则a=14 5 分设函数 fx=假设 a=0，则 fx的最大值为；假设 fx无最大值，则实数a 的取值范围是三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15 13 分在 ABC中，a2+c2=b2+ac求 B的大小；求cosA+cosC的最大值16 13分A，B，C三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表单位：小时：A 班6 6.5 7 7.5 8B班6 7 8 9 10 11 12C班试估计 C班的学生人数；从 A 班和 C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A 班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙 假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；再从 A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25单位：小时 ，这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均数记为0，试判断 0和 1的大小 结论不要求证明4 1714 分 如图， 在四棱锥 PABCD中， 平面 PAD 平面 ABCD ， PA PD， PA=PD ，ABAD，AB=1 ，AD=2，AC=CD=求证： PD平面 PAB ；求直线 PB与平面 PCD所成角的正弦值；在棱 PA上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD ？假设存在，求的值，假设不存在，说明理由18 13 分设函数 fx=xeax+bx，曲线 y=fx在点 2，f2 处的切线方程为 y=e1x+4，求 a，b 的值；求 fx的单调区间5 19 14 分已知椭圆C：+=1ab0的离心率为，Aa，0 ，B0，b ，O0，0 ，OAB的面积为 1求椭圆 C的方程； 设 P是椭圆 C上一点， 直线 PA与 y 轴交于点 M， 直线 PB与 x 轴交于点 N 求证：| AN| ?| BM| 为定值20 13 分设数列 A：a1，a2， ，aNN2 如果对小于 n2nN的每个正整数 k 都有 akan，则称 n 是数列 A 的一个 “G时刻” ，记 GA是数列 A 的所有 “G时刻” 组成的集合对数列 A： 2，2，1，1，3，写出 GA的所有元素；证明：假设数列A 中存在 an使得 ana1，则 GA?；证明：假设数列A 满足 anan11n=2，3， ，N ，则 GA的元素个数不小于 aNa16 2016 年北京市高考数学试卷理科参考答案与试题解析一、选择题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1 5 分已知集合 A= x| x| 2，集合 B= 1，0，1，2，3 ，则 AB= A 0，1B 0，1，2C 1，0，1D 1，0，1，2【考点】 1E：交集及其运算【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 49：综合法； 5J：集合【分析】 先求出集合 A 和 B，由此利用交集的定义能求出AB【解答】 解：集合 A= x| x| 2= x| 2x2，B=1，0，1，2，3 ，AB= 1，0，1故选： C【点评】此题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用2 5 分假设 x，y 满足，则 2x+y 的最大值为A0B3C4D5【考点】 7C ：简单线性规划【专题】 11：计算题； 29：规律型； 31：数形结合； 33：函数思想； 35：转化思想【分析】 作出不等式组对应的平面区域，目标函数的几何意义是直线的纵截距，利用数形结合即可求z 的取值范围7 【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图：阴影部分设 z=2x+y 得 y=2x+z，平移直线 y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点 A 时，直线 y=2x+z的截距最大，此时 z 最大由，解得，即 A1，2 ，代入目标函数 z=2x+y 得 z=12+2=4即目标函数 z=2x+y 的最大值为 4故选： C【点评】此题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义， 结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法3 5 分执行如下图的程序框图， 假设输入的 a 值为 1， 则输出的 k 值为8 A1B2C3D4【考点】 EF ：程序框图【专题】 11：计算题； 28：操作型； 5K：算法和程序框图【分析】根据已知的程序框图可得， 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】 解：输入的 a 值为 1，则 b=1，第一次执行循环体后， a=，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后， a=2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后， a=1，满足退出循环的条件，故输出的 k 值为 2，故选： B【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答4 5 分设， 是向量，则 “ | =| ” 是“ |+ | =| | ” 的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件9 【考点】 29：充分条件、必要条件、充要条件；91：向量的概念与向量的模【专题】 35：转化思想； 5A：平面向量及应用； 5R：矩阵和变换【分析】 根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案【解答】 解：假设 “ | =| ” ，则以， 为邻边的平行四边形是菱形；假设“ |+ | =| | ” ，则以， 为邻边的平行四边形是矩形；故“ | =| ” 是“ |+ | =| | ” 的既不充分也不必要条件；故选： D【点评】 此题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“ | =| ” 与“ |+ | =| | ” 表示的几何意义，是解答的关键5 5 分已知 x，yR，且 xy0，则A0Bsinxsiny0C xy0Dlnx+lny0【考点】 71：不等关系与不等式【专题】 35：转化思想； 51：函数的性质及应用； 5T：不等式【分析】 x，yR，且 xy0，可得：，sinx与 siny的大小关系不确定，lnx+lny 与 0 的大小关系不确定，即可判断出结论【解答】解：x，yR，且 xy0，则，sinx与 siny 的大小关系不确定，即0，lnx+lny 与 0 的大小关系不确定故选： C【点评】此题考查了不等式的性质、 函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6 5 分某三棱锥的三视图如下图，则该三棱锥的体积为10 ABCD1【考点】 L!：由三视图求面积、体积【专题】 11：计算题； 5F：空间位置关系与距离； 5Q：立体几何【分析】由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得： 该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，棱锥的底面面积 S= 11=，高为 1，故棱锥的体积 V=，故选： A【点评】 此题考查的知识点是由三视图，求体积和外表积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键7 5 分将函数 y=sin2x图象上的点P，t向左平移 ss0个单位长度得到点P ，假设 P 位于函数 y=sin2x的图象上，则At=，s的最小值为Bt=，s的最小值为Ct=，s 的最小值为Dt=，s的最小值为【考点】 HJ ：函数 y=Asinx + 的图象变换11 【专题】 35：转化思想； 4R：转化法； 57：三角函数的图像与性质【分析】将 x=代入得：t=，进而求出平移后 P 的坐标，进而得到 s 的最小值【解答】 解：将 x=代入得： t=sin=，将函数 y=sin2x图象上的点 P向左平移 s 个单位，得到 P s，点，假设 P 位于函数 y=sin2x的图象上，则 sin2s=cos2s= ，则 2s=+2k ，kZ，则 s=+k ，kZ，由 s0 得：当 k=0时，s 的最小值为，故选： A【点评】此题考查的知识点是函数y=Asin x+ A0， 0的图象和性质，难度中档8 5 分袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半甲、乙、丙是三个空盒每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则A乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C乙盒中红球不多于丙盒中红球D乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【考点】 F5：演绎推理【专题】 5M：推理和证明【分析】分析理解题意：乙中放红球，则甲中也肯定是放红球；往丙中放球的前提是放入甲中的不是红球，据此可以从乙中的红球个数为切入点进行分析12 【解答】 解：取两个球共有 4 种情况：红+红，则乙盒中红球数加1 个；黑+黑，则丙盒中黑球数加1 个；红+黑红球放入甲盒中，则乙盒中黑球数加1 个；黑+红黑球放入甲盒中，则丙盒中红球数加1 个设一共有球 2a 个，则 a 个红球，a 个黑球，甲中球的总个数为 a，其中红球 x 个，黑球 y 个，x+y=a则乙中有 x 个球，其中 k 个红球， j 个黑球， k+j=x；丙中有 y 个球，其中 l 个红球， i 个黑球， i+l=y；黑球总数 a=y+i+j，又 x+y=a，故 x=i+j由于 x=k+j，所以可得 i=k，即乙中的红球等于丙中的黑球故选： B【点评】该题考查了推理与证明， 重点是找到切入点逐步进行分析，对学生的逻辑思维能力有一定要求，中档题二、填空题共 6 小题，每题 5 分，共 30分9 5 分设 aR，假设复数 1+i a+i在复平面内对应的点位于实轴上，则a=1【考点】 A4：复数的代数表示法及其几何意义【专题】 11：计算题； 35：转化思想； 4R：转化法； 5N：数系的扩充和复数【分析】 1+i a+i=a1+a+1i，则 a+1=0，解得答案【解答】 解： 1+i a+i=a1+a+1i，假设复数 1+。