2023年四边形题型全面汇总归纳.pdf

四边形题型归纳 1 / 20 ABCD BEABCDEF21FEDABCABCDEF 四边形题型归纳 题型一：翻折问题（特殊四边形的折叠问题） 1、沿特殊四边形的对角线折叠 【例 1】如图，矩形纸片 ABCD ，AB=2， ∠ADB=30° ，沿对角线 BD 折叠（使△ABD 和△EBD 落在同一平面内） ，则 A、E 两点间的距离为____________. 2、沿特殊四边形的对称轴折叠 【例 2】如图，已知矩形 ABCD 的边 AB=2，AB≠BC ，矩形 ABCD 的面积为 S，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新的矩形，则这个新矩形对角线长为__________. 3.使特殊四边形的对角顶点重合折叠 【例 3】如图，梯形纸片 ABCD ， ∠B=60° ，AD∥BC，AB=AD=2 ，BC=6，将纸片折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 AE，则 CE=___________. 4.使特殊四边形一顶点落在其一边上而折叠 【例 4】 如图， 折叠矩形的一边 CD， 使点 C 落在 AB 上的点 F 处， 已知 AB=10cm， BC=8cm ，则 EC 的长为________. 四边形题型归纳 2 / 20 KEFGBDACPQABCDNMEE'A'ABCDD'C'ABCDEF5.使特殊四边形两顶点落在其一边上而折叠 【例 5】如图，在梯形 ABCD 中，DC∥AB，将梯形对折，使点 D、C 分别落在 AB 上的 D′、C′处，折痕为 EF，若 CD=3cm，EF=4cm，则 AD′+BC′=________cm. 6.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(1) 【例 6】如图，已知 EF 为正方形 ABCD 的对称轴，将∠A 沿 DK 折叠，使它的顶点 A 落在EF 上的 G 点处，则∠DKG=_____. 7.使特殊四边形一顶点落在其对称轴上而折叠(2) 【例 7】如图，有一块面积为 1 的正方形 ABCD ，M、N 分别为 AD、BC 边的中点，将 C点折至 MN 上，落在点 P 的位置，折痕为 BQ，连结 PQ. (1)求 MP 的长度; ⑵求证：以 PQ 为边长的正方形的面积等于13. 8.两次不同方式的折叠 【例 8】如图，将一矩形形纸片按如图方式折叠，BC、BD 为折痕，折叠后 AB 与 EB 在同一条直线上,则∠CBD 的度数为（ ） A.大于 90° B.等于 90° C.小于 90° D.不能确定 四边形题型归纳 3 / 20 【变式 1】在矩形 ABCD 中 AB=4 ，BC=3 ，按下列要求折叠，试求出所要求结果 （1）如图，把矩形 ABCD 沿着对角线 BD折叠得△EBD ，BE交 CD于点 F，求 S△BFD ； （2）如图，折叠矩形 ABCD ，使 AD与对角线 BD重合，求折痕 DE的长； （3）如图，折叠矩形 ABCD ，使点 D与点 B重合，求折痕 EF的长； （4）如图，E是 AD上一点，把矩形 ABCD 沿着 BE折叠，若点 A恰好落在 CD上的点 F处，求 AE的长。

四边形题型归纳 4 / 20 题型二：动点问题 【例 9】如下图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC， AB=cm,AD=24，BC=26，∠B=90°，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿CB 以 3的速度向点 B 运动．P、Q 同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为， 问：（1） = 时，四边形 PQCD 是平行四边形． （2）是否存在一个 t 值，使 PQ把梯形 ABCD 分成面积相等的两部分，若存在请求出 t 的值. （3）当 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形． (4) 连接 DQ ，是否存在 值使△CDQ为等要三角形，若存在请直接写出 的值. 四边形题型归纳 5 / 20 【变式 2】如图，在梯形 ABCD中，AD∥BC,∠B=90º ,AD=8cm ，AB=6 cm，BC=10 cm，点Q从点A出发以 1 cm/s的速度向点D运动， 点P从点B出发以 2cm/s的速度段BC间往返运动，P、Q两点同时出发，当点Q到达点D时，两点同时停止运动。

⑴当t= s时，四边形PCDQ的面积为 36; ⑵若以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求t的值; ⑶ 当 0

解决下列问题： （1）菱形的“二分线”可以是 （2）三角形的“二分线”可以是 （3）在下图中，试用两种不同的方法分别画出等腰梯形 ABCD 的“二分线”. 四边形题型归纳 8 / 20 【变式 3】定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图 1，，，则点就是四边形的准内点． （1）如图 2， 与的角平分线相交于点． 求证：点是四边形的准内点． （2）分别画出图 3 平行四边形和图 4 梯形的准内点． （作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ▲ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ▲ ） ③若是任意凸四边形的准内点，则 四边形题型归纳 9 / 20 (1)(2)(3)FECBACBACBA【变式 4】如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“ 友好矩形”. 如图 1矩形 ABEF 即为△ABC 的“ 友好矩形”. 显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“ 友好矩形′ 只有一个. (1)仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“ 友好平行四边形”. (2)如图 2，若△ABC 为直角三角形，且∠C=90° ，在图 2 中画出△ABC 的所有“ 友好矩形” ，并比较这些矩形面积的大小. (3)若△ABC 是锐角三角形，且 BC>AC>AB ，在图 3 中画出△ABC 的所有“ 友好矩形” ，指出其中周长最小的矩形并证明之. 四边形题型归纳 10 / 20 课后作业 1、将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点12...nAAA， ， ，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为 2、如图 1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，HAEBFCGD，连接EG、FH，交点为O． ⑴ 如图 2，连接EFFGGHHE，，，，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论； ⑵ 将正方形ABCD沿线段EG、HF剪开，再把得到的四个四边形按图 3 的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，1cmHAEBFCGD，则图 3 中阴影部分的面积为_________2cm． 图3图1图2HDGCFEBAOHGFEDCBAA5A4A3A2A1四边形题型归纳 11 / 20 3、数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 ABCD 是正方形，点 E是边 BC的中点．∠AEF=90 °，且 EF交正方形外角∠DCG的平行线 CF于点 F，求证：AE=EF ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 AB的中点 M ，连接 ME ，则 AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以 AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图 2，如果把“点 E是边 BC的中点”改为“点 E是边 BC上（除 B，C外）的任意一点” ，其它条件不变，那么结论“AE=EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图 3，点 E是 BC的延长线上（除 C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由． 四边形题型归纳 12 / 20 答案： 【例 1】解析：如图， 矩形 ABCD 的对角线交于点 F，连接 EF，AE，则有 AF=FC=EF=FD=BF ． ∵∠ADB=30° ， ∴∠CFD=∠EFD=∠AFB=60° ， △AFE，△AFB 都是等边三角形， 有 AE=AF=AB=2 ． 【例 2】解析：∵矩形 ABCD 的边 AB=2，AB≠BC ，矩形ABCD 的面积为 S， ∴AD= 2s， （1）如图 1，折痕分别与 AB、DC 交于 F、E 点， 连结 DF， ∵矩形 ABCD 沿直线 EF 对折， ∴AF= 21AB=1， 即新矩形的对角线的长度为4212s （2）如图 2，折痕分别与 AD、BC 交于 E、F 点，连结 AF， ∵矩形 ABCD 沿直线 EF 对折， 即新矩形的对角线的长度为64412s 【例 3】解析：∵梯形 ABCD ∴AD∥BC ∵纸片折叠，使点 B 与点 D 重合 ∴△ABE≌△ADE 四边形题型归纳 13 / 20 四边形 ADEB 为平行四边形． ∴AD=BE=2 ∵BC=6 ∴CE=6-2=4 【例 4】答案：5cm 【例 5】解：根据题意，可知 EF 是梯形 ABCD 的中位线． 所以 AB+CD=2EF=8 ，则 AB=5． ∴AD'+BC'=AB-CD=5-3=2（cm） ． 【例 6】解：依题意，得 AD=DG=2DF ， 在 Rt△DFG 中，由 DG=2DF，得∠DGF=30° ， 由 AD∥EF 得，∠ADG=∠DGF=30° ， 根据折叠的性质，得∠KDG=21∠ADG=15° ， 在 Rt△DGK 中，∠DKG=90° - ∠KDG=75° ． 【例 7】 （1）解：连接 BP、PC，由折法知点 P 是点 C 关于折痕 BQ的对称点． ∴BQ 垂直平分 PC，BC=BP． 又∵M、N 分别为 AD、BC 边上的中点，且 ABCD 是正方形， ∴BP=PC． ∴BC=BP=PC ． ∴△PBC 是等边三角形． ∵PN⊥BC 于 N，BN=NC=21BC=21，∠BPN=21× ∠BPC=30° ， ∴PN=23，MP=MN-PN=232 四边形题型归纳 14 / 20 【变式 1】 （1）设 DF=x，在矩形 ABCD 中，DC∥AB，∴∠CDB=∠ABD， 由折叠知，∠ABD=∠DBF∴∠FDB=∠FBD∴FB=FD =x ∵CD=AB=4 ，∴CF=4-x，在 Rt△BCF 中，CF² +CB² =FB² 即： （4-x）² +3² =x² ，∴x=425 ∴S△BFD＝21DF•BC ＝21×425× 3＝2615 （2）设 AE=EF=x，在 Rt△BEF 中，BE=4-x，BF=DB-AF ∴x² +2² =（4-x）² ∴x=23 （3）连接 DE，BF，∵EF⊥DB，且平分 DB∴OB=OD ∵DC∥AB∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO ∴△DOF≌△BOE∴OF=OE∴四边形 DEBF 是平行四边形∵BD⊥EF∴平行四边形 DEBF是菱形 ∴DE=EB，AE=4-DE在 Rt△ADE 中，DE² =AD² +（4-DE）² ∴DE=825 3×825=21× 5× EF ∴EF=415 【例 9】 （1） =6 （2）当 AP+BQ=25 时，PQ 把梯形 ABCD 分成面积相等的两部分， 即 t+(26-3t)=25,解得：t= 四边形题型归纳 15 / 20 （3）如图，过点 D 作 DE⊥BC，则 CE=BC-AD=2． 当 CQ—PD=4 时，四边形 PQCD 是等腰梯形． 即 3 一（24 一 ）=4． ∴ =7． (4) =2,, 【变式 2】（1） t=2 （2） ①P 未到达 C 点时 ②P 到达 C 点并返回时 8-t=10-2 t 8-t=2t- 10 t=2 t=6 (3) ①如图，若 PQ=PD 过 P 作 PE⊥AD 于 E, 则 QD= 8- t, 四边形题型归纳 16 / 20 【例 10】（1）证明：连接 BD ∵E、H 分别是 AB、AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线 ∴EH＝BD，EH∥BD 同理得 FG＝BD，FG∥BD ∴EH＝FG，EH∥FG ∴四边形 EFGH 是平行四边形 （2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形 （3）中点四边形的形状由原四边形的对角线的关系来决定的． 【例 11】解：（1）菱形的一条对角线所在的直线。

或菱形的一组对边的中点所在的直线或菱形对角线交点的任意一条直线） （2）三角形一边中线所在的直线 四边形题型归纳 17 / 20 （3）方法一：取上、下底的中点， 过两点作直线得梯形的二分线（如图 1） 方法二：过 A、D作AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足E、F，连接 AF、DE相交于 O，过点 O任意作直线即为梯形的二分线（如图 2） 【变式 3】（1）如图 2，过点作， ∵平分， ∴ 同理 ． ∴是四边形的准内点． （2） 平行四边形对角线的交点就是准内点， 如图 3（1）. 四边形题型归纳 18 / 20 或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图 3（2）； 梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图 4. （3）真；真；假．（各 1 分，若出现打“√”“×”或写“对”“错”同样给分．） 【变式 4】 （1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合， 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上， 则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形” ． （2）此时共有 2 个友好矩形，如图的 BCAD 、ABEF． 易知，矩形 BCAD 、ABEF 的面积都等于△ABC 面积的 2 倍， ∴△ABC 的“ 友好矩形” 的面积相等． （3）此时共有 3 个友好矩形，如图的 BCDE 、CAFG 及 ABHK ， 其中的矩形 ABHK 的周长最小． 证明如下： 易知，这三个矩形的面积相等， 令其为 S，设矩形 BCDE 、CAFG 及 ABHK 的周长分别为 L1，L2，L3， △ABC的边长 BC=a ，CA=b ，AB=c ，则： 课后练习：1、n41 2、解： （1）四边形 EFGH 是正方形， 证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=DA ， ∵HA=EB=FC=GD ， ∴AE=BF=CG=DH ， ∴△AEH ≌△BFE≌△CGF≌△DHG， ∴HE=EF=FG=GH， 四边形题型归纳 19 / 20 ∴四边形 EFGH 是菱形， 由△DHG≌△AEH 知∠DHG=∠AEH， ∵∠AEH+∠AHE=90°， ∴∠DHG+∠AHE=90°， ∴∠GHE=90°， ∴四边形 EFGH 是正方形； （2）1。

3、解： （1）正确． 证明：在 AB上取一点 M ，使 AM=EC ，连接 ME ． ∴BM=BE， ∴∠BME=45°， ∴∠AME=135°， ∵CF是外角平分线， ∴∠DCF=45°， ∴∠ECF=135°， ∴∠AME=∠ECF， ∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°， ∴∠BAE=∠CEF， ∴△AME≌△ECF（ASA ） ， ∴AE=EF． （2）正确． 证明：在 BA的延长线上取一点 N． 使 AN=CE ，连接 NE ． ∴BN=BE， ∴∠N=∠NEC=45°， ∵CF平分∠DCG， ∴∠FCE=45°， ∴∠N=∠ECF， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AD∥BE， ∴∠DAE=∠ BEA ， 即∠DAE+90°=∠BEA+90°， 四边形题型归纳 20 / 20 ∴∠NAE=∠CEF， ∴△ANE≌△ECF（ ASA ） ∴AE=EF． 。