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开展数学实验教学，构建高效数学课堂——“函数/(%)=%+-的图像和性质”教学案例【内容摘要】数学教育家G•波利亚指出，学习任何知识的最佳途径是由自己去发现， 因为这种发现理解最深，也最容易掌握其中的规律、性质和联系笔者借助几何画板引入数 学实验，以“函数/(x) = x + -的图像和性质”为例，通过教师的模拟演示实验，学生的 验证实验和探索实验，完成对此函数单调性和奇偶性的认识突破了由于数学逻辑推理的复 杂性，学生认知水平的不足而带来的思维困难，极大地改善了学生的数学思维环境关键词】数学实验教学 几何画板 高效课堂 函数图象与性质教学背景《高中数学课程标准》指出“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、 模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学 等学习数学的方式这些方式有助于发挥学生的主动性，使学生的学习过程成为 在教师引导下的“再创造”过程实践证明，通过动手实践、自主探索得来的 知识理解得更深刻，掌握得更牢固因此，学习数学的最好方法是“做数学”, “实验数学”数学实验这种教学模式是以“再创造和再发现”为出发点，让学 生通过自己动手操作，进行探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后获 得概念、理解或解决问题的一种教学过程。

美国的优秀教育软件一一《儿何画板》 为我们开展有效的数学实验搭建了一个良好的平台《几何画板》是美国Key Curriculum Press公司制作的优秀教育软件，该软 件功能强大，被称为21世纪的动态几何，它能以动态方式保持表现对彖Z间的 几何关系因此，《几何画板》可以帮助学生从动态中去观察、探索、发现对象 之间的数量变化关系与空间结构关系，为数学教学开创了一个“数学实验室”， 为学生“做”数学提供了必要的工具与手段，让学生可以自主地在“问题空间” 里进行探索，来做“数学实验”实验课题函数f(x) = x +-的图像和性质实验工具几何画板GPS4.06实验目的探究函数/(%) = % + -的图像和性质(单调性和奇偶性)实验要求1、 把学生分成若干组，每组4人；2、 各组写出实验目的、实验方法和实验步骤；3、 各组按计划开展实验；4、 全班交流实验结果；5、 撰写实验报告，进行成果交流实验步骤1、 打开《儿何画板》，进入“图标一绘制新函数”功能；2、 输入函数 “ f(x) = x+-(a = -4-3-2-1,1,2,3,4) w 等;X3、 不断改变d的值，观察函数图象变化规律，并记下观察到的实验现象，填 写实验报告单1；4、 根据观察到的实验现象猜想函数/(x) = x + -的性质(奇偶性，单调性);5、 检验猜想的正确性，并加以严格的数学证明。

实验报告(1) 实验现彖记录r（x）= x+ s（x）= x+F开始 •濡文子•併黑 o几何戢・(圭金 '申未命名•画超 0 EJ €国O纭備“忌疋T 21 070几何两板-[未令爼1] Pffflfx文件© 縄旻示© 作谢© «»(!)度曼® 国表⑹旨口(X)需肋Qf) ■吕x尺ms学生自己动手操作几何画板，通过对Q的不同取值，画出相应的函数图彖， 通过对图象的直观观察，小组讨论，可以得到如下规律：随着d值的不断减小，分布在1、3象限的两条曲线逐渐靠近，当G值为正数 时，图象在第一象限内“先减后增”，在第三象限内“先增后减”；当G为0时， 两条曲线变为一条直线y二x,当a值为负值吋，若x>0,函数为增函数，x<0也 是增函数；在整个变化过程中，函数图象都关于原点对称教师利用几何画板再做直观演示，确定学生结论3 I24 zJ Bklnkll I• :- eX?・[开展.0几河iE贩-【玉命名】[And当前後遶中的点a• - [s O ? j0几何画板-［未金名］□回冈⑥ 文件⑴ 潟相0)显示@)作甜◎ 5»1)度圉義© 亩口 0)■ 3 X(2) 猜想随着《儿何画板》的动态演示，充分展示了数学的美妙，激起了学生探索的 好奇、好胜心理。

通过观察、探索，分析实验数据，各小组讨论交流，提出以下 猜想：猜想函数/(x) = x + -是奇函数；X猜想2：当dVO时，函数f(x) = x + -的单调增区间为(-00,0)和(0,+oo)；X猜想3：当d>0时，函数/(x) = x+-在第一象限“先减后增”，在第三象限“先X增后减”3) 证明猜想1、猜想2,大多数学生利用函数奇偶性、单调性定义，可以很快给出 证明，但猜想3中的增与减的分界点却难以确定4) 探究函数/(x) = x+-(a>0)的单调区间① 打开儿何画板；② 取不同的值，作出函数/(x) = x + - (x>0)的图象，并求出函数取得最小值时的X的值，填写实验报告单2；O几何两板-[沬合名3]⑥文件Q)馳11)显示作s)c)度余初 珈&)窃口追)帮肋a)■已Xx+— = 3.33 x42x+— = 3.66 x4x+- = 4.33 x9x+— = 6.008 7 8 5 4 3 2xF开始 « ?s e‘时YPS文字・O几何画板■〔耒命 u卑? ye O 1% 22:25 |③ 由实验报告单2猜想函数/(x) = x + - (x>0)取得最小值时x的值中所蕴 涵的规律；④ 对猜想进行验证；⑤ 证明猜想的正确性。

5) 果交教师要求学生分组将研究成果上传到指定的公告栏一一“BBS论坛”，并在 课后搜集有关资料，对该课题作进一步探究，要求每个小组撰写一份有关的研究 报告，择日举行论文答辩会案例分析，反思实验教学传统的高中数学教学片面强调数学的严谨性、逻辑推理的形式化，数学教师 通常是沿着“定义-假设-定理-证明-推论”这么一条演绎的道路进行的这种 教学模式对学牛数学建模能力与数据处理能力是无能为力的在以上的教学案例 中，教师利用《几何画板》为学生的学习研究创设情景，提供平台，让学生在自 己的活动中，通过师生之间、生生Z间生动的丰富的“协作”、“会话”，完成对 函数/(x) = x + -的图象和性质的认识一一意义建构这样的教学效果是传统的 教学方式所无法比拟的1、进行数学实验的意义著名的数学教育家G•波利亚认为，数学有两个侧面，它是欧几里得式的严 谨科学、系统演绎科学，但在创造过程中的数学，却是一门实验性的归纳科学, 其创造过程和其它知识一样，在证明一个定理之前，你得先猜其内容，再猜其证 明思路得先把观测结果加以综合、类比，你得一次次地尝试数学家的创造性 工作成果是论证推理，即证明，但这证明是通过合情推理，通过猜想发现的。

利 用《几何画板》开展数学实验教学能更有效地进行“观察一探究一发现一猜想一 验证一证明一拓广”的教学实际上，在《几何画板》支持下的课堂教学中，探 究和猜想可以成为数学学习的核心内容，学生可以验证自己的猜想，自己发现新 命题，并在这个过程中获得逻辑证明的思路，从而丰富自己的数学经验，提高育 觉能力和想象力因为《几何画板》的功能强人，它可以很轻松地改变实验的条 件，所以学生在短时间内可以很方便地进行无数次实验来验证结果的真伪正因 为如此，学牛就会对实验得击的正确结果深信不己，此时再由老师把问题一般化, 抽象化，形成数学中的定义、定理、公式、规律，从而引导学生学会这种由此及 彼的学习方法，为今后在学习过程中养成举一反三的能力打下基础2、数学实验教学可以有效改变学生学习方式利用《几何画板》开展高中数学实验教学改变了传统教学中学生围着老师转 的教学模式，学生从以往的听众变成了积极的参与者，真正成为课堂的主体大 多数学牛反映在课堂上使用《几何画板》特别有意思，大家可以边实验边讨论， 互相协作、大胆猜想，踊跃发表自己的意见，参与感比较强，在实验中学习，数 学课变得不再枯燥无味了由于《几何画板》具有的动态功能，利用《几何画板》 构建的高中数学实验为学生营造了一个“探索数学”、“体验数学”的环境，把原 来的数学学习过程转变为自己学习数学的过程，使学生体会到知识产生的过程， 从而对数学有更深刻的认识，产牛更深刻的求知欲，也进一步激发了学生学习数 学的积极性。

同时他们探索研究问题的基本方法和基本素养也在实验中得到提 高，有利于学生逐步培养科学研究的态度和意识，利用《几何画板》学生可以充 分地参与探究性活动，主动地建构知识，不仅能增强学生的动手实验能力，同时 还使学生体会到归纳、猜想等合情推理重要的数学思想、方法，对于激发学生学 习数学的主动性和积极性是非常有好处的实践证明，数学实验的引入，给我们的数学课注入了许多活力，更能给予学 生一个“完整的数学”让学生在教师的指导下进行实验，可大大增强学生的好 奇心，激发其探索和创造的欲望，使学生的学习过程，变为自己动手实验、观察 发现、猜想验证、合情推理、动脑设计等的亲身经历因此，数学实验是让学生 在已有的认知结构基础上，去发现、建构新知识的在数学教学中，充分挖掘实 验环境，特别是利用《几何画板》这样的优秀软件平台为学生创设进行数学实验 的良好环境，是实施数学素质教育的重要途径参考文献】1•张光乐，《高中数学课程标注解读》，远方出版社，2007, P272. 周宝，《激发数学创新思维》，远方出版社，2007, P1533. 欧阳绛译，波利亚，《数学的发现》第一卷，科学出版社，1982, P37o。