转动惯量 理论力学.ppt

转转 动动 惯惯 量量西北工业大学西北工业大学支希哲支希哲 朱西平朱西平 侯美丽侯美丽动 力 学转 动 惯 量转转 动动 惯惯 量量§5 质量对称分布刚体的惯性主轴方向的判定 §4 刚体对任意轴的转动惯量§3 转动惯量的平行轴定理 §2 简单形状匀质刚体的转动惯量 §1 转动惯量的概念 动动 力力 学学目录转 动惯量转转 动动 惯惯 量量§1 转动惯量的概念 转动惯量的概 念回转半 径转动惯量的一般表达式 极转动惯量转 动 惯 量转转 动动 惯惯 量量1.转动惯量的概念刚体对轴z的转动惯量，是刚体内所有各点的质量与其对该轴的 转动半径的平方的乘积的总和（如图1）可见，转动惯量永远是正值可以表示为图 1xyzAOrzx yzrz  影响转动惯量大小的因素●● 整个刚体质量的大小●● 刚体各部分的质量分布●● 转轴的位置对于质量连续分布刚体：§1 转动惯量的概念转转 动动 惯惯 量量所以，当谈到刚体的转动惯量时，应指出它 是对哪个轴来说的在国际单位制中，转动惯量的常用单位是kg·m2 。

● ● 整个刚体质量的大小● ● 刚体各部分的质量的分布● ● 转轴的位置 影响转动惯量大小的因素刚体的转动惯量是刚体在转动时惯性的度量刚体的转动惯量是刚体在转动时惯性的度量图 1xyzAOrzx yzrz§1 转动惯量的概念转转 动动 惯惯 量量2.回转半径刚体对于某轴z的转动惯量与其质量m之比值的平方根为一个当量长度，称为刚体对于该轴的回转半径因此，有关系式 可见，如果假想地把刚体的全部质量集中于一点，而不改变这刚体对于该轴的转动惯量，则这个点到该轴的距离应等于回转半径 §1 转动惯量的概念转转 动动 惯惯 量量3.转动惯量的一般表达式同理，可得刚体对轴x和轴y的转动惯量 计算式，合并写成 取固连于刚体的坐标Oxyz，设刚体内任一质点A的坐标是（x，y，z） ，用rz表示点A到轴z的距离，则 （如图2）故得刚体对轴z的转动惯量的计算式图 2xyzAOrzx yz rz§1 转动惯量的概念转转 动动 惯惯 量量4.极转动惯量对于平面薄板，使平板表面重合于坐标平面Oxy（如图3），此时有 薄板对与板面垂直的轴的转动惯量，称为薄板的极转动惯量。

上式 指出，薄平板的极转动惯量，等于薄板对板面内与极轴薄平板的极转动惯量，等于薄板对板面内与极轴z z共点并相互正交共点并相互正交的任意两轴的转动惯量之和的任意两轴的转动惯量之和 如果薄板内各点的坐标 z 可以忽略，则式简写成 图 3xzy OyAxr§1 转动惯量的概念转转 动动 惯惯 量量§2 简单形状匀质刚体 的转动惯量 转 动 惯 量转转 动动 惯惯 量量在杆沿轴线x上任一小段dx，其质量 ，对轴z的转动惯量元素是 例题1下面举例说明一些简单形状匀质刚体的转动惯量的积分计算方法 例题1 已知匀质细长直杆的质量是m，长度是l（如图4），求它对于过质心C且与杆相垂直的轴 z 的转动惯量 解：匀质细长直杆对轴z的转动惯量是 图 4lxzxdxl/2C C§2 简单形状匀质刚体的转动惯量 转转 动动 惯惯 量量由图可见，矩形板在y方向的尺寸a不影响Jy，故可利用上例的结果例题2例题2 已知匀质矩形薄平板的质量是m，边长为a和b（如图5），求 这薄板对垂直板面中心 C 的轴z转动惯量 解：类似地可得 利用bCxyadxzlxxdxl/2 C§2 简单形状匀质刚体的转动惯量 图 5薄板的极转动惯量为转转 动动 惯惯 量量例题3例题 3 已知匀质薄圆盘的半径是r，质量是m （如图6） ，求它 对垂直于盘面质心轴Oz的转动惯量。

取任一半径为ζ，宽为dζ的圆环，其质量是 解：对轴z的转动惯量元素是 于是，求得圆盘对轴z转动惯量 考虑到 Jx=Jy ，即可求得 图 6xyOr ζdζ§2 简单形状匀质刚体的转动惯量 转转 动动 惯惯 量量§3 转动惯量的平行轴定理 转 动 惯 量转转 动动 惯惯 量量设刚体的质量为m，对轴 z′的转动惯量是 轴z与轴z′相平行且相距d求此刚体对轴z的转动惯量取坐标系如图所示，令 ，轴y重合于轴 y′ 设刚体内任一质点A的质量是mi，则刚体对轴z的转动惯量是 上式右端第一项就是 Jz′ ，第三项是(∑mi)d 2，至于第二项，根据质心C坐标公式图 7得知xyzAOxyzz′x′y′dO'C§3 转动惯量的平行轴定理 转转 动动 惯惯 量量在实际应用中，常令轴 z′通过质心C， 因而yC′=0于是得关系式 即，刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行且通过质心的轴的刚体对任一轴的转动惯量，等于它对该轴相平行且通过质心的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平方的乘积转动惯量，加上刚体的质量与两个轴之间距离平方的乘积这就是转动转动惯量的平行轴定理惯量的平行轴定理。

xyzAOxyzz′x′y′dO'C§3 转动惯量的平行轴定理 图 7转转 动动 惯惯 量量例题4例题 4解：lzl/2CAz11. 已知杆长l，质量是m求通过杆端A并与轴z平行的轴z1的转动惯量2. 已知半径r，质量是m求通过点A并与质心轴z平行的轴z1的转动惯量ACz1z§3 转动惯量的平行轴定理 图 8图 9解：转转 动动 惯惯 量量例题5例题 5 冲击摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆盘组成（如图10 ） 已知杆长l，质量是m1；圆盘半径是r，质量是m2求摆对通过 杆端O并与圆盘面垂直的轴z的转动惯量 解：图 10OC1C2lr§3 转动惯量的平行轴定理 A转转 动动 惯惯 量量思考题 1思考题 1 钟摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆环组成（如图 11） 已知杆长l，质量是m1；环质量是m2求摆对通过杆端O并与 圆环面垂直的轴 Oz 的转动惯量 解：OC1lCrR§3 转动惯量的平行轴定理 图 11A转转 动动 惯惯 量量思考题 2思考题 2 匀质曲杆OAB如图12所示 已知质量是m，求曲杆对 通过杆端O并与曲杆面垂直的轴 O z 的转动惯量。

解：OCaAbB§3 转动惯量的平行轴定理 图 12转转 动动 惯惯 量量例题 6例题6 求半径为r、高度是l、质量是m的匀质正圆柱对平行于底 面的质心轴Cx的转动惯量 （如图13）取圆柱上由两个平行底面的截面所截出的薄圆盘作为单元体 此薄圆盘对于轴x的转动惯量等于解：其中薄圆盘的质量 图 13zz yxdz C§3 转动惯量的平行轴定理 转转 动动 惯惯 量量同理可以求得 整个圆柱体对于轴x的转动惯量是 zz yxdz C§3 转动惯量的平行轴定理 图 13转转 动动 惯惯 量量§4 刚体对任意轴的转动惯量 ·惯性积和惯性主轴  惯性积 刚体对任意轴的转动惯量 惯性主轴转 动 惯 量转转 动动 惯惯 量量设Oxyz是固连在刚体上的坐标系，轴线OL与坐标轴x，y，z的交 角用α，β，γ表示 （如图14）刚体对轴OL的转动惯量 式中 其中OB是矢 r =OA 在轴OL上的投影 因 ，故 图 14xzAOrLyBLαβγ由矢量投影定理得 §4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴 转转 动动 惯惯 量量考虑到 ，有 于是，刚体对轴OL的转动惯量是 （a）§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴 转转 动动 惯惯 量量式中 分别是刚体对轴 x，y 和 z 的转动惯量转动惯量。

1)（a）§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴 转转 动动 惯惯 量量惯性积惯性积也可用转动惯量的同样单位计算，它的大小也决定于刚体 的质量、质量分布以及坐标轴位置这三个因素但是，惯性积可正、 可负，也可以等于零（转动惯量永远是正）  惯惯性积性积(2)分别称为刚体对轴y和z、对轴z和x以及对轴x和y惯惯性积性积式中§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴 （a）转转 动动 惯惯 量量刚体对任何轴的转动惯量把式（1）和式（2）代入（a）式最 后得刚体对于轴刚体对于轴OLOL的的转动惯量转动惯量 再应用转动惯量的平行轴定理，即可求出刚体对任意轴的转动惯量刚体对任意轴的转动惯量 xzOyLAdL′ 刚体对任意轴的刚体对任意轴的转动转动惯量惯量(1)(2)§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴 图 15转转 动动 惯惯 量量惯性主轴● ● 适当地选择坐标系Oxyz的方位，总可使刚体的两个惯性积同时等于 零，例如 Jyz=Jzx 这时，与这两个惯性积同时相关的轴Oz称为刚体在O处的一根惯性主轴惯性主轴● ● 刚体对惯性主轴的转动惯量称为主转动惯量为主转动惯量。

● ● 如果惯性主轴还通过刚体质心，则称为中心惯性主轴中心惯性主轴● ● 刚体对中心惯性主轴的转动惯量称为中心主转动惯量中心主转动惯量对刚体的任 一点O都可以有三个相互垂直的主轴  惯惯性主轴性主轴§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴 转转 动动 惯惯 量量现在取刚体在质心C的三根中心惯性主轴为坐标轴x，y，z，Jxy= Jyz =Jzx=0，则刚体对任一质心轴CL的转动惯量为应用转动惯量的平行轴定理，即可求得刚体 对任何与轴CL相平行的轴 OL′的转动惯量  刚体对任一质心轴的转动惯量刚体对任一质心轴的转动惯量zCyLOdL′§4 刚体对任意轴的转动惯量·惯性积和惯性主轴 图 16转转 动动 惯惯 量量§5 质量对称分布刚体的惯性 主轴方向的判定 转 动 惯 量转转 动动 惯惯 量量定理1定理1 如刚体具有质量对称轴，则该轴就是刚体的一根中心惯性主如刚体具有质量对称轴，则该轴就是刚体的一根中心惯性主 轴，并且是此轴上任一点的一根惯性主轴轴，并且是此轴上任一点的一根惯性主轴证明证明 在质量对称轴上任一点O，取固连于刚体的坐标系Oxyz，且使 轴Oz重合于质量对称轴。

即轴Oz是刚体在点O的一根惯性主轴惯性主轴 由于O是质量对称轴上的任一点，故此轴必同时为其上任一点的一根惯性 主轴又因质心C也在对称轴上，故此轴又为刚体的一根中心惯性主轴中心惯性主轴 图 17xzOC yAA′zz-xx-yy于是，刚体内每对对称于轴Oz的质点 A（mi；x，y，z）和A′(mi；-x，-y，z），两者在 和 中的贡 献相互抵消，对整个刚体有§5 质量对称分布刚体的惯性主轴方向的判定 转转 动动 惯惯 量量于是，刚体内每对对称于Oxy的质点 A（mi；x，y，z）和A′（mi；-x，-y，z）两者定理2定理2 如刚体具有质量对称平面，则垂直于这对称平面的任一直线如刚体具有质量对称平面，则垂直于这对称平面的任一直线 就是在该直线与对称面的交点处的一根惯性主轴中心惯性主轴之一也垂就是在该直线与对称面的交点处的一根惯性主轴中心惯性主轴之一也垂 直此对称平面直此对称平面 证明证明 作坐标系Oxyz，使Oxy重合于刚体的质量对称平面如图从而对整个刚体 即轴Oz是在点O的一根惯性主轴惯性主轴。

当然质心C必须在质量对称平面内，故此刚体的中心惯性主轴之一 也必与此对称平面垂直 同理 图 18xzOSyAA′z-zxy§5 质量对称分布刚体的惯性主轴方向的判定 转转 动动 惯惯 量量。