中学数学难题难题.doc

中学数学难题难题第01题 阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7问这牛群是怎样组成的？ 第02题 德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物问这4块砝码碎片各重多少？第03题 牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cowsa头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？ 第04题 贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens在下面除法例题中，被除数被除数除尽：* * 7 * * * * * * * : * * * * 7 * = * * 7 * ** * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？第05题 柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每 个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题The Bernoulli-Euler Problem of the Misaddressed letters求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。

第07题 欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？第08题 鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couplesn对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的妻子并坐，问有多少种坐法？第09题 卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂第10题 柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem 求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值第11题 伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np第12题 欧拉数The Euler Number 求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值第13题 牛顿指数级数Newton's Exponential Series将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数。

第14题 麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series 不用对数表，计算一个给定数的对数 第15题 牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series 不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数 第16题 正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series 在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列试利用屈折排列推导正割与正切的级数第17题 格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series已知三条边，不用查表求三角形的各角第18题 德布封的针问题Buffon's Needle Problem在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面上，问针触及两平行线之一的概率如何？第19题 费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。

第20题 费马方程The Fermat Equation求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数第21题 费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem证明两个立方数的和不可能为一立方数第22题 二次互反律The Quadratic Reciprocity Law（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式（p/q）·（q/p）=（－1）[(p-1)/2]·[(q-1)/2]第23题 高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra   每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根第24题  斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数第25题  阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem高于四次的方程一般不可能有代数解法第26题 赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零。

第27题 欧拉直线Euler's Straight Line在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离第28题 费尔巴哈圆The Feuerbach Circle三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上第29题 卡斯蒂朗问题Castillon's Problem将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆第30题 马尔法蒂问题Malfatti's Problem在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切 第31题 蒙日问题Monge's Problem画一个圆，使其与三已知圆正交第32题 阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius画一个与三个已知圆相切的圆第33题 马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出第34题 斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。

第35题 德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边第36题 三等分一个角Trisection of an Angle 把一个角分成三个相等的角第37题 正十七边形The Regular Heptadecagon 画一正十七边形第38题 阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi{/color]设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项这个方法叫作阿基米德算法第39题 富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）第40题 测量附题Annex to a Survey利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。

第41题 阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形第42题 由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆第43题 在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点第44题 由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents已知抛物线的四条切线，作抛物线第45题 由四点作抛物线A Parabola from Four Points过四个已知点作抛物线第46题 由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线第47题 范·施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？第48题 卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？第49题 牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。

第50题 彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹第51题 作为包络的抛物线A Parabola as Envelope从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线第52题 星形线The Astroid直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络第53题 斯坦纳的三点内摆线Steiner's 。