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2020 年考研数三真题参考答案 （真题网上搜集而做的解答，会有误差，仅供参考） 一、选择题 1、设 ( ) lim, xa f xa b xa = 则 sin( )sin lim xa f xa xa = （ ） （A）sinba （B）cosba （C）sin( )bf a （D）cos( )af a 解析： sin( )sinsin( )sin( ) limlim ( ) xaxa f xaf xaf xa xaf xaxa = ( ) coslimcos xa f xa aba xa == 2、函数 () 1 1ln|1 | ( ) 12 x x ex f x ex + = （） 的第二类间断点的个数（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 解析：间断点：0,2,1, 1 ，但 021 1 1 lim( ),lim( ),lim( ), lim( ) 2 xxx x f xf xf xf x e + = = = = 所以选（C） 3、对奇函数( )f x在(), +上有连续导数，则（ A ） （A） 0 cos ( )( ) x f tf t dt+ 是奇函数； （B） 0 cos ( )( ) x f tf t dt+ 是偶函数； （C） 0 cos( )( ) x f tf t dt+ 是奇函数； （D） 0 cos( )( ) x f tf t dt+ 是偶函数。

解析：( )f x为奇函数，则其导数( )fx为偶函数，又cosx为偶函数， 则cos( )f x也是偶函 数，故cos( )( )f tft+为偶函数，以 0 为下限、被积函数为偶函数的变限积分函数为奇函 数所以（A）是正确 （4）已知幂级数 1 (2)n n n na x = 的收敛区间为()2,6 ,则 2 1 (1) n n n a x = + 的收敛区间为 （ B ） （A）()2,6 （B）()3,1 （C）()5,3 （D）()17,15 解析：由比值法知，要使幂级数收敛，必有 22 1 2 (1) lim (1) n n n n n ax ax + + + + 2 1 lim(1)1 n n n a x a + =+< 1 又由 1 (2)n n n na x = 的收敛区间为()2,6 ,所以 1 n n n na x = 的收敛半径为 4.即收敛半径为 1 lim4 n n n a R a + ==，所以 22 1 1 lim(1)(1)1 4 n n n a xx a + +=+<，从而得31.x << 5、设四阶矩阵 A 不可逆， 12 a的代数余子式 12 0A ， 1234 ,,, 为矩阵 A 的列向量组， * A为 A 的伴随矩阵，则方程组 * 0A x =的通解为（ ） （A） 112233 xkkk=++ () 123 ,,k k kR （B） 112234 xkkk=++ () 123 ,,k k kR （C） 112334 xkkk=++ () 123 ,,k k kR （D） 122334 xkkk=++ () 123 ,,k k kR 解析：因为 12 0A ，所以 A 中有一个 3 阶子式不为零，又 A 不可逆，从而知 R（A）3，故 * ()1R A=，再由 12 0A 知 134 ,, 线性无关，综上可得 134 ,, 是 * 0A x =的一个基础解 系，所以知（C）正确。

6、设 A 为 3 阶矩阵， 12 , 为 A 属于 1 的线性无关的特征向量， 3 为 A 的属于特征值 1 的特征向量，则满足 1 100 010 001 P AP = 的可为（ ） （A）() 1323 ,, + （B）() 1223 ,, + （C）() 1332 ,, + （D）() 1232 ,, + 解析：由已知可得 112233 1,1,1AAA= = = ，所以 ()()()() 121233 1,1AA+= += 令() 1232 ,,P =+，则有 1 100 010 001 P AP = 7、已知 11 ( )( )( ),()0,()() 412 P AP BP CP ABP ACP BC======，则 A，B，C 恰好发 生一个的概率为（ D ） （A） 3 4 （B） 2 3 （C） 1 2 （D） 5 12 解析：()()()P ABCP ABCP ABC++ 2 ()()()P ABCP BACP ABC=++ ()()()( )(A)( )(B)( )(C)P APBCP BPACP CPAB=++ ( )(A)P ACP ABC( )()P(BC)P(ABC)P APBP BP AB=+++ （） （） ( )()()P(ABC)P CP ACP BC++ 因为,()P(AB)0ABCAB P ABC=，所以 原式 11111115 4124124121212 ++= 8、若二维随机变量(),X Y服从 1 0,0;1,4, 2 N ，则下列服从标准正态分布且与 X 独立的 是（ ） （A）() 5 5 XY+ （B）() 5 5 XY （C）() 3 3 XY+ （D）() 3 3 XY 解析：由二维正态分布可知 () 1 (0,1),0,4 , 2 XY XNYN= ， ()()( )2() ( )3 XY D XYD XD YD X D Y+=++= 所以 (0,3)XYN+ () 3 (0,1) 3 XYN+ 又(,)Cov X XY+(,)(, )()(X)D(Y)0 XY Cov X XCov X YD XD=+=+= 所以 X 与() 3 3 XY+相互独立。

二、填空题 9、设arctansin() ,zxyxy=++则 (0, ) ______dz = 解析：由arctansin()zxyxy=++得tansin()zxyxy=++，两边微分得 () 2 seccos()zdzxdyydxxydxdy=++++，且 (0, ) 0z = 将()0, ,0代入上式得 (0, ) dz =()()cos(0)1dxdxdydxdy+++= 10、已知曲线满足 2 0, xy xye++=求曲线在点()0, 1处的切线方程 解析：在方程 2 0 xy xye++=的两边同时对 x 求导数，得 () 2 120, xy yeyxy+++= 3 将点()0, 1代入上式得 0 1, x dy dx = =所以切线方程为1yx= 11 、 设 产 量 为 Q ， 单 价 为 P ， 厂 商 成 本 函 数 为( )10013 ,C =+需 求 函 数 为 800 ( )2 3 Q P P = + ， 求厂商取得最大利润时的产量 解析：由 800 ( )2 3 Q P P = + 得 800 3 2 P Q = + ，则利润函数为 800 ( )3(100 13 ) 2 L Q Q =+ + () 2 1600 ( )16, 2 L Q Q = + 令( )0L Q=可得8Q =，且有 () 3 3200 ( )0 2 L Q Q =< + ，故当 8Q =时利润最大。

12、设平面区域为 2 1 ( , )|,1 21 x Dx yyxx x = + ，则求 D 绕 y 轴旋转一周所成的 旋转体的体积 解析：由题意得旋转体的体积为 1 0 2( ) y Vxf x dx= 1 1 23 2 0 0 11 2ln(1) 123 x xdxxx x ==+ + 1 ln2 3 = 13、行列式 011 011 ___________ 110 110 a a D a a == 解析：记 011 , 011 a AB a == ，则 ABABBABB DAB AB BABAAOAB ++ ====+ + 42 1111 4 1111 aa aa aa + == + 4 另法： 011 011011 110110 110110 aaaaa aa D aa aa = 1111 011 110 110 a a a a = 1111 11 011 211 0211 211 0211 a a aaa a a a ==+ + 42 4aa= 14、随机变量 X 的分布律为 () 1 ,k1,2,,Y 2k P Xk===为 X 被 3 除的余数，则 ( )_____E Y = 解析： 11 11 03 87 n nn P YP Xn == ===== 10 1 14 131 2 87 n nn P YP Xn == ===+== 142 21011 777 P YP YP Y== === = 所以，所求的数学期望为 1428 ( )012 7777 E Y =+ += 三、解答题 15、设,a b为常数，且当n 时， 1 1 n e n + 与 a b n 等价无穷小，求,a b的值。

解析： 1 1 lim n n a e n I b n + = 11 ln 1ln 11 11 limlim 11 nn nn nn aa eeee bb nn ++ == 1 ln 11 lim 1 n a n en b n + = 11 ln 1 lim 1 n a n nne b n + = 由于() 2 111 1 ln 1, 2 n nnn + 所以得1,a = 且 1 1 2 lim1 2 n e Ibe b == = 16、求 33 ( , )8f x yxyxy=+的极值 5 解析：令 2 2 30 240 f xy x f yx y == == 得到驻点：() 1 1 0,0 ,, 6 12 又 222 22 6 ,1,48 fff Ax BCy xx yy ==== == 在()0,0处，有 2 10ACB= ，且10A= ，此时有极小值，且 极小值为 33 1 111111 ,8 6 12612612216 f =+ = 17、设( )yf x=满足250yyy++=，且(0)1,(0)1,f f == （1）求( )f x； （2）设( ), n n af x dx + = 求 1 n n a = 。

解析： （1）由250yyy++=得特征方程为 2 250++=，解得 1,2 1 2i= ，所以 方 程的通解 为() 12 ( )cos2sin2, x f xeCxCx =+再由条件 (0)1,(0)1,f f == 得 12 1,0CC== ，从而得( )cos2 . x f xex = （2）由（1）得 () 1 ( )cos2cos22sin2 5 xxx n nnn af x dxexdxexex +++ ===+ 1 5 n e = 所以 11 111 551 n n nn ae e == == 18、设区域 22 ( , )|1,0Dx yxyy=+， 2 ( , )1( , ) D f x yyxxf x y dxdy=+ ，计算 ( , ). D xf x y dxdy 解析：记( , ) D。