高职应用数学教学课件作者张国勇课件第一节,第二节微分中值定理与罗必塔法则.ppt

授课建议,1、根据中学所学的情况，函数单调性的判定及极值、最值的求法，可作简单的复习介绍；,2、重点介绍罗必塔法则,函数性态的讨论和作图.,建议授课时数：约10学时,第三章导数的基本应用,第一节 拉格朗日中值定理,设函数 满足：,（1）在闭区间 上连续；,（2）在开区间 内可导；,则在开区间 内至少存在一点 ，使得,,例3.1.1 验证函数 在区间 上满足拉格朗日定理.,解 函数 在 上连续,在 内可导,故 满足拉格朗日定理的条件,而 由,,,罗必塔法则 设函数 和 在点 的某个邻域内可导，且,（1）,,（或,）；,（2） ；,,（3） （A可以为 ）.,,,则,,,第二节 求极限的洛必达法则,例3.2.1 利用罗必塔法则求解下列 型极限：,(1),(2),解（1）原式,（2）原式,,,,一. 标准型的“未定式”,注：我们通常称,=1为第一个重要极限，今后可,(3),解,,作为公式加以利用．,(4),(5),(6),解法1（4）原式,（5）原式,（6）原式,,(利用洛必达法则),解法2（4）原式 =,例3.2.2 利用罗必塔法则求解下列 型极限：,(1),(2),解（1） 原式,（2）原式,,例3.2.3,解 原式,注：（1）上下同时求导，要清楚与除法的导数公式区别；,（2）若要多次应用法则，每次用之前要先整理 化简式子，检验是否属于 型或 型未定式， 若不是，就不能运用该法则.,二. 非标准型的“未定式”,除了 型和 型两种标准型以外，还有其 它类型的未定式，它们可先化为 型或 型再 求之.,对于 型的极限可通过化为繁分式法化为标准型.,例3.2.4 求,原式,,,对于 型的极限可通过通分或有理化法化为标准型.,例3.2.5 求,解 原式,,例3.2.6 求,解 原式,,注意:有些极限从形式上满足罗必塔法则的条件，但用其它方法可能更有效.,对于（1 、0 、∞ ）型的极限可通过取对数法化为标准型。

例3.2.7求,(取对数),解 原式,,注: 通常称,为第二个重要极限， 今后和,解,=,,令,则,．,第一个重要极限一样， 可作为公式加以利用．,例3.2.8 求,有些极限虽然从形式上看似乎满足罗必塔法则的条件，但实际上不满足或用法则根本无效. 此时应灵活应用其它的方法解决如,显然罗必塔法则对此例已失效，事实上有：,,以下再讨论等价无穷小（涉及两个重要极限）及其应用问题．,时，比较无穷小,与,解 因为,所以当,三.再论无穷小问题,例3.2.10 比较当,的阶．,时,无穷小,与,等价．,例3.2.12 求,解 由于,,,又当,时，,～,利用无穷小替换可得,．,～,～,思考：,时，虽然,～,但,并不等价于,所以用,替换,是错误的．,=0的错误．,= 0，对吗？为什么？,分析：当,～,一般地，函数为乘积形式时可以用无穷小替换，若是“和差”形式则不能替换．否则就会导致,当,时,有下列常用的等价无穷小：,～,．,～,～,～,～,～,。