《用空间向量研究夹角问题》示范课教学设计【高中数学】.docx

《用空间向量研究夹角问题》教学设计【引入新课】建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.上一节课我们学习了运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的距离问题.与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题.本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势.知识回顾：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.【课堂探究】任务一 典型例题，求解直线与直线所成的角例2：如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC、AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？答案：（化为向量问题）两条异面直线所成的角，转化为两条异面直线方向向量与的夹角的余弦值，借助数量积进行求解.追问1：向量与的夹角与直线AM和CN夹角的联系？答案：，又两直线的夹角为锐角，所以追问2：如何表示向量与使我们方便计算它们的夹角?答案：方法1 选择空间的一个基底根据空间向量基本定理，任意不共线的三个非零向量均可作为基底表示空间中的任意向量.当三个向量为互相垂直的单位向量时可以建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中设计的点、线、面等元素，从而把立体问题转化为向量问题.根据条件，已知正四面体的棱长和棱与棱之间的夹角，AM和CN是中线，其模长可求，所以再求向量与夹角时，只要用基底向量表示出即可.为此，选择为基底并表示向量、. 方法2 建立空间直角坐标系取BD的中点O，过点O作OE平面BCD，以O为原点，OC，OD，OE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系（建系方式不唯一），但明显这种建系方式下点的坐标不易得到，不利于计算夹角.追问3:你能否通过向量运算，求出向量、夹角的余弦值，进而求出直线AM和CN夹角的余弦值. 答案：（化为向量问题）以为基底，则， 设向量和夹角为，则直线和夹角的余弦值为.（进行向量运算）而都是正三角形，所以，所以， ，（回到图形问题）所以，直线和夹角的余弦值为.小结：研究立体几何问题要注意转化思想，将立体几何问题化为向量问题进行向量运算回到图形，解决立体几何问题.追问4：你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角的一般方法吗？ 答案:任务二 直线和平面所成的角已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角θ.问题2：斜线与平面所成的角的定义是什么？平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，它们所成的角是90o；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0o.直线与平面所成角的范围:.追问：你能根据定义做出线面角θ吗？答案：过直线上一点A，做平面α的垂线交平面α于点C，联接BC，∠ABC即为直线AB与平面α所成的角θ.问题3:这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化为向量问题？答案：已知一条直线和一个平面，我们用一个点和方向向量表示直线，用一个点和法向量表示平面.因此，我们借助直线AB的方向向量u与平面α的法向量n的夹角表示直线AB与平面α所成的角的大小.追问：直线AB与平面所成的角与直线AB的方向向量u与平面的法向量n的夹角的关系？如何借助直线的方向向量u与平面的法向量n求直线和平面的夹角？答案：因为或，所以或，又因为所以任务三 平面和平面所成的角问题4:类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为合理定义两个平面所成的角？答案：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90o的二面角称为平面与平面的夹角.追问1：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别与联系吗？答案：二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是；而平面与平面的夹角是指平面与平面相交，形成的四个二面角中不大于90o的二面角，它的取值范围是. 追问2:角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？答案：在空间向量里，通过一个点和法向量可以确定唯一的平面.问题5：两个平面的法向量夹角与两个面夹角的关系？答案：答案：若平面α与平面β的法向量为n1，n2，则平面α与平面β的夹角即为向量为n1,n2的夹角或其补角.问题6:如何借助平面α与平面β的法向量为n1,n2求两个平面的夹角？答案：追问：为何向量夹角余弦值的绝对值为两个平面夹角的余弦值？答案：当< n1，n2>≤90，两角相等时， 当< n1，n2> >90，两角互补时 ， 综上，【知识应用】例3： 如图，直棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，，P为BC的中点，Q，R分别在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.分析：平面PQR与平面A1B1C1夹角可以转化为平面PQR与平面A1B1C1法向量的夹角，所以只需建立恰当的直角坐标系求出两个平面的法向量的夹角即可.解：转化为向量问题以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设平面A1B1C1法向量为n1，平面PQR法向量为n2，平面PQR与平面A1B1C1夹角即为n1，n2的夹角或其补角.进行向量运算 平面A1B1C1的一个法向量为n1=(0，0，1). 由题意，P=(0，1，3)，Q=(2，0，2)，R=(0，2，1)，，.设，则即所以 解得 ，则.回到图形问题设平面PQR与平面A1B1C1夹角为，则，即平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值为.【归纳小结】1、 异面直线夹角、线面角、两平面夹角的向量表示;2、 用向量方法解决立体几何问题的一般步骤.。