高中数学：关于三角形的“四心”与平面向量的结合教案苏教版必修5.doc

1 -关于三角形的“四心”与平面向量的结合[关键字] 高中|数学|平面向量|内心| 外心|重心|垂心[内容摘要] 每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的 “四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习.特别体现出它们之间的结合,不当疏漏之处,恳请读者批评指正.一、 基础知识复习1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心” 、 “外心” 、 “重心” 、 “垂心”合称为三角形的“四心”.2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、 典型例题分析[例]已知点 G 是 ABC内任意一点,点 M 是 ABC所在平面内一点.试根据下列条件判断 G 点可能通过 A的__________心.(填“内心”- 2 -或“外心”或“重心”或“垂心”).[提出问题](1)若存在常数 ,满足 ()(0ABCMG,则点 G 可能通过 ABC的__________.(2)若点 D 是 的底边 BC 上的中点,满足 DBCA,则点 G可能通过 的__________.(3)若存在常数 ,满足 ()(0sinsiMGAA,则点G 可能通过 ABC的__________.(4)若存在常数 ,满足 ()(0coscsBCAA,则点G 可能通过 A的__________.[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.[解答过程](1)记 12,ABCe,则 12()AGe.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点 G 是角平分线上的点,故应填内心.(2)简单的变形后发现点 G 是 BC 边中垂线上的点,故应填外心.(3) sinsi,ABCA记 sinsiBACh,- 3 -则 ' '()(AGBCh.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G 是 BC 边的中线上的点,故应填重心.(4)分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由 ()(0coscsABCMGA,得 ()(A,(关键点) ()(0)coscsBCGCBA于是()() )0ABCBBCA（ cos-cos） =.从而 G,点 G 是高线上的点 ,故应填垂心.[教师点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.三、 综合运用[提出问题]若 O 点是 ABC的外心, H 点是 ABC的垂心,且 ()Hm,求实数 m 的值.[思路分析]许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题.- 4 -[解答过程]由 ()OHmABOC,得 ()HAmOBCA,于是 (1)A,(关键点) ()()BC即 ())HmOBCOBAA,由题意,知 0,及 (()0,从而 (1)0mOABC,其中 BCA,因此 1,m即 .[教师点评]请读者特别注意解题中的关键点,解这类问题时的技巧也应熟练掌握.[举一反三]通过上述例题及解答,我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式.若 P点为 ABC内任意一点，若 P点满足:1．(),0()ABPCtt为 的 内 心，;2.DE、 两点分别是 AB的边 CA、 上的中点,且PBPCA为 的 外 心;3. 1(),3ABCBPA为 的 重 心，;4. 0C为 的 垂 心.。