全国中考数学压轴题60例答案解析.pdf

基础义务教育资料全国中考数学压轴题6 0 例参考答案与试题解析一、解答题(共 6 0 小题)1.(重 庆)已 知：如图，在矩形ABCD中，AB=5,A D=22,AEBD,垂足是E .点3F是 点 E关于AB的对称点，连接AF、BF.(2)若将AABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿 BD方向所经过的线段长度).当 点 F分别平移到线段AB、A D 上 时，直接写出相应的m 的 值.(3)如图,将AABF绕 点 B顺时针旋转一个角a(0 a 1 8 0 ),记旋转中的M B F为ABF,在旋转过程中，设 A F 所在的直线与直线A D 交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q 两 点，使ADPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的 长；若不存在,请说明理由.考 点：几何变换综合题.专 题：压轴题.分 析：(1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；(2)依题意画出图形，如答图2 所 示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的 值;(3)在旋转过程中，等腰 DPQ有 4 种情形，如答图3 所 示,对于各种情形分别进行计算.解 答：解：(1)在 RMABD 中，AB=5,A D=,由勾股定理得=253,.,SAABD=1BDAE=1ABAD,2 2.Ap _AB*ADBD5X与仔4.3在 R fA B E 中，AB=5,AE=4,由勾股定理得：BE=3.(2 )设平移中的三角形为AABF,如答图2 所示:由对称点性质可知，N1=N2.由平移性质可知，ABllAB,z 4=z l,BF=BF=3.当点F落在AB上 时,-.AB II A B ,.-.z3=z4,.,.z3=z2,.BB=BF=3,即 m=3;当点F落在AD上 时,-.AB II AB,.z6=z2,/zl=z2,z5=zl,.-.z5=z6 ,又易知 AB_LAD ,.BFD为等腰三角形，二BD=BF=3,.-.BB=BD -BD=.2-3=1,即 m=.3 3 3(3)存 在.理由如下：在旋转过程中，等腰 D PQ依次有以下4种情形：如答图3-1所 示，点Q落 在BD延长线上，且PD=D Q,易知N2=2NQ,答图3-1,.zl=z3+zQ,zl=z2,.z3=zQ,.-.A,Q=AB=5,.FQ=FA+AQ=4+5=9.在RfBFQ中，由勾股定理得：B Q=F F T/=海童=W I5.-.D Q=BQ-B D=3 V 1 0-；3如答图3-2所 示，点Q落 在BD上，且PQ=D Q,易知N2=NP,.zl=z2,/.zl=zP,BAIIPD,则此时点A落 在BC边 上.,.z3=z2,.,.z3=zl,.BQ=A,Q,.FQ=FA-AQ=4-BQ.在RfBQF中,由勾股定理得:BF2+FQ2=BQ2,即：32+(4-BQ)2=BQ2,解 得：BQ=&,8.-.DQ=BD-BQ=-25-.25=125.3 8 24如答图3-3所 示，点Q落 在BD上，且PD=DQ,易知N3=N4.,.1z2+z3+z4=180,z3=z4,.24=90。

lz2.2.zl=z2,.-.z4=90-I z l.2.-.zA,QB=z4=90-I z l,2.zA(BQ=180-zAQB-zl=90-I z l,2.zA,QB=zA,BQ,.AQ=AB=5,.FQ=AQ-AF=5-4=1.在 RfBFQ 中，由勾股定理得：BQ=p,Q2+F，B2=32+12=V1 0 ,.D Q=BD -BQ侬-伍；3如答图3-4所 示，点Q落 在BD上，且PQ=PD ,易知N2=N3 .,.-zl=z2,z3=z4,z2=z3,.,.zl=z4,，BQ=BA=5,.D Q=BD -BQ=25-5=1P.3 3综上所述,存在4组符合条件的点P、点Q,使AD P Q为等腰三角形；D Q的 长 度 分 别 为 诉-查 您、25-VTOHEIP.3 24 3 3点 评：本题是几何变换压轴题，涉及旋转与平移变换、矩形、勾股定理、等腰三角形等知识点.第（3）问难度很大，解题关键是画出各种旋转图形，依题意进行分类讨论；在计算过程中，注意识别旋转过程中的不变量，注意利用等腰三角形的性质简化计算.2.(重 庆)如图 1，在 口 ABCD 中，AH_LDC,垂足为 H,AB=4 行,AD=7,A H=&i.现有两个动点E,F同时从点A出 发，分别以每秒1个单位长度、每 秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在 点E ,F的运动过程中，以EF为边作等边AEFG，使EFG与ABC在射线AC的同侧，当 点E运动到点C时，E ,F两点同时停止运动，设运动时间为t秒.(1)求线段AC的 长；(2)在整个运动过程中，设等边AEFG与 ABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)当等边AEFG的顶点E到达点C时，如图2,将AEFG绕着点C旋转一个角度a(0a 3 6 0),在旋转过程中，点E与 点C重 合，F的对应点为F,G的对应点为G,设直 线FG，与射线DC、射线AC分别相交于M,N两 点.试 问：是否存在点M,N,使得CMN是以NMCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度;若不存在，请说明理 由.考 点：几何变换综合题.专 题：压轴题；动点型.分 析：(1)利用平行四边形性质、勾股定理，求 出DH、CH的长度，可以判定AACD为等腰三角形，则AC=AD=7;(2)首先证明点G始终在直线AB上，然后分析运动过程，求出不同时间段内S的表达式：当0 tI ,如答图2-1所 示，等边AEFG在内部；3当工 t4时，如答图2-2所 示，点G段AB上，点F在AC的延长线上；3当4 G 7时，如答图2-3所 示，点6、F分别在AB、AC的延长线上，点E段AC上.(3)因为NMCN为等腰三角形的底角，因此只可能有两种情形：若点N为等腰三角形的顶点，如答图3-1所 示；若点M为等腰三角形的顶点，如答图3-2所示.解 答：解：(1)vo ABCD,.-.CD=AB=4V7.在RtMDH中，由勾股定理得：DH/_ 而=/9_21=2行.-.CH=DH.-.AC=AD=7.(2)在运动过程中,AE=t,AF=3t，等边AEFG的边长EF=EG=GF=2t.如答图 1,过点 G 作 GPAC 于点 P,贝!|EP=lEG=t,G P=G=J t.AP=AE+EP=2t.-.tanzGAC=P=il=2/3.AP 2t 2,/tanzBAC=tanzACH=Ay=2/=jL2,CH 2A/7 2/.tanzGAC=tanzBAC,.点G始终在射线AB上.设NBAC=NACH=B,贝!sin8=&1=叵，cos0=-ZZ.AC 7 AC 7当0t-5=8.-.CQ=AQ-AC=8-7=1.设 BC与 GF交于点K,过 点 K作 KPJ_AF于 点 P,设 KP=x,则 EP=些=&,tan600 3.CP=EP-C E=&-(7-t)=逗-7+t.3 31PKllBQ,KP_CPBQCQ即.x李 一行 1解 得：*=延(7-。

3.-7 一 挈一争+萼.综上所述，S与 t 之间的函数关系式为:Vst2os=1373 2,8473t T-5-55 32 M t 2-2 8 t 卜 98北(4 t 7)(3 )设NACH=8,贝!t a n S=H=,c o s B=5 .CH 277 2 AC 7当 点 E与 点 C 重合时，t=7，等边AEFG的边长=2t=14.假设存在点M,N,使得ACMN是以NMCN为底角的等腰三角形，若点N 为等腰三角形的顶点，如答图3-1 所 示，则NNMC=NMCN=S.过点C 作 CP_LFM于 点 P,则 C P=*C F=7我.-.PM=_J2L_=X2=14.ta n7 32设 CN=MN=x,则 PN=PM-MN=14-x.在 RfCNP 中,由勾股定理得：CP2+PN2=CN2，即：(7 7 3)2+(14-x)2=x2,解 得：x=i9.4过 点 N 作 N Q LC M 于点Q,.CM=2CQ=2CNcos0=2x坐 xm7 g4 7若点M 为等腰三角形的顶点，如答图3-2 所 示，则NMNC=NMCN=B.G过点C作CPGN于 点P,则CP=6CF=7百._2.PN=伊=14.tan V 32设 CM=MN=x,贝!|PM=PN-MN=14-x.在 RfCMP 中,由勾股定理得:CP2+PM2=CM2，即：（773）2+（14-x）2=x2,.CM=x=.4综上所述，存在点M,N,使得ACMN是以NMCN为底角的等腰三角形，C M的 长 度 为 臂.点 评：本题是几何变换综合题，涉及平移与旋转两种几何变换.第（2）问 中，针对不同时间段内的几何图形，需要分类讨论；第（3）问 中，根据顶点的不同，分两种情形进行分类讨论.本题涉及考点众多，图形复杂，计算量偏大，难度较大；解题时需要全面分析，认真计算.3.（长 春）如 图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，点0为对角线BD的中点，点P从点A出 发，沿折线AD-DO-0 C以每秒1个单位长度的速度向终点C运 动，当 点P与点A不重合时过点P作PQAB于点Q以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与AABD重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P运动的时间为t（秒）.(1)求 点N落 在BD上时t的 值；(2)直接写出点。

在正方形PQMN内部时t的取值范围；(3)当 点P在折线AD-D O上运动时，求S与t之间的函数关系式；(4)直接写出直线DN平分 BCD面积时t的 值.考 点：相似形综合题；勾股定理；三角形中位线定理；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.专 题：压轴题；分类讨论.分 析：(1)可证ADPN-ADQB,从而 有 更M,即可求出t的 值.DQ QB(2)只需考虑两个临界位置(M N经过点0,点P与 点重 合)下t的 值，就可得到点0在正方 形PQMN内部时t的取值范围.(3)根据正方形PQMN与 ABD重叠部分图形形状不同分成三类，如图4、图5、图6,然后运用三角形相似、锐角三角函数等知识就可求出S与t之间的函数关系式.(4)由于点P在折线AD-D O-O C运 动，可分点P在AD上，点P在DO上，点P在0 C上三种情况进行讨论，然后运用三角形相似等知识就可求出直线DN平分 BCD面积时t的 值.解 答：解：(1)当 点N落 在BD上 时，如 图1.四边形PQMN是正方形，.-.PNllQM,PN=PQ=t.DPNSADQB.DP_PNDB-.-PN=PQ=PA=t,DP=3-1,QB=AB=4,.3-t t-.3 一47.当t=,，点N落 在BD上.7(2)如图2,则有 QM=QP=t,MB=4-1 .四边形PQMN是正方形，.MNllDQ.,点。

是DB的中点,.-.QM=BM.-.t=4-1 .-.t=2.如图3,.四边形ABCD是矩形，.-.zA=90./AB=4,AD=3,.DB=5.,点是DB的中点,.-.D0=-.2.lxt=AD+D0=3+22.t=ll.2，当点O 在正方形PQMN内部时，t 的范围是2 t H.2(3)当0 t4 当 寸，如图4.7S=s 正 方 形 PQMN=PQ2=PA2=t2.当 竺 仁 3 时，如 图 5,7.tanzADB=,DP AD .-P-G-_4.3-t 3.-.PG=4-殳.3.-.GN=PN-PG=t-(4-冉)=11-4.3 3,.tanzNFG=tanzADB=-,3.GN_4.NF=3GN=.?(H-4)=It-3.4 4 3 4二,S二 S 正 方 形 PQMN-SAG N F=t2-Ax(Z i-4)X(I t -3)2 3 4=-骂 2+7t-6.24 当 3 Vts口 时，如 图 6,2.四边形PQMN是正方形，四边形ABCD是矩形.zPQM=zDAB=90.-.PQllAD.BQP。