电磁学教学资料第三章.ppt

第三章第三章 稳稳恒电流恒电流1、电流、电流 电流密度电流密度2、电源、电源 电动势电动势3、复杂电路与基尔霍夫定律、复杂电路与基尔霍夫定律1．电流和电流密度2．电流的连续性方程 3．欧姆定律，焦耳定律4．电源和电动势5．含源电路的欧姆定律 6．基尔霍夫定律1静电场中的导体处于静电平衡时，其内部的场强为零，内部静电场中的导体处于静电平衡时，其内部的场强为零，内部没有电荷作定向的宏观运动没有电荷作定向的宏观运动如果把导体接在电源的两极上，如果把导体接在电源的两极上，则导体内任意两点之间将维持恒则导体内任意两点之间将维持恒定的电势差，在导体内维持一个定的电势差，在导体内维持一个电场，导体内的电荷在电场力的电场，导体内的电荷在电场力的作用下作宏观的定向运动，形成作用下作宏观的定向运动，形成电流电流Uv2㈠㈠ 电流电流 电流密度电流密度 一、电流一、电流电荷的定向运动形成电流电流分为传导电流和运流电流电荷的定向运动形成电流电流分为传导电流和运流电流 电流的微观机制：电流的微观机制：导体内自由电子在电场力作用下在原来导体内自由电子在电场力作用下在原来 不规则的热运动上附加了定向漂移运动不规则的热运动上附加了定向漂移运动.电流方向电流方向：正电荷的定向运动方向，即沿电场方向，从高：正电荷的定向运动方向，即沿电场方向，从高 电势流向低电势。

电势流向低电势 1800年春，意大利人伏打制成了伏打电池，从而获得年春，意大利人伏打制成了伏打电池，从而获得持续的电流有了稳定的电源，就为人类持续的电流有了稳定的电源，就为人类从研究静电从研究静电现象过渡到研究动电现象提供了坚实的技术基础现象过渡到研究动电现象提供了坚实的技术基础3 二、电流强度与电流密度二、电流强度与电流密度 1. 电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量电流强度：单位时间内通过导体任一横截面的电量取取 ，则得，则得单位：单位：4电流密度与电荷运动速度的关系电流密度与电荷运动速度的关系•n——导体中自由电子的数密度导体中自由电子的数密度•e e————电子的电量电子的电量•v vd d————假定每个电子的漂移速度假定每个电子的漂移速度在时间间隔在时间间隔d dt t内，长为内，长为d dl l= =v vd dd dt t、、横截面积为横截面积为S S 的圆柱体内的圆柱体内的自由电子都要通过横截面积的自由电子都要通过横截面积S S，，所以此圆柱体内的自由电所以此圆柱体内的自由电子数为子数为nSvnSvd dd dt t，，电量为电量为d dq q= =neSvneSvd dd dt t通过此导体的电流强度为通过此导体的电流强度为电流强度与电子漂移速度的关系电流强度与电子漂移速度的关系5 电流密度是一个矢量，其方向和该点正电荷运动的方向电流密度是一个矢量，其方向和该点正电荷运动的方向一致，数值上等于通过该点单位垂直截面的电流强度。

一致，数值上等于通过该点单位垂直截面的电流强度 电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场电流密度矢量构成的矢量场称之为电流场3. 电流线：用电流线描述电流场电流线：用电流线描述电流场 曲线方向：该点电流密度方向；曲线方向：该点电流密度方向； 曲线密度：与该点电流密度的大小成正比曲线密度：与该点电流密度的大小成正比4. 电流强度和电流密度矢量关系电流强度和电流密度矢量关系说明：电流强度是通过某面积的电流密度的通量说明：电流强度是通过某面积的电流密度的通量 2. 电流密度矢量电流密度矢量定义定义 电流强度是标量电流强度是标量,它只能描述导体中通过某一截面的整体特征它只能描述导体中通过某一截面的整体特征.为反映导体中各处电荷定向运动的情况，需引入为反映导体中各处电荷定向运动的情况，需引入电流密度电流密度概念概念.与电荷运动速度的关系与电荷运动速度的关系6 三、三、 电流的连续性方程电流的连续性方程左侧：单位时间内由左侧：单位时间内由S 面流出的电量；面流出的电量；右侧：单位时间内右侧：单位时间内S 面的电量减少量。

面的电量减少量1. 电流的连续性方程电流的连续性方程连续性方程积分形式连续性方程积分形式在导体内任一闭合曲面内，根据电荷守恒定律，满足在导体内任一闭合曲面内，根据电荷守恒定律，满足，则流入，则流入S面内电荷量多于流出量面内电荷量多于流出量则流出，则流出S面内电荷量多于流入量面内电荷量多于流入量7恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线恒定电流的电流线不可能在任何地方中断，它们永远是闭合曲线2. 电流的恒定条件电流的恒定条件利用数学上的高斯定理利用数学上的高斯定理电流连续方程微分形式电流连续方程微分形式得得8•欧姆定律对金属或电解液成立欧姆定律对金属或电解液成立•对于半导体、气体等不成立，对于对于半导体、气体等不成立，对于一段含源的电路也不成立一段含源的电路也不成立 G ——电导（电导（S西门子）西门子）R=1/G——电阻（电阻（ΩΩ欧姆）欧姆）1、电阻率，欧姆定律、电阻率，欧姆定律URI+_欧姆（欧姆（Georg Simom Ohm，，1787-1854））德国物理学家，在德国物理学家，在18271827年发现了以他名字命名年发现了以他名字命名的欧姆定律。

的欧姆定律 电流和电阻这两个术语也是由欧姆提出的电流和电阻这两个术语也是由欧姆提出的 四四 电阻率，欧姆定律电阻率，欧姆定律92、电阻定律、电阻定律对于粗细均匀的导体，当导体的材料与温度一定时，导对于粗细均匀的导体，当导体的材料与温度一定时，导体的电阻与它的长度体的电阻与它的长度l 成正比，与它的横截面积成正比，与它的横截面积S成反比成反比r r ：电阻率：电阻率σ =1/r r ：电导率：电导率 3、电阻与温度的关系、电阻与温度的关系a a 叫作电阻的叫作电阻的温度系数温度系数，单位为，单位为K K-1-1，与导体的材料有关，与导体的材料有关电阻率的数量级：电阻率的数量级：纯金属：纯金属：1010-8-8W .m W .m 合金：合金：1010-6-6W .mW .m半导体：半导体：1010-5-5~10~10-6-6W .mW .m绝缘体：绝缘体：10108 8~10~101717W .mW .m r r 小小————用来作导线用来作导线r r 大大————用来作电阻丝用来作电阻丝a a 小小————制造电工仪表和标准电阻制造电工仪表和标准电阻a a 大大————金属电阻温度计金属电阻温度计10超导现象的几个概超导现象的几个概念：念：有些金属在某些温度下，有些金属在某些温度下，其电阻会突变为零。

这其电阻会突变为零这个温度称为超导的转变个温度称为超导的转变温度，上述现象称为超温度，上述现象称为超导现象在一定温度下导现象在一定温度下能产生零电阻现象的物能产生零电阻现象的物质称为超导体质称为超导体4、超导现象、超导现象 超导体最早是由荷兰物理学家超导体最早是由荷兰物理学家昂昂尼斯尼斯于于19111911年发现的他利用液年发现的他利用液态氦的低温条件，测定在低温下态氦的低温条件，测定在低温下电阻随温度的变化关系，观察到电阻随温度的变化关系，观察到汞在汞在附近时，电阻突然减少到零，附近时，电阻突然减少到零，变成了变成了超导体超导体在低温物理作出的杰出贡献，获在低温物理作出的杰出贡献，获得得19131913年诺贝尔物理学奖年诺贝尔物理学奖迄今为止，已发现迄今为止，已发现2828种金属元素（地种金属元素（地球的常态下）以及合金和化合物具有球的常态下）以及合金和化合物具有超导电性还有一些元素只高压下具超导电性还有一些元素只高压下具有超导电性提高超导临界温度是推有超导电性提高超导临界温度是推广应用的重要关键之一超导的特性广应用的重要关键之一超导的特性及应用有着广阔的前景及应用有着广阔的前景11在导体中取一长为在导体中取一长为d dl l、横截面积为、横截面积为d dS S的小圆柱体，圆柱体的轴的小圆柱体，圆柱体的轴线与电流流向平行。

设小圆柱体两端面上的电势为线与电流流向平行设小圆柱体两端面上的电势为V V和和V V+d+dV V根据欧姆定律，通过截面根据欧姆定律，通过截面d dS S的电流为：的电流为：dSVV+dVdl欧姆定律的微分形式：欧姆定律的微分形式：通过导体中任一点的电流密度，等通过导体中任一点的电流密度，等于该点的场强与导体的电导率之积于该点的场强与导体的电导率之积 说明说明: 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式 对非稳恒电流也成立对非稳恒电流也成立.5、欧姆定律的微分形式、欧姆定律的微分形式12例例1 1、一块扇形碳制电极厚为、一块扇形碳制电极厚为 t t，电流从半径为，电流从半径为 r r1 1的端面的端面 S S1 1流向半径为流向半径为 r r2 2的端面的端面 S S2 2，扇形张角为，扇形张角为 ，求：，求：S S1 1 和和 S S2 2面之间面之间的电阻解：解：dr 平行于电流方向，平行于电流方向，dS 垂直于电流方向垂直于电流方向r1r2 tS1S2131、、J法向分量的连续性法向分量的连续性导体导体2导体导体1对恒定电流对恒定电流对图中的闭合曲面对图中的闭合曲面6、两种导体分界面上的边界条件、两种导体分界面上的边界条件142、、 E切向分量的连续性切向分量的连续性介质介质2介质介质115导体导体2导体导体1 根据边界条件根据边界条件 由欧姆定律由欧姆定律 讨论讨论:7、电流线在导体界面上的折射、电流线在导体界面上的折射16五、焦耳－楞次定律五、焦耳－楞次定律 在在一一段段纯纯电电阻阻电电路路中中，，电电功功等等于于电电热热。

但但在在非非纯纯电电阻阻电电路路中（如含有电动机等输出设备）电功和电热两者不相等中（如含有电动机等输出设备）电功和电热两者不相等电流通过一段电路时，电场力要对移动电荷做功电流通过一段电路时，电场力要对移动电荷做功电功率则为电功率则为17 表表明明：：在在导导体体中中某某点点的的热热功功率率密密度度与与该该点点的的电电场场强强度度的的平平方成正比，也与导体的电导率成正比方成正比，也与导体的电导率成正比热功率密度：纯电阻导体内单位体积内的热功率热功率密度：纯电阻导体内单位体积内的热功率焦耳－楞次定律的微分形式焦耳－楞次定律的微分形式焦耳热的微观机制：焦耳热的微观机制： 自自由由电电子子与与正正离离子子碰碰撞撞时时将将在在电电场场力力作作用用下下增增加加的的动动能能传传给给了了正正离离子子，，使使正正离离子子无无规规振振动动的的能能量量增增大大，，这这在在宏宏观观上上表表现现为导体温度升高为导体温度升高18欧姆定律的经典解释欧姆定律的经典解释 金属内自由电子在电场金属内自由电子在电场E作用下，会在热运动的同时逆电作用下，会在热运动的同时逆电场场E的方向附加一个定向加速度的方向附加一个定向加速度六、经典金属电子论六、经典金属电子论金属导体的微观电结构图像（自由电子模型）：金属导体的微观电结构图像（自由电子模型）： • 金属具有晶格点阵结构；金属具有晶格点阵结构；• 电场力作用下电子的无规热运动附加了定向运动；电场力作用下电子的无规热运动附加了定向运动；• 大量电子不断地与晶格碰撞。

大量电子不断地与晶格碰撞 自由电子的定向运动是一段一段加速运动的衔接，各段自由电子的定向运动是一段一段加速运动的衔接，各段加速运动都从定向速度为加速运动都从定向速度为0开始19 自由电子同原子实碰撞，只能在连续两次碰撞的时间间隔内自由电子同原子实碰撞，只能在连续两次碰撞的时间间隔内得以定向加速，从统计角度考虑，平均定向运动速度为得以定向加速，从统计角度考虑，平均定向运动速度为若导体内自由电子（载流子）密度为若导体内自由电子（载流子）密度为n，则，则 由经典电子论导出的结果只能定性说明金属导电的规律由由经典电子论导出的结果只能定性说明金属导电的规律由上式计算出的电导率与实际相差甚远上式计算出的电导率与实际相差甚远.这些困难需要量子理论这些困难需要量子理论来解决20作业作业: : 两同轴铜质圆形套管，长为两同轴铜质圆形套管，长为L，内圆柱的，内圆柱的半径半径a，外圆柱的半径为，外圆柱的半径为b，两圆柱间充以电阻率为，两圆柱间充以电阻率为 的石墨若以内、外圆柱分别为一个电极，求石墨的的石墨若以内、外圆柱分别为一个电极，求石墨的电阻解：两根铜管分别作为一个等势面，电流解：两根铜管分别作为一个等势面，电流 沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒，沿着径向由一个圆筒流向另一个圆筒， 根据对称性根据对称性通过各柱面的通过各柱面的I是相等的，故是相等的，故21两极间的电势差为两极间的电势差为作业作业 图中所示是电学仪器中调节电阻的装置图中所示是电学仪器中调节电阻的装置,其其中中R是一个较大的电阻，是一个较大的电阻，r是一个较小的电阻，是一个较小的电阻，R和和r都都可以改变可以改变.试证明试证明R>>r时，时，r是粗调，是粗调，R是微调（即是微调（即r改改变某一数值时，变某一数值时，ab间电间电阻阻 改变较大；而改变较大；而R改改变同一数值时，则变同一数值时，则 改改变较小）。

变较小）Rabr22㈡㈡ 电源电源 电动势电动势IR AB 一、电源一、电源 电电源源是是不不断断地地将将其其它它形形式式的的能能量量转转换换为为电电能能的的装装置置电电源源中中非非静静电电力力的的存存在在是是形形成恒定电流的根本原因成恒定电流的根本原因不同类型电源中，非静电力不同：不同类型电源中，非静电力不同：•发电机：电机作用将机械能转化为电能；发电机：电机作用将机械能转化为电能；•化学电池：化学作用将化学能转化为电能；化学电池：化学作用将化学能转化为电能；•温差电源：扩散作用将热能转化为电能；温差电源：扩散作用将热能转化为电能；•太阳能电池：直接将光能转化为电能；太阳能电池：直接将光能转化为电能；•核能电池：直接将核能转换为电能核能电池：直接将核能转换为电能 为维持恒定电流，除了静电场外，必须有非静电力，使正电为维持恒定电流，除了静电场外，必须有非静电力，使正电荷逆着电场力的方向运动，从低电势处返回高电势处，同时，用荷逆着电场力的方向运动，从低电势处返回高电势处，同时，用其它形式的能量补偿焦耳热的损失其它形式的能量补偿焦耳热的损失23ab闭合电路的电流方向和电势的变化闭合电路的电流方向和电势的变化（（1）在外电路中）在外电路中,沿电沿电流方向电势降低流方向电势降低（（2））在内电路中在内电路中,沿电沿电流方向电势升高流方向电势升高ABCDII外电路外电路电流由正极流电流由正极流向负极向负极,内电路内电路电流由电流由负极流向正极负极流向正极24电电 源源 +++ +----+vF电F非W电<0W非>0化学能转化为电势能化学能转化为电势能外电路中，电场力是做正功的，电荷的电势能减小。

外电路中，电场力是做正功的，电荷的电势能减小外电路中：外电路中：顺电流方向顺电流方向电势降低！电势降低！内内 电路中：电路中：顺电流方向顺电流方向电势升高！电势升高！25 二、电源的电动势二、电源的电动势 设设K表示作用在单位正电荷上的非静电力，其方向在电源表示作用在单位正电荷上的非静电力，其方向在电源内与电场内与电场E的方向相反，量纲、单位相同的方向相反，量纲、单位相同在有电场在有电场E和非电和非电场力场力K同时存在的电路中（如电源内），应把欧姆定律推广为同时存在的电路中（如电源内），应把欧姆定律推广为普遍形式的欧姆定律：普遍形式的欧姆定律：LABKE+- 在实际应用中，常用电动势在实际应用中，常用电动势 反反映电源中非静电力做功的本领映电源中非静电力做功的本领其定其定义为将单位正电荷从负极经电源内部义为将单位正电荷从负极经电源内部到正极时非静电力所做的功，即到正极时非静电力所做的功，即 就是衡量电源转换能量的能力大小的物理量就是衡量电源转换能量的能力大小的物理量26利用欧姆定律，得利用欧姆定律，得全电路欧姆定律全电路欧姆定律在闭合回路中，静电力和非静电力作的功为在闭合回路中，静电力和非静电力作的功为而而27说明：说明： 1、、 是外电路上总的电势降是外电路上总的电势降落，叫落，叫路端电压路端电压. 2、、 是内电路上的电是内电路上的电势降落，叫势降落，叫内电压内电压.电动势等于内外电路电势电动势等于内外电路电势降落之和。

降落之和28闭合电路的十个图象闭合电路的十个图象一、U-I关系图象短路状态短路状态外电压与总电流的外电压与总电流的关系：关系：0UI开路状态内电压29二 、U-R关系图象0UR0短路状态断路状态r300开路状态短路状态三、 I-R关系图象 IR310总外内外rPR四、P-R关系图象320总外内五、P-U关系图象PU330总外内六、P-I关系图象PI外E2/rE2/4r340开路状态短路状态1七、效率-R关系图象效率效率R3510八、效率-U关系图象EU效率3610I效率九、效率-I关系图象370605040301 2 3 4 5 61208040十、组合图象如图所示的图线①表示某电池组的输出电压与电流的关系(图线)，图线②表示其输出功率与电流的关系(图线)则下列说法正确的是( ) A）电池组的电动势为60VB）电池组的内阻为10欧C）电流为时，外电路的电阻为14欧D）输出功率为80W时，输出电压可能为40VU/VI/AP/W2010①②38作业作业UI0一0UR二0三IR0四rPR0五PU0六IP0七1效率R10九效率I10八效率UE39 三、一段含源电路的欧姆定律三、一段含源电路的欧姆定律如图所示，在一段含源的电路中如图所示，在一段含源的电路中将上式从将上式从a端经电源到端经电源到b端线积分，得端线积分，得Rabc⑴⑴ 放电放电Rabc⑵⑵ 充电充电40 积分时注意到，电路积分时注意到，电路⑴⑴ 中中 与与 方向相反，电路方向相反，电路⑵⑵中中 与与 方向相同，而方向相同，而 与与 的方向相反，故得的方向相反，故得（放电）（放电）（充电）（充电） 上式即为一段含源电路的欧姆定律上式即为一段含源电路的欧姆定律.（放电）（放电）（充电）（充电）此时是电源正、负极间的电势差，称为此时是电源正、负极间的电势差，称为电源的端电压。

电源的端电压若若R=0，则有，则有41电源的电动势与端电压的区别电源的电动势与端电压的区别:电动势：非静电力做功，仅取决于电源本身的性质，与外电电动势：非静电力做功，仅取决于电源本身的性质，与外电 路性质及是否接通无关；路性质及是否接通无关；端电压：从正极到负极时静电力所做的功，与外电路的情况端电压：从正极到负极时静电力所做的功，与外电路的情况 有关有关一段含源电路的欧姆定律的一般计算式为一段含源电路的欧姆定律的一般计算式为符号约定：先任意选取沿电路线积分的方向，写出初末符号约定：先任意选取沿电路线积分的方向，写出初末 两端点的电势差两端点的电势差⑴⑴ 若通过电阻中电流的流向与积分路径的方向相同，该若通过电阻中电流的流向与积分路径的方向相同，该 电阻上电势降取电阻上电势降取“+”号，相反则取号，相反则取“-”号号.42⑵⑵ 若电动势的指向与积分路径的方向相同，该电动势前若电动势的指向与积分路径的方向相同，该电动势前 取取“+”号，相反则取号，相反则取“-”号号.例题例题1 如图所示，求电路如图所示，求电路a、、f间电势差。

间电势差abcedf解解 各支电路设置的电流方向如图所示，则对电阻有各支电路设置的电流方向如图所示，则对电阻有对电源有对电源有43.电源向负载输出功率最大的条件电源向负载输出功率最大的条件.电源向负载输出的功率为电源向负载输出的功率为根据求极值的方法根据求极值的方法由此得到向负载输出功率最大的条件是：由此得到向负载输出功率最大的条件是：R= r上式称为匹配条件上式称为匹配条件应当注意，对于一般化学电源，内阻都很小应当注意，对于一般化学电源，内阻都很小当满足匹配条件时，总电阻很小，会使电流超过额定值，故一般当满足匹配条件时，总电阻很小，会使电流超过额定值，故一般条件不能在匹配条件下使用化学电源但在电子技术中的某些电条件不能在匹配条件下使用化学电源但在电子技术中的某些电源，其内阻很大，考虑匹配是很重要的源，其内阻很大，考虑匹配是很重要的 设一闭合回路，电源电动势为设一闭合回路，电源电动势为 ，， 内电阻为内电阻为r，负载电阻为，负载电阻为R，则，则Rr44稳恒电路的特点1)均匀导体内部的宏观电荷密度等于零2 ) 外电路中，电流线和电力线方向一致。

3 ) 在电源内部，电流密度方向由推广的欧姆定理决定45基尔霍夫第一定律：基尔霍夫第一定律：I1I3I2㈢㈢ 复杂电路与基尔霍夫定律复杂电路与基尔霍夫定律 在实际直流电路中，往往碰到多电源多回路的复杂电路在实际直流电路中，往往碰到多电源多回路的复杂电路处理复杂电路的基本方法是根据基尔霍夫定律列出一组电路处理复杂电路的基本方法是根据基尔霍夫定律列出一组电路的线性方程，通过解线性方程组解决复杂电路问题的线性方程，通过解线性方程组解决复杂电路问题名词：名词：①①支路：由电阻、电源串联而成的电流通路支路：由电阻、电源串联而成的电流通路.②②节点：节点：3条以上支路的连接点条以上支路的连接点.③③回路：由几条支路组成的闭合电流通路回路：由几条支路组成的闭合电流通路.如图，在节点处，根据电流的恒定条件如图，在节点处，根据电流的恒定条件46基尔霍夫第一定律一般形式基尔霍夫第一定律一般形式汇于节点各支路电流强度的代数和为汇于节点各支路电流强度的代数和为0. 沿沿任任一一闭闭合合回回路路中中电电动动势势的的代代数数和和等等于于回回路路中中电电阻阻上上电电势势降落的代数和降落的代数和。

基尔霍夫第二定律基尔霍夫第二定律 把关于一段含源电路欧姆定律应用到闭合回路上，这时把关于一段含源电路欧姆定律应用到闭合回路上，这时 ，可得，可得47应用基尔霍夫定律列方程组应注意：应用基尔霍夫定律列方程组应注意：③③ 注意方程的独立性及独立方程数目应等于所求末知量数注意方程的独立性及独立方程数目应等于所求末知量数. 对于对于n个节点个节点p条支路的复杂电路，可列出（条支路的复杂电路，可列出（n-1）个独立节）个独立节点电流方程和（点电流方程和（p-n+1）个独立回路电压方程）个独立回路电压方程.（在新选定的回（在新选定的回路中，必须至少有一段电路在已选的回路中未曾出现过）路中，必须至少有一段电路在已选的回路中未曾出现过）①① 在给定电路上标定各支路上电流的参考方向在给定电路上标定各支路上电流的参考方向.②② 方程组中各项之前的正负号约定方程组中各项之前的正负号约定：： 对于节点方程，流出节点的电流对于节点方程，流出节点的电流I之前取正号，流入取负之前取正号，流入取负号号.对回路方程，首先标定回路绕行方向对回路方程，首先标定回路绕行方向.若电阻中电流方向若电阻中电流方向与绕行方向一致，电位降落，与绕行方向一致，电位降落，IR之前加正号，反之加负号之前加正号，反之加负号.若电动势与绕行方向一致，电位升高，若电动势与绕行方向一致，电位升高， 之前加正号，反之之前加正号，反之加负号加负号.48 基尔霍夫方程组原则上可以解决任何直流电路问题基尔霍夫方程组原则上可以解决任何直流电路问题.为避为避免方程过多，在具体解题过程中可灵活运用，充分运用基尔霍免方程过多，在具体解题过程中可灵活运用，充分运用基尔霍夫笫一方程组，夫笫一方程组，使未知变量数目尽可能少使未知变量数目尽可能少，从而使问题简化，从而使问题简化. 如下图所示，在设定如下图所示，在设定 之后，对之后，对CA支路可不必再设支路可不必再设新的变量新的变量 ，直接设它为，直接设它为 ，这样便将三个未知变量减少，这样便将三个未知变量减少到两个到两个.E EABCDε1,Ri1ε2,Ri2I1I2I3=I1+I2R1R4R R3 3R249 整理后联立求解，得到整理后联立求解，得到 .由所得结果的正负，判明由所得结果的正负，判明实际电流的方向实际电流的方向。

E EABCDε1,Ri1ε2,Ri2I1I2I3=I1+I2R1R4R R3 3R2 根据基尔霍夫笫二方程，选择回路根据基尔霍夫笫二方程，选择回路ABCDEA和和AEDCA，，则有则有50I1R4R R3 3aR1R2bcdU［解］［解］ 设设ab间接上电压为间接上电压为U的电源的电源.电路中各处的电流如图所示电路中各处的电流如图所示.应用基尔霍夫笫一定律，有应用基尔霍夫笫一定律，有 ［例题［例题1 ］五个己知电阻］五个己知电阻 联联接如图，试求接如图，试求a、、b间电阻间电阻.R4R R3 3aR1R2b51回路回路cbdc：：回路回路acbUa：：由式由式③④⑤③④⑤联立解得联立解得 取三个独立回路，由基取三个独立回路，由基尔霍夫笫二定律得尔霍夫笫二定律得回路回路acda：：I1R4R R3 3aR1R2bcdU52流过流过a、、b两点的电流为两点的电流为于是得于是得a、、b间的电阻为间的电阻为式中式中53这就是惠斯通电桥的平衡条件，这时这就是惠斯通电桥的平衡条件，这时 这个结果表明，平衡电桥的电阻这个结果表明，平衡电桥的电阻 与桥电阻与桥电阻 无关无关.这个结论在解决一些电路中有用这个结论在解决一些电路中有用.［讨论］［讨论］ ⑴⑴平衡电桥平衡电桥 a、、b间的电路也是惠斯通电桥的间的电路也是惠斯通电桥的 电电 路路.当当 时，电桥达到平衡，这时时，电桥达到平衡，这时54R4R R3 3aR1R2b（（c）） 在在 条件下，条件下，三种电路的电阻都为三种电路的电阻都为⑵⑵在在 的条件下，下面（的条件下，下面（a）、（）、（b）、（）、（c）三）三个电路的个电路的a、、b间的电阻间的电阻 都相等都相等.R4R R3 3aR1R2b（（a））R4R R3 3aR1R2b（（b））55［例题［例题2 ］六个相同的电阻］六个相同的电阻r联接成如图的电路，联接成如图的电路，试求试求a、、b间的电阻间的电阻 以及以及a、、c间的电阻间的电阻 .abcrrrrrr［解］图中上边五个［解］图中上边五个r是桥路电阻是桥路电阻.根根据上题结论，这桥路电阻为据上题结论，这桥路电阻为r.它与下它与下边的边的r并联，故并联，故 为为因图中的电路构成一个对称的四面体，故由对称性可知因图中的电路构成一个对称的四面体，故由对称性可知56［例题［例题3 ］推导电阻的］推导电阻的Y形联接和形联接和 形联接的代换形联接的代换公式，以保持两种联接中任意两对应点之间的总电阻公式，以保持两种联接中任意两对应点之间的总电阻都分别相等，试推导之都分别相等，试推导之.［解］当［解］当Y形电阻与形电阻与 形电阻等效时，两种联接中任意两对形电阻等效时，两种联接中任意两对应点之间的总电阻都分别相等应点之间的总电阻都分别相等.在在Y形联接和形联接和 形联接的形联接的1-2，，1-3，，2-3之间的总电阻应相等，故之间的总电阻应相等，故1235758［例题［例题4 ］：在右图所示网络中已知］：在右图所示网络中已知R=150 ，求，求 网络输入电阻网络输入电阻.整个网络输入电阻则为整个网络输入电阻则为RacbdRRRR 将原图中将原图中a、、b、、c点间点间 形网络变换成形网络变换成Y形，得到形，得到右下图右下图［解法一］［解法一］RabdcRλR59［解法二］［解法二］将原图中将原图中a、、b、、d点间点间Y形网络变换成形网络变换成 形形RacbdRRRRRabdR整个网络输入电阻则为整个网络输入电阻则为60。