第五章二次型自测题及答案.doc

第五章 二次型自测题姓名　　　　　　学号　　　　　　一、填空题1. 实二次型的矩阵为　　　　　　　，秩为　　　　，正惯性指数为　　　　　　，规范形为　　　　　　　　.2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是　　　　　　矩阵.3. 复二次型的规范形由　　　　　　所唯一确定.4. 实二次型正定　　　，i=1,2,…,n.5. 二次型的矩阵 .6. 写出实对称矩阵所确定的二次型 .7. 两个复二次型等价充分必要条件是 .8. 两个实二次型等价充分必要条件是 .二、判断题1. 设、为n阶方阵，若存在n阶方阵C，使，则与合同.（　　）2. 若为正定矩阵，则的主对角线上的元素皆大于零.　　（　　）3. 若为负定矩阵，则必有.　　（　　）4. 实对称矩阵半正定当且仅当的所有顺序主子式全大于或等于零.　　（　　）5. 若负定，则的所有顺序主子式全小于零.　　（　　）6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型.　　（　　）7. 若实二次型的符号差为s ，令，则二次型的符号差为－s.　　（　　）三、选择题1. 已知二次型，试对它作如下非退化线性替换结果为（ ）.A. B. C. D. 2. 下列矩阵合同于单位矩阵的是（ ）.A. B. C. D. 3. 下面的说法正确的是（ ）.A. 设为级对称矩阵，若存在级矩阵，使，则与合同；B. 两个对称矩阵一定合同；C. 矩阵与矩阵在复数域上不合同；D. 矩阵与矩阵在实数域上不合同.4. 下面的说法不正确的是（ ）.A. 若为反对称矩阵，则是反对称矩阵；B. 若为可逆对称矩阵，则与合同；C. 若为实级可逆矩阵，与合同，则必为偶数；D. 令，，如果与合同，与合同，则与合同.5. 与二次型相对应的实对称矩阵是（ ）.A. B. C. D. 6. 二次型的矩阵（ ）.A. B. C. D. 7. 二次型，，则这个二次型应是（ ）.A. B. C. D. 8. 复数域中二次型的规范形为（ ）.A. B. C. D. 9. 二次型的秩为2，则（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 110. 设均为级矩阵，且与合同，则（ ）.A. 相似 B. C. D. 有相同的特征值11. 实二次型的规范形为（ ）.A. B. C. D. 12. 下列二次型正惯性指数等于2的是（ ）.A. B. C. D. 13. 实二次型的秩与符号差为（ ）.A. B. C. D. 14. 对称矩阵的秩和负惯性指数等于（ ）.A. B. C. D. 15. 级复数对称矩阵按合同分类，即两个实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同，共有几类？（ ）.A. B. C. D. 16. 如果任意（即全不为0）代入实二次型中都有，则是（ ）.A. 正定 B. 负定 C. 不是正定 D. 不一定正定17. 下列二次型属于正定的是（ ）.A. B. C. D. 18. 实二次型是正定的当且仅当（ ）.A. 且 B. 或 C. D. 四、计算题求二次型的标准形，并写出所作的非退化线性替换.五、证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P，使A＋PP＝0. 2. 实二次型，且秩(A)＝n.　二次型，证明：f与g具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数.第五章 二次型自测题答案一、填空题1. 实二次型的矩阵为 ，秩为　 ，正惯性指数为　　　，标准形为 ，规范形为 .答案：，2，1，，2. 与对称矩阵合同的矩阵只能是　 　矩阵.答案：对称3. 复二次型的规范形由　 　　　所唯一确定.答案：它的秩4. 实二次型正定　 ，i=1,2,…,n.答案：>05. 二次型的矩阵 .答案：6. 写出实对称矩阵所确定的二次型 .答案：7. 两个复二次型等价充分必要条件是 .答案：秩相等8. 两个实二次型等价充分必要条件是 .答案：秩相等，正惯性指数相同二、判断题1. 设A、B为n阶方阵，若存在n阶方阵C，使，则A与B合同.（　F　）2. 若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素皆大于零.　　（　T　）解析：由A正定,则对任一x≠0,xTAx > 0.取x=εi,第i个分量为1,其余分量都是0.则 εiTAεi = aii > 0,i=1,2,...,n所以 A的对角线上的元素都大于零.3. 若A为负定矩阵，则必有.　　（　F　）4. 实对称矩阵A半正定当且仅当A的所有顺序主子式全大于或等于零.　　（　F　）5. 若A负定，则A的所有顺序主子式全小于零.　　（　F　）6. 非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型.　　（　T　）7. 若实二次型的符号差为s ，令，则二次型的符号差为－s.　　（　T　）三、选择题1. 已知二次型，试对它作如下非退化线性替换结果为（ ）.A. B. C. D. 答案：A2. 下列矩阵合同于单位矩阵的是（ ）.A. B. C. D. 答案：C3. 下面的说法正确的是（ ）.A. 设为级对称矩阵，若存在级矩阵，使，则与合同；B. 两个对称矩阵一定合同；C. 矩阵与矩阵在复数域上不合同；D. 矩阵与矩阵在实数域上不合同.答案：D4. 下面的说法不正确的是（ ）.A. 若为反对称矩阵，则是反对称矩阵；B. 若为可逆对称矩阵，则与合同；C. 若为实级可逆矩阵，与合同，则必为偶数；D. 令，，如果与合同，与合同，则与合同.答案：A5. 与二次型相对应的实对称矩阵是（ ）.A. B. C. D. 答案：B6. 二次型的矩阵（ ）.A. B. C. D. 答案：A7. 二次型，，则这个二次型应是（ ）.A. B. C. D. 答案：B8. 复数域中二次型的规范形为（ ）.A. B. C. D. 答案：A9. 二次型的秩为2，则（ ）.A. 4 B. 3 C. 2 D. 1答案：B10. 设均为级矩阵，且与合同，则（ ）.A. 相似 B. C. D. 有相同的特征值答案：C11. 实二次型的规范形为（ ）.A. B. C. D. 答案：B12. 下列二次型正惯性指数等于2的是（ ）.A. B. C. D. 答案：B13. 实二次型的秩与符号差为（ ）.A. B. C. D. 答案：A14. 对称矩阵的秩和负惯性指数等于（ ）.A. B. C. D. 答案：B15. 级复数对称矩阵按合同分类，即两个实级对称矩阵属于同一类当且仅当他们合同，共有几类？（ ）.A. B. C. D. 答案：A16. 如果任意（即全不为0）代入实二次型中都有，则是（ ）.A. 正定 B. 负定 C. 不是正定 D. 不一定正定答案：D17. 下列二次型属于正定的是（ ）.A. B. -C. D. 答案：C18. 实二次型是正定的当且仅当（ ）.A. 且 B. 或 C. D. 答案：A四、计算题1. 求二次型的标准形，并写出所作的非退化线性替换.解：经过非退化线性替换，标准形为五、证明题1. 证明：若 A 为负定矩阵，则存在可逆矩阵 P，使A＋PP＝0.证明：因为A是负定矩阵，所以存在可逆矩阵Q使得QTAQ=-E, 则A=-(QT)-1Q-1, 令P=Q-1为所求. 2. 实二次型，且秩(A)＝n.　二次型，证明：f与g具有相同的符号差，因而有相同的正负惯性指数证明：f的矩阵为A, g的矩阵为 设, 则，所以结论成立.8。