全国初中数学联赛初赛答案及评分标准初三.doc

全国初中数学联赛初赛答案及评分标准（初三）一、 选择题（本大题满分42分，每小题7分）1. 已知，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D．解：由，得，从而，所以，又，所以．故选D．2. 如图，正方形ABCD，点P是对角线AC上一点，连接BP， 过P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP＝CQ＝2，则正方形ABCD的面积为A． B．16 C． D．32解：如图，过P分别作PE、PF、PG垂直于AB、CD、AD，垂足分别为E、F、G．易证Rt△EPB≌Rt△FQP≌Rt△FDP，所以FQ＝FD＝EP＝，所以正方形ABCD的边长为，所以面积为．故选C．3. 若实数，满足，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．解：将原式看作为关于b的一元二次方程，则其判别式，解得．故选A．4. 如图，在四边形ABCD中，∠B=135°，∠C=120°，AB=，BC=，CD=，则AD边的长为（ ）A． B． C． D．解：过A和D点向BC作垂线，垂足为M和N，那么BM=AM=，CN=3，DN=，，所以48，所以AD=．故选B．5. 方程的正整数解的组数是（ ）A．0 B．1 C．3 D．5解：不妨设，则，所以，解得．又显然，即．经验证：均不符合条件．所以，符合条件的解的组数为0组．故答案选A．6. 已知实数满足，则的值是（ ）A． B．0 C．1 D．2解：显然，否则由已知得即所以．故选B．二、 填空题（本大题满分28分,每小题7分）1. 是正整数，○x表示的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ．解：③，④，⑥，所以③×④÷⑥．故填．2. 草原上的一片青草，到处长得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ．解：设草原上原有草量为a，每天长出量为b，并设20头牛在x天内可以吃完这片青草．因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组．由得．代入中，得，解得．故填96．3. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是BC、DC的中点，AM=4，AN=3，且，则AB的长是 ．解：延长AM交DC的延长线于F，则△AMB≌△FMC．则CF=AB，则NF=，过N作NH垂直AF于H，则AH=，，故，．所以．故填．4. 小明将1，2，3，…，n这n个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入个数，且平均值为，假设这个数输入无误，则漏输入的一个数是 ．解：依题意得，所以，即，所以n=60或61．因为是整数，所以n=61．所以漏输入的数为．故填46．三、 （本大题满分20分）解方程．解：当时，原方程可化为，解得，．又因为，故应舍去． 10分当时，原方程可化为，解得，．又因为，故应舍去．所以原方程的解为和． 20分四、 （本大题满分25分）如图，圆内接四边形ABCD中，CBCD，求证：；证明：连结BD、AC交于点E，则，，所以△∽△， 5分所以，所以． 10分又，，所以△∽△， 15分所以，所以， 20分所以，所以． 25分五、 （本大题满分25分）已知二次函数和一次函数，其中a、b、c满足，．(R)． （1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A、B；（2）过（1）中的两点A、B分别作x轴的垂线，垂足为A1、B1．求线段A1B1的长的取值范围．（1）证明：由消去y得，． 5分∵，，∴，．∴，∴，即两函数的图象有两个不同的交点． 10分（2）解：设方程的两根为和，则x1+x2，x1x2． 15分　． 20分∵，，∴，∴，解得．∴，故． 25分。