土壤水动力学基本方程2讲课文档.ppt

土壤水动力学基本方程第一页，共七十三页优选土壤水动力学基本方程第二页，共七十三页2.1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述2.1.1 2.1.1 毛细管中的层流运动毛细管中的层流运动由此由此积分得积分得积分常数积分常数 ：： 求得求得得得在在 处，处，单位时段通过细管的流量单位时段通过细管的流量通过细管的平均流速通过细管的平均流速细管形状细管形状参数参数压力梯度压力梯度第三页，共七十三页2.1 2.1 土壤水流概述土壤水流概述2.1.2 2.1.2 土壤水流简化模型土壤水流简化模型为什么需要简化模型为什么需要简化模型简化简化平均平均““流速流速””实际流量实际流量横截面面积横截面面积通量（通量（L/T) L/T) ：：水流并不是在整个横截面水流并不是在整个横截面 上进上进行；真实水流通道大于表观长度行；真实水流通道大于表观长度压压力力势势或或基基质质势势与与实实际际土土壤壤孔孔隙隙中中的的势势能能相相等等第四页，共七十三页2.2 2.2 饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 饱和流：水分充满土壤孔隙的水流。

饱和流：水分充满土壤孔隙的水流2.2.1 Darcy 2.2.1 Darcy 定律定律通量通量 ：：1-1’1-1’和和2-22-2’’之间产生一个力之间产生一个力Darcy研究：研究：引进一个比例常数引进一个比例常数 ，称作土壤，称作土壤导水率（导水率（soil water conductivity)‘‘水力传导度水力传导度第五页，共七十三页2.2.2 Darcy 2.2.2 Darcy 定律的适用范围定律的适用范围Darcy定律只适应土壤水流为定律只适应土壤水流为层流层流的情况水流的两种流动形态水流的两种流动形态对颗粒极细的土壤，如粘土，水流表对颗粒极细的土壤，如粘土，水流表现出非现出非NewtonNewton流流( (BinghamBingham流流) )性质屈服点屈服点临界梯度临界梯度实际上，实际上，Darcy定律在绝大多数情况下可定律在绝大多数情况下可应用于土壤水流计算，只是在粗砂或粘质应用于土壤水流计算，只是在粗砂或粘质土壤情况下要注意土壤情况下要注意Darcy定律的限定定律的限定2.2 2.2 饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 第六页，共七十三页。

2.2.3 2.2.3 导水率导水率导水率导水率 综合反映了多孔介质和流体的某些物理性质综合反映了多孔介质和流体的某些物理性质1）） 计算导水率计算导水率 的公式的公式（（2）） 实验室测定实验室测定实验室测定仪器的基本原理与实验室测定仪器的基本原理与Darcy原始实验装置大致类似，原始实验装置大致类似，只是多采用只是多采用自下而上的水流自下而上的水流定水头法：定水头法：Why?2.2 2.2 饱和土壤水动的达西定律饱和土壤水动的达西定律 第七页，共七十三页2.2 2.2 饱和土壤水运动饱和土壤水运动 的达西定律的达西定律 2.2.3 2.2.3 导水率导水率（（2）） 实验室测定实验室测定变水头法：变水头法：示示意意图图 时刻立管水柱深时刻立管水柱深 ，， 时刻为时刻为 ，时刻，时刻为为 通量土柱底部土柱底部土柱顶部土柱顶部第八页，共七十三页2.22.2饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 2.2.3 2.2.3 导水率导水率（（2）） 实验室测定实验室测定变水头法：变水头法：整理得：整理得：积分得：积分得：变更立管水深，可求得变更立管水深，可求得一系列一系列 ，在误差范，在误差范围内求其平均值。

围内求其平均值无无论论定定水水头头法法还还是是变变水水头头法法必必须须考考虑虑土土样样的的代代表表性性第九页，共七十三页2.2.3 2.2.3 导水率导水率（（3）） 田间现场测定田间现场测定双环法：双环法：入渗量入渗量(cm3)测定时段测定时段内环横截面积内环横截面积双环法一般只能测定地表土壤导水率，用双环法一般只能测定地表土壤导水率，用其他仪器，如其他仪器，如Guelph仪可测其他深度土壤仪可测其他深度土壤的导水率的导水率导水率大致范围导水率大致范围〈〈6cm/d 很小很小 6 6~16cm/d 低低 16~40cm/d 中中 40~100cm/d 高高 〉〉100cm/d 很高很高 外环的作用？外环的作用？2.22.2饱和土壤水运动的达西定律饱和土壤水运动的达西定律 第十页，共七十三页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处绝大多数田间和植物根区的土壤水流过程都处在非饱和状态非饱和流研究为土壤物理学最在非饱和状态。

非饱和流研究为土壤物理学最活跃的研究领域之一活跃的研究领域之一2.3.1 2.3.1 非饱和流与饱和流的比较非饱和流与饱和流的比较（（1）土壤水流驱动力不同）土壤水流驱动力不同（（2）） 导水率的差别导水率的差别（（3）） 土壤孔隙对饱和水流和非饱和水流影响的差别土壤孔隙对饱和水流和非饱和水流影响的差别第十一页，共七十三页非饱和流与饱和流的比较：非饱和流与饱和流的比较：共同之处：共同之处：都服从热力学第二定律，都是从水势高的地方向都服从热力学第二定律，都是从水势高的地方向水势低的地方运动水势低的地方运动不同之处：不同之处：①①土壤水流的驱动力不同土壤水流的驱动力不同 饱和流的驱动力是重力势和压力势；饱和流的驱动力是重力势和压力势； 非饱和流的是重力势和基质势非饱和流的是重力势和基质势②②导水率差异导水率差异 非饱和导水率远低于饱和导水率；当基质势从非饱和导水率远低于饱和导水率；当基质势从0降低到降低到-100kpa时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导水率的十时，导水率可降低几个数量级，只相当于饱和导水率的十万分之一万分之一③③土壤空隙的影响土壤在高吸力下，粘土的非饱和导水率比砂土土壤空隙的影响土壤。

在高吸力下，粘土的非饱和导水率比砂土高第十二页，共七十三页饱和流与非饱和流（饱和流与非饱和流（1）） 饱和流：土壤空隙全部充满水时的流动饱和流：土壤空隙全部充满水时的流动n发生情形：发生情形：  1. 大量持续降水和稻田淹灌时，垂直向下；大量持续降水和稻田淹灌时，垂直向下；  2.  地下泉水涌出，垂直向上；地下泉水涌出，垂直向上；  3. 平原水库库底周围，水平方向平原水库库底周围，水平方向n推动力：重力势梯度和压力势梯度推动力：重力势梯度和压力势梯度n影响因素：影响因素：soil texture and structure第十三页，共七十三页饱和流与非饱和流（饱和流与非饱和流（2）） 非饱和流：土壤空隙未全部充满水时的流动非饱和流：土壤空隙未全部充满水时的流动n发生情形：大多数情况发生情形：大多数情况n推动力：基模势梯度和重力势梯度推动力：基模势梯度和重力势梯度第十四页，共七十三页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.2 Buckingham-Darcy2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律通量定律Buckingham对对Darcy定律描述土壤非饱和流提出修正的两个定律描述土壤非饱和流提出修正的两个基本假设：基本假设：① ① 土壤非饱和流驱动力是基质势与重力势之和的梯度；土壤非饱和流驱动力是基质势与重力势之和的梯度；② ② 非饱和土壤水流的导水率是土壤含水量或基质势的函数。

非饱和土壤水流的导水率是土壤含水量或基质势的函数以水势头为单位，以水势头为单位，Buckingham-Darcy通量定律可写成：通量定律可写成：符号相同符号相同,向上为正向上为正难难点点第十五页，共七十三页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.2 Buckingham-Darcy2.3.2 Buckingham-Darcy通量定律通量定律Buckingham-Darcy通量定律也可写成：通量定律也可写成：问题：两种写法是否会影响计算结果？问题：两种写法是否会影响计算结果？基质势基质势 是土壤深度是土壤深度 和时间和时间 的函数，所以用偏微分的函数，所以用偏微分 表示：表示：偏微分方程用以对非稳态流的数学描述，如是稳态流，上式变为常偏微分方程用以对非稳态流的数学描述，如是稳态流，上式变为常微分方程微分方程符号相反符号相反,向下为正向下为正第十六页，共七十三页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达在饱和含水量附近，砂质土壤的在饱和含水量附近，砂质土壤的导水率高于粘质土壤。

导水率高于粘质土壤随着吸力的发展，砂质土壤大孔隙排空，流径增随着吸力的发展，砂质土壤大孔隙排空，流径增加，由此其导水率低于粘质土壤加，由此其导水率低于粘质土壤几个非饱和导水率经验公式：几个非饱和导水率经验公式：第十七页，共七十三页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达毛细管模型将土壤概化为一束不同数量和尺寸的毛细管，并假定毛管束的特征毛细管模型将土壤概化为一束不同数量和尺寸的毛细管，并假定毛管束的特征曲线与所代表的实际土壤的特征曲线相同以下几方面与实际土壤不同：曲线与所代表的实际土壤的特征曲线相同以下几方面与实际土壤不同：② ② 毛细管有相同长度；毛细管有相同长度；③ ③ 水流边界与实际土壤不同；水流边界与实际土壤不同；④ ④ 毛细管半径完全控制着水膜厚度；毛细管半径完全控制着水膜厚度；⑤ ⑤ 水流是稳态的水流是稳态的 ① ① 每根毛细管都是连通的；每根毛细管都是连通的；第十八页，共七十三页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达由普氏定律：由普氏定律：半径为半径为 毛细毛细管的流量管的流量模型的毛细管长度，实际土壤模型的毛细管长度，实际土壤表观长度为表观长度为 ，， 。

通过模型的总流量通过模型的总流量毛管束中半径为毛管束中半径为 的毛管数量的毛管数量毛管束中不同尺寸毛细管的数量毛管束中不同尺寸毛细管的数量通过毛管束的通量通过毛管束的通量 ，毛管中半径为，毛管中半径为 的毛细的毛细管单位面积的数量管单位面积的数量第十九页，共七十三页用于计算非饱和导水率的毛细管模型用于计算非饱和导水率的毛细管模型2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达如图，将实际土壤水特征曲线如图，将实际土壤水特征曲线 分分成等宽为成等宽为 的若干份的若干份于是有于是有假定：当假定：当 时，时， 的毛管都排空的毛管都排空毛管半径由毛管半径由确定如假定毛管横截面面积如假定毛管横截面面积 ，则单位长，则单位长度毛管排水量为：度毛管排水量为：如此，如此，代入毛管通量计算式代入毛管通量计算式第二十页，共七十三页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达设设为弯曲度。

为弯曲度第二十一页，共七十三页2.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 2.3.32.3.3非饱和导水率的数学表达非饱和导水率的数学表达含水量为含水量为 ，，最大半径为最大半径为 的毛管排空的毛管排空对一般情况对一般情况又又例题例题2.1第二十二页，共七十三页 一个重要概念：通量不随时间变化的土壤水流称做一个重要概念：通量不随时间变化的土壤水流称做稳态流，或恒定流；通量随时间变化的土壤水流称作非稳稳态流，或恒定流；通量随时间变化的土壤水流称作非稳态流，或非恒定流，或瞬态流态流，或非恒定流，或瞬态流讨论：讨论：如如Darcy实验示意实验示意图当土壤水流达图当土壤水流达到稳态水流后，哪到稳态水流后，哪些土壤水运动要素些土壤水运动要素不随时间发生变化不随时间发生变化？？水位水位在这种情况在这种情况下，土壤水下，土壤水流是否能达流是否能达到稳态流？到稳态流？2.3.4  稳定状态下的非饱和流问题稳定状态下的非饱和流问题2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 第二十三页，共七十三页2.3.4 稳定状态下的非饱和流问题稳定状态下的非饱和流问题非饱和流在大多数情况下都处在非稳定状态，只有在一些理想条件非饱和流在大多数情况下都处在非稳定状态，只有在一些理想条件下才可近似将非饱和流看作稳态流。

下才可近似将非饱和流看作稳态流当基质势差当基质势差 在土柱两端（在土柱两端（ ）保持不变，）保持不变，则土柱水流最终达到稳态则土柱水流最终达到稳态Buckingham-Darcy 定律可写成：定律可写成：Buckingham-Darcy通量定律通量定律 为常微分，因为只取决于为常微分，因为只取决于 ，而与，而与 无关2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 第二十四页，共七十三页（（1）） Darcy定律的积分形式定律的积分形式当当2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 第二十五页，共七十三页（（2）） 地下水稳定时的土壤蒸发地下水稳定时的土壤蒸发虽然田间水分蒸发不是一个稳态过程，但稳定的地下水位虽然田间水分蒸发不是一个稳态过程，但稳定的地下水位向裸地土壤表面蒸发，在一段时间，大气蒸发条件相对稳向裸地土壤表面蒸发，在一段时间，大气蒸发条件相对稳定，可近似看作稳态蒸发定，可近似看作稳态蒸发例题例题2.22.2（（3）） 稳态向下的土壤水流稳态向下的土壤水流向下的稳态水流在田间几乎不会出现，但在某些情况下，如向下的稳态水流在田间几乎不会出现，但在某些情况下，如频繁灌水或降雨，可近似地将向下的田间水流看作向下运动频繁灌水或降雨，可近似地将向下的田间水流看作向下运动的稳态流问题。

的稳态流问题例题例题2.32.32.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 第二十六页，共七十三页（（3）） 稳态向下的土壤水流稳态向下的土壤水流对任何通量对任何通量 ，当地下水，当地下水位不太浅时，接近地表位不太浅时，接近地表的基质势趋于常数的基质势趋于常数重要结论：当水流以常量重要结论：当水流以常量下渗时，下渗时， 趋于趋于0 0，水流，水流只在重力梯度下运动可只在重力梯度下运动可得：得：（（4）） 非饱和导水率的稳态非饱和导水率的稳态实验室测定实验室测定例题例题2.42.42.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 第二十七页，共七十三页2.3.52.3.5 测定非饱和导水率的瞬时剖面法测定非饱和导水率的瞬时剖面法实验室测定：如图，土柱进水底面为参照面，向上为正实验室测定：如图，土柱进水底面为参照面，向上为正2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 第二十八页，共七十三页2.3.52.3.5 测定非饱和导水率的瞬时剖面法测定非饱和导水率的瞬时剖面法在每次测定间隔在每次测定间隔 确定情况下：确定情况下：实际是图中两条曲线的面积。

实际是图中两条曲线的面积由供水的由供水的Mariotte瓶刻度读出瓶刻度读出2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 第二十九页，共七十三页2.3.5 测定非饱和导水率的瞬时剖面法测定非饱和导水率的瞬时剖面法田间测定：田间测定一般不会有实验室测定那样的通过田间测定：田间测定一般不会有实验室测定那样的通过Mariotte瓶瓶测得的测得的 ，因此计算水流通量的公式写成更一般形式因此计算水流通量的公式写成更一般形式式中，式中， 为测定点的编号，即张力计（或为测定点的编号，即张力计（或TDRTDR））埋设根数埋设根数 瞬时剖面法测定关键是要事先确定一个截面的通量，可通过地表辅膜瞬时剖面法测定关键是要事先确定一个截面的通量，可通过地表辅膜或零通量面法确定或零通量面法确定由由 确定确定 ，在得到足够数据后，可选线型拟合在得到足够数据后，可选线型拟合 与毛管模型法比较与毛管模型法比较2.3非饱和土壤水运动的达西定律非饱和土壤水运动的达西定律 第三十页，共七十三页。

2.4 2.4 非饱和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程如图，取一块长，宽，高为如图，取一块长，宽，高为                 微小土体微小土体根据物质守恒原理根据物质守恒原理对一维垂直流：对一维垂直流：在在 时段进入土体的水量时段进入土体的水量= =在在 时段离开土体的水量时段离开土体的水量+ +在在 时段储存在土体中水容量的增量时段储存在土体中水容量的增量+ +在在 时段由植物根系吸收而失去的水量时段由植物根系吸收而失去的水量2.4.12.4.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导第三十一页，共七十三页2.4.12.4.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导进入土体的水容量进入土体的水容量= =离开土体的水容量离开土体的水容量= =储存在土体中水容量的增量储存在土体中水容量的增量= =土体中由植物吸收的水容量土体中由植物吸收的水容量= =源汇项源汇项第三十二页，共七十三页2.4.12.4.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导由物质守恒原理可得：由物质守恒原理可得：两边同除以两边同除以2.4 2.4 非饱和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程第三十三页，共七十三页。

2.4.12.4.1质量守恒与基本方程的推导质量守恒与基本方程的推导当当有：有：对更一般的三维情况，有：对更一般的三维情况，有：分别是分别是方向三个单位矢量方向三个单位矢量当土体中无植物根系存在，当土体中无植物根系存在， 以上推导两个基本假设：以上推导两个基本假设：①①水是不可压缩的；水是不可压缩的； ② ②土壤基质在水流过程中保持不变土壤基质在水流过程中保持不变2.4 2.4 非饱和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程第三十四页，共七十三页2.4.22.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式（（1 1）以含水率）以含水率θθ为因变量的基本方程为因变量的基本方程（（2 2）以基质势）以基质势h h为因变量的基本方程为因变量的基本方程（（3 3））RichardsRichards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4 2.4 非饱和土壤水运动的基本方程非饱和土壤水运动的基本方程第三十五页，共七十三页2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式(1) Richards方程的含水量形式（方程的含水量形式（ 方程）方程）Darcy定律的定律的 变量形式：变量形式：① ① 可以直接写成可以直接写成 的函数：的函数：② ② 由微分变换由微分变换比水容量比水容量代入连续性方程：代入连续性方程：第三十六页，共七十三页。

 方程，又称扩散型方程方程，又称扩散型方程上式是一个二阶非线性偏微分方程非线性是指所求函数上式是一个二阶非线性偏微分方程非线性是指所求函数 又又是是 和和 的变量注意：土壤水运动不是扩散运动，注意：土壤水运动不是扩散运动， 的引入只是一种数学处的引入只是一种数学处理方式扩散运动的驱动力是浓度梯度，而土壤水运动的驱动力是土水势梯度扩散运动的驱动力是浓度梯度，而土壤水运动的驱动力是土水势梯度扩散型方程的优点是，与扩散型方程的优点是，与 相比，相比， 的变化范围要小得的变化范围要小得多；其缺点是扩散型方程只能用在均质土壤剖面上多；其缺点是扩散型方程只能用在均质土壤剖面上Why?(1) Richards方程的含水量形式（方程的含水量形式（ 方程）方程）2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式第三十七页，共七十三页(2) Richards方程的基质势形式（方程的基质势形式（ 方程）方程）由导数性质，有：由导数性质，有：也是比水容量也是比水容量，，代入连续性方程：代入连续性方程：上式称作上式称作Richards方程的基质势形式，又称方程的基质势形式，又称 方程。

也是一个二阶方程也是一个二阶非线性偏微分方程从理论上讲，可以用在非均质土壤剖面的水非线性偏微分方程从理论上讲，可以用在非均质土壤剖面的水流问题无论无论 方程还是方程还是 方程，一般都忽略土壤水的滞后作用方程，一般都忽略土壤水的滞后作用2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式第三十八页，共七十三页(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式如图，以如图，以 为垂直轴的为垂直轴的DarcyDarcy定律可表示为：定律可表示为：基本假设：基本假设：①①水是不可压缩的；水是不可压缩的；②②土壤基质在水流过程中不变形；土壤基质在水流过程中不变形；③③土壤是各向同性的（土壤是各向同性的（isotropicisotropic））2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式第三十九页，共七十三页 方向：方向：在在 时段，流入流出的水量差：时段，流入流出的水量差：在在 时段，流入单元体的水量：时段，流入单元体的水量：入流面积入流面积流出水量：流出水量：出流面积出流面积(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式第四十页，共七十三页。

 方向：方向： 时段流入水量：时段流入水量：入流面积入流面积流出水量：流出水量：出流面积出流面积在在 时段，流入流出的水量差：时段，流入流出的水量差： 方向：方向：在在 时段，流入流出的水量差：时段，流入流出的水量差：面积面积(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式第四十一页，共七十三页在在 时段流入和流出单元体总的水量差：时段流入和流出单元体总的水量差：单元体体积为：单元体体积为：略去高阶无穷小量后为：略去高阶无穷小量后为：单元体内水分增量为：单元体内水分增量为：由物质守恒原理，得由物质守恒原理，得连续性方程：连续性方程：(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式第四十二页，共七十三页将柱坐标系将柱坐标系DarcyDarcy定律代入连续性方程，得：定律代入连续性方程，得：柱坐标柱坐标RichardsRichards方程常写成：方程常写成：(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式第四十三页，共七十三页。

同样，柱坐标下的同样，柱坐标下的RichardsRichards方程也可写出方程也可写出 方程和方程和 方程：方程： 方程：方程： 方程：方程：对对 在在 方向无变化，同时具有轴对称特点，方程可以简化为：方向无变化，同时具有轴对称特点，方程可以简化为：或或 例题例题2.5(3) Richards方程的柱坐标形式方程的柱坐标形式2.4.2基本方程的各种形式基本方程的各种形式第四十四页，共七十三页2.4.3 土壤水运动方程的定解条件土壤水运动方程的定解条件 基本方程基本方程定解问题定解问题 初始条件初始条件 定解条件定解条件 边界条件边界条件(1) 初始条件（初始条件（initial condition）） 表示所研究问题的初始状态：表示所研究问题的初始状态：梁昆淼，数学物理方法，梁昆淼，数学物理方法，人民教育出版社，人民教育出版社，1979对于对于θ方程：方程：对于对于 方程：方程：用角标用角标“0”表示初始已知量表示初始已知量第四十五页，共七十三页。

(2) 边界条件（边界条件（boundary conditions）） 边界条件一般分为三种：一、二、三类边界边界条件一般分为三种：一、二、三类边界① ① 一类边界条件一类边界条件(Dirichlet)：变量已知边界：变量已知边界对于对于θ方程：方程：对于对于 方程：方程：用角标用角标“1”表示第一类边界上的值表示第一类边界上的值 在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生：在一维垂向土壤水分运动中，一类边界的情况发生：(1)压力入渗（地表有薄层积水）；压力入渗（地表有薄层积水）；(2)强烈蒸发（表土达到风干含水率）强烈蒸发（表土达到风干含水率）第四十六页，共七十三页② ② 二类边界条件二类边界条件(Neumann)：水流通量已知边界：水流通量已知边界对于对于θ方程：方程：对于对于 方程：方程：用角标用角标“ ”表示第二类边界表示第二类边界 在一维垂向土壤水分运动中，二类边界的情况发生：在一维垂向土壤水分运动中，二类边界的情况发生：(1)降雨、灌水入渗、蒸发强度已知的边界；降雨、灌水入渗、蒸发强度已知的边界；(2)不透水边界和无蒸发入渗的边界，此时不透水边界和无蒸发入渗的边界，此时 =0 。

第四十七页，共七十三页③ ③ 三类边界条件三类边界条件(Cauchy)：水流通量随边界：水流通量随边界 上的变上的变 量量θθ或或 而变化的情况而变化的情况对于对于θ方程：方程：用角标用角标“ ”表示第三类边界表示第三类边界通式：通式：其中，其中，f—Variable(θ, )对于对于 方程：方程：第四十八页，共七十三页1. 试试推推导导垂垂直直一一维维土土壤壤水水流流的的基基本本方方程程，，并并写写出出如如右右图图所所示示情情况况AB剖剖面面土土壤壤水水分分运运移移的的定定解解问问题题地地表表入入渗渗强强度度为为q(t)，，B点点地地下下水水位位保保持持不不变变，，AB剖面土壤均质）剖面土壤均质） B ····Azq(t)第第2章章 作业作业第四十九页，共七十三页2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法----通量法通量法 = =简化为简化为积分得积分得－－= =对上式积对上式积分得分得 确定某一断面处的通量，主要应用达西定律，其方法确定某一断面处的通量，主要应用达西定律，其方法有零通量法，表面通量法和定位通量法，统称为土壤水分有零通量法，表面通量法和定位通量法，统称为土壤水分运动通量法。

运动通量法定定义义第五十页，共七十三页零通量面（零通量面（ZFP-Zero Flux Plane））在土壤较为潮湿情况下，剖面上部由于蒸发水分向上运动；而剖面下在土壤较为潮湿情况下，剖面上部由于蒸发水分向上运动；而剖面下部水分在重力作用下向下运动在水分向上和向下运动交接处，必然部水分在重力作用下向下运动在水分向上和向下运动交接处，必然会出现零通量面会出现零通量面由由DarcyDarcy定律：定律：ZFPZFP如图，如图，ZFPZFP处切线斜率垂直于处切线斜率垂直于 轴，即轴，即 ZFPZFP是一个复杂问题，有许多这方面的研究是一个复杂问题，有许多这方面的研究例题例题2.62.62.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法--通量法通量法第五十一页，共七十三页2.5.12.5.1零通量面与零通量法零通量面与零通量法2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法----通量法通量法零通量面的类型零通量面的类型⑴⑴单一聚合型零通量面单一聚合型零通量面( (该情况下土壤水分由上该情况下土壤水分由上下两侧向零通量面迁移下两侧向零通量面迁移 ) ) ⑵⑵单一发散型零通量面单一发散型零通量面 ( (该情况下土壤水分由零该情况下土壤水分由零通量面向上下两侧迁移通量面向上下两侧迁移 ) )⑶⑶具有多个零通量面具有多个零通量面 ( (发生在间隔降雨，入渗和发生在间隔降雨，入渗和蒸发交替出现的情况下蒸发交替出现的情况下 ) )第五十二页，共七十三页。

2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法----通量法通量法2.5.12.5.1零通量面与零通量法零通量面与零通量法(a)(a)单一聚合型单一聚合型(b)(b)单一发散型单一发散型(c)(c)多零通量面多零通量面第五十三页，共七十三页零通量面位置不变时水势与含水率的分布零通量面位置不变时水势与含水率的分布 = 即图中即图中abcdabcd的面积当含的面积当含水率减少时，水率减少时， ＞＞0 0，表示，表示通量向上，土壤水分蒸发；通量向上，土壤水分蒸发；反之，反之， ＜＜0 0，， 表示通量向表示通量向下，水分向下层土壤入渗下，水分向下层土壤入渗2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法----通量法通量法2.5.12.5.1零通量面与零通量法零通量面与零通量法第五十四页，共七十三页 即即图图中中adeade的面的面积积当土壤含水量减少土壤含水量减少时时，， ＜＜０，表示通量向下，即潜０，表示通量向下，即潜水接受水接受补给补给；反之，；反之， ＞＞0 0，表示通量向上，意，表示通量向上，意味着蒸味着蒸发时发时潜水有消耗。

潜水有消耗 2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法----通量法通量法2.5.12.5.1零通量面与零通量法零通量面与零通量法第五十五页，共七十三页2.5.2.12.5.2.1表面通量法表面通量法 表面通量法是以地表处的入渗量或蒸发量作为已知条表面通量法是以地表处的入渗量或蒸发量作为已知条件的 2.5.2.22.5.2.2定位通量法定位通量法2.52.5土壤水运动其它求解方法土壤水运动其它求解方法----通量法通量法2.5.22.5.2表面通量法表面通量法第五十六页，共七十三页2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程          土土壤壤中中的的溶溶质质处处在在一一个个物物理理，，化化学学和和生生物物的的相相互互联联系系和和连连续续变变化化的的系系统统中中本本节节侧侧重重分分析析溶溶质质运运移移的的物物理理作作用用，，并并认认为为溶溶质质运运移移主主要要是是通通过过对对流流和和水水动动力力弥弥散散两两种作用实现的种作用实现的第五十七页，共七十三页2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程2.6.1 土壤溶质的形成形式土壤溶质的形成形式 严格而言，自然界中的土壤水分都是以溶液形式存在的。

以溶液中的溶质为考察严格而言，自然界中的土壤水分都是以溶液形式存在的以溶液中的溶质为考察对象，考察某一深度土体土壤溶质的形成形式：对象，考察某一深度土体土壤溶质的形成形式：进入溶液的溶质：进入溶液的溶质：1.1.以降水，灌溉和径流形式从土壤表层进入土壤；以降水，灌溉和径流形式从土壤表层进入土壤；2.2.原先在土壤颗粒上的物质会被土壤溶液所溶解或原先在土壤颗粒上的物质会被土壤溶液所溶解或解吸附而进入土壤溶液；解吸附而进入土壤溶液； 3.3.土壤空气中的一些物质也会进入土壤溶液土壤空气中的一些物质也会进入土壤溶液 离开溶液的溶质：离开溶液的溶质：1.1.溶质会从研究土体的下界面离开研究土体；溶质会从研究土体的下界面离开研究土体； 2.2.溶液中一部分溶质会沉降到土壤颗粒上，也可能被土溶液中一部分溶质会沉降到土壤颗粒上，也可能被土壤颗粒吸附而脱离土壤溶液；壤颗粒吸附而脱离土壤溶液； 3.3.一些溶质挥发脱离土壤溶液而进入土壤空气中一些溶质挥发脱离土壤溶液而进入土壤空气中还有一个重要形成过程是溶液中的溶质与周围环境中的某些物质或自身发还有一个重要形成过程是溶液中的溶质与周围环境中的某些物质或自身发生各种化学或生物反应，使土壤溶液中的溶质增加或减少。

生各种化学或生物反应，使土壤溶液中的溶质增加或减少 第五十八页，共七十三页2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程2.6.2 溶质质量守恒公式溶质质量守恒公式取取一一个个六六面面单单元元土土体体，，单单元元体体的的体体积积 ，，从从时时刻刻 到到时刻时刻 ，有：，有：在在 时段进入单元体的溶质质量时段进入单元体的溶质质量= =在在 时段离开单元体溶质的质量时段离开单元体溶质的质量+ +在在 时段单元体储存的溶质质量的增加时段单元体储存的溶质质量的增加+ +在在时时段段 单单元元体体由由于于化化学学、、生生物物反反应应或或植植物物吸吸收收从从单单元元 体消失的溶质体消失的溶质如果我们假设溶质只在如果我们假设溶质只在 方向流动，则上式四项可写成：方向流动，则上式四项可写成： 第五十九页，共七十三页2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程总的溶质通量（单位时间单位面积流过的溶质质量）总的溶质通量（单位时间单位面积流过的溶质质量） 总的溶质浓度总的溶质浓度（单位容积土壤的溶质质量）（单位容积土壤的溶质质量） 单位容积的溶质的反应速率单位容积的溶质的反应速率（单位时间单位土壤容积溶质的损失）（单位时间单位土壤容积溶质的损失） 上式除以上式除以 ，整理可得：，整理可得： 取取 ，， ，得，得上式称作一维溶质守恒方程。

上式称作一维溶质守恒方程 第六十页，共七十三页2.6.32.6.3溶质运移的对流和水动力弥散溶质运移的对流和水动力弥散2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程2.6.3.12.6.3.1溶质的对流运移溶质的对流运移 对对流是指在土壤水分运流是指在土壤水分运动动的的过过程中，同程中，同时时携携带带着溶着溶质质运移单单位位时间时间内通内通过过土壤土壤单单位横截面位横截面积积的溶的溶质质质质量称量称为为溶溶质质通量，溶通量，溶质质的的对对流通量流通量记记为为 单单位体位体积积土壤水溶液中所含有的溶土壤水溶液中所含有的溶质质质质量，称量，称为为溶溶质质的的浓浓度，度，记为记为 第六十一页，共七十三页2.6.12.6.1溶质运移的对流和水动力弥散溶质运移的对流和水动力弥散2.6.3.22.6.3.2溶质的分子扩散溶质的分子扩散溶质的分子溶质的分子扩散扩散是由于分子的是由于分子的不规则热运动不规则热运动引起的，其趋引起的，其趋势是溶质由势是溶质由浓度高处向浓度低处浓度高处向浓度低处运移，以求最后浓度的均运移，以求最后浓度的均匀自由水中溶质的分子扩散通量符合匀。

自由水中溶质的分子扩散通量符合FickFick第一定律，第一定律，即即在土壤中，溶质的分子扩散规律同样符合在土壤中，溶质的分子扩散规律同样符合FickFick第一定第一定律律, ,第六十二页，共七十三页若将土壤孔隙设想为均匀的圆形毛管，半径为若将土壤孔隙设想为均匀的圆形毛管，半径为   ，，管轴线与土水势梯度方向一致，此时，管内半径管轴线与土水势梯度方向一致，此时，管内半径为的任一点的流速为的任一点的流速     可表示为可表示为2.6.12.6.1溶质运移的对流和水动力弥散溶质运移的对流和水动力弥散2.6.2.6.3 3.3.3溶质的机械弥散及水动力弥散溶质的机械弥散及水动力弥散以上两式即为以上两式即为PoiseuillePoiseuille方程方程 第六十三页，共七十三页n由于土壤颗粒和孔隙在微观尺度上的不均匀性，由于土壤颗粒和孔隙在微观尺度上的不均匀性，溶液在流动过程中，溶质不断被分细后进入更为溶液在流动过程中，溶质不断被分细后进入更为纤细的通道，纤细的通道，每个细孔中流速的方向和大小都每个细孔中流速的方向和大小都不一样不一样，正是这种原因使溶质在流动过程中逐渐，正是这种原因使溶质在流动过程中逐渐分散并占有越来越大的渗流区域范围。

溶质的这分散并占有越来越大的渗流区域范围溶质的这种运移现象称为机械弥散种运移现象称为机械弥散 2.6.12.6.1溶质运移的对流和水动力弥散溶质运移的对流和水动力弥散2.6.3.32.6.3.3溶质的机械弥散及水动力弥散溶质的机械弥散及水动力弥散第六十四页，共七十三页由机械弥散引起的溶质通量可写成类似的表达式由机械弥散引起的溶质通量可写成类似的表达式: 分子扩散和机械弥散的机理是不同的，但上式与分子扩散和机械弥散的机理是不同的，但上式与 的表达相似，而且一般都同时存在，实际上难以的表达相似，而且一般都同时存在，实际上难以区分，因此，将分子扩散与机械弥散结合，称为区分，因此，将分子扩散与机械弥散结合，称为水动力弥散水动力弥散水动力弥散所引起的溶质通量可表示为水动力弥散所引起的溶质通量可表示为: :2.6.12.6.1溶质运移的对流和水动力弥散溶质运移的对流和水动力弥散2.6.3.32.6.3.3溶质的机械弥散及水动力弥散溶质的机械弥散及水动力弥散第六十五页，共七十三页2.6. 42.6. 4溶质运移的基本方程溶质运移的基本方程 2.6 2.6 土壤中溶质运移的基本方程土壤中溶质运移的基本方程溶质运移的对流和水动力弥散作用，决定了溶质的总溶质运移的对流和水动力弥散作用，决定了溶质的总通量通量 为对流通量为对流通量 和水动力弥散通量和水动力弥散通量 之和。

之和 由由和和得一维的溶质运移基本方程得一维的溶质运移基本方程 第六十六页，共七十三页           当太阳辐射能源源源不断地到达地表，除一部分加热当太阳辐射能源源源不断地到达地表，除一部分加热近地面空气外，大部分均被土壤所吸收随着表土温度的近地面空气外，大部分均被土壤所吸收随着表土温度的提高，热量逐渐流入土壤深层，称为正值交换在冬季或提高，热量逐渐流入土壤深层，称为正值交换在冬季或夜间，很少辐射能到达地面时，突土壤深层储存的热量流夜间，很少辐射能到达地面时，突土壤深层储存的热量流向土表，称为负值交换土壤的正值和负值交换统称为土向土表，称为负值交换土壤的正值和负值交换统称为土壤的热量交换，它是决定土壤温度的基本因素壤的热量交换，它是决定土壤温度的基本因素2.7 2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程第六十七页，共七十三页在在 方向进入单元体内的热量：方向进入单元体内的热量： 流出的热量为流出的热量为：在在 方向流进和流入的热量差为：方向流进和流入的热量差为： 接下页接下页0将将Fourie公式代入：公式代入：2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程2.7.1 土壤热流基本方程土壤热流基本方程第六十八页，共七十三页。

同时考虑同时考虑 和和 方向上的热量变化，单元体总的热量变化可表示为：方向上的热量变化，单元体总的热量变化可表示为： 根据热量平衡式，单位时间内单元体热量的变化为：根据热量平衡式，单位时间内单元体热量的变化为： 如假设如假设 ，两式相等，即可得到下式：，两式相等，即可得到下式：接下页接下页2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程2.7.1 土壤热流基本方程土壤热流基本方程第六十九页，共七十三页重写上式：重写上式：如只考虑一维情况，则：如只考虑一维情况，则：用土壤热扩散率表示，则有：用土壤热扩散率表示，则有：以以上上三三式式为为非非稳稳定定条条件件下下土土壤壤热热运运动动偏偏微微分分方方程程，，也也就就是是土土壤壤热热流流的的基基本本方程2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程2.7.1 土壤热流基本方程土壤热流基本方程第七十页，共七十三页2.7.2 土壤热流基本方程的解土壤热流基本方程的解 （（1））解析解解析解年平均温度年平均温度 波的振幅波的振幅 右图示为土表右图示为土表1010㎝深度多年月平均温㎝深度多年月平均温度的观测值与正弦模型曲线。

土壤表度的观测值与正弦模型曲线土壤表层温度和时间的正弦模型曲线如下式：层温度和时间的正弦模型曲线如下式： 时间时间正弦波周期正弦波周期 2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程第七十一页，共七十三页2.7.2 土壤热流基本方程的解土壤热流基本方程的解 （（1））解析解解析解定解问题：定解问题： ①①②②对定解问题作对定解问题作Laplace变换，得：变换，得： 由由由由Laplace变换2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程第七十二页，共七十三页（（1））解析解解析解由由Laplace变换后的定解问题得：变换后的定解问题得： 上式为一个二阶线性非齐次常微分方程，其通解是：上式为一个二阶线性非齐次常微分方程，其通解是：由由②②由由①①2.7 土壤中热流基本方程土壤中热流基本方程第七十三页，共七十三页。