广西壮族自治区北海市星湖岛中学高三数学理月考试题含解析.docx

广西壮族自治区北海市星湖岛中学高三数学理月考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若tanθ+=4，则sin2θ=（　　）A． B． C． D．参考答案：D考点： 二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．  专题： 三角函数的求值．分析： 先利用正弦的二倍角公式变形，然后除以1，将1用同角三角函数关系代换，利用齐次式的方法化简，可求出所求．解答： 解：sin2θ=2sinθcosθ=====故选D．点评： 本题主要考查了二倍角公式，以及齐次式的应用，同时考查了计算能力，属于基础题．2. 双曲线的离心率的值为（   ）A.         B.     C.      D.参考答案：C3. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A． B． C． D．参考答案：C以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ,所以 ,因为 ，所以异面直线 与 所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 4. 已知双曲线的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为(   )A. B. C. D. 参考答案：C【分析】可设双曲线的右焦点F(c,0),渐近线的方程为,由右焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得c=，可得答案.【详解】解：由题意可设双曲线的右焦点F(c,0),渐进线的方程为，可得d==b=2a，可得c==，可得离心率e=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线离心率的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质.5. 一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积等于（   ）A．     B．          C．        D．参考答案：B试题分析：由三视图可知剩余几何体是圆柱挖去一个圆锥的几何体.表面积为一个圆面圆柱的侧面和圆锥的侧面三部分,其面积之和为,故应选B.考点：三视图及圆柱圆锥的面积及运算．【易错点晴】本题考查的是三视图的阅读和理解及几何体的体积面积的计算的的问题.解答时要充分借助题设中提供的三视图中所给的图形信息和数据信息,先确定三视图所提供的几何体的形状,再根据几何体的形状特征选择所运用的几何体的体积和公式运算求解.如本题所提供的是一个圆柱挖去一同底的圆锥所剩几何体的表面积问题.求解时借助图中所提供的数据可以看出:圆柱圆锥的半径均为,高为,再运用直角三角形求出圆锥母线长为,圆锥的侧面积是解答本题的关键.6. ，复数=           (    )    A.          B.          C.            D.参考答案：A因为，可知选A 7. （   ）A．          B．        C．1       D． 参考答案：D ，故选D. 8. 如图所示，直线与抛物线交与点A,与圆的实线部分交于点B，F为抛物线的焦点，则ABF的周长的取值范围是A(6,8)       B(4,6)      C(8,12)     D(8,10)参考答案：C略9. 某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是       （   ）（A）（B）（C）（D）参考答案：C略10. 函数的零点所在区间（　　）A． B． C．（1，2） D．（2，3）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题．【分析】由题意可知函数在（0，+∞）单调递增，且连续f（1）?f（2）＜0，由根的存在性定理可求【解答】解：由题意可知函数在（0，+∞）单调递增，且连续f（）=，f（1）=log21﹣1＜0，由根的存在性定理可得，f（1）?f（2）＜0故选：C【点评】本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理：若函数f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）?f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上至少存在一个零点，函数与方程的思想得到了很好的体现．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若的展开式中的系数为，则的值为________参考答案：略12. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是            ；参考答案：60°解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，TBN=D1M=NM=．TA1M=AN=．∴ AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcosq，T12=++－2′cosq，Tcosq=．Tq=60°．13. 幂函数在上是减函数，则实数=       ；参考答案：14. 已知，则       .参考答案：015. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为13的球O的球面上，且，，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则四棱锥E-ABCD的体积为_____________.参考答案：384      16. 已知实数满足，则的最小值为          ．参考答案： 作可行域，为三角形OAB及其内部,则直线过点A(1,2)时取最大值4,取最小值为 17. 若实数x，y满足则的最大值为_____. 参考答案：9如图的三角区域是线性约束条件表示的区域，由，得，可见是直线与轴的截距，要使取到最大值，只需取最小值，又性约束条件的限制下，直线的斜率是-1，所以当直线过三角区域最右上方的点时，取到最大值：。

三、 解答题：本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．19. 在平面直角坐标系中，已知点，P是动点，且三角形POA的三边所在直线的斜率满足     （1）求点P的轨迹C的方程 （2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且，直线OP与QA交于点M，     问：是否存在点P，使得PQA和PAM的面积满足？     若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

参考答案：解：设点为所求轨迹上的任意一点，则由，得  ，整理得轨迹的方程为且    --------4分（没注明限制条件的扣2分）（2）设,由 ,可知直线∥ 则 ,故，即，     直线OP的方程为，①     直线QA的斜率为，     直线QA的方程为，      即，②     联立①②得  ，点的横坐标为定值由，得到，因为∥，所以, 由，得，的坐标为.........................................12分略20. 已知是定义在上的偶函数,当时,,当时,的图像是斜率为且在轴上的截距为的直线在相应区间上的部分.   ⑴求、的值；   ⑵写出函数的表达式,作出其图像,并根据图像写出函数的单调区间.参考答案：解析：（1）     (2)       画出在上的图像如图所示.∴函数的单调增区间是和,   单调减区间是和. 21. 已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，，使得成立，求实数a的取值范围.参考答案：(1) (2) 【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将转化为分段函数来求解出不等式的解集.（2）由题意得，利用零点分段法求得函数的最小值，利用绝对值不等式求得的最小值，由此列不等式，求得的取值范围.【详解】解：（1）当时，原不等式为，∴或或，∴或或，∴原不等式的解集为，（2）由题意得，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴的取值范围。

点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查不等式恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于中档题.22. （本小题满分12分）  已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于两点，设  ，求的最大值．参考答案：（I）；（II）．试题解析：（Ⅰ）设代入已知可得，轨迹C的轨迹方程为．    -------------4分（Ⅱ）设，则圆的方程为． ---------6分令，则．不妨设，．  -----------10分①时，；。