利用对称图形的性质解题.docx

本文格式为Word版，下载可任意编辑利用对称图形的性质解题解题 对称 图形 性质 初中几何中，对称图形是指轴对称图形和中心对称图形的总称，对称性质不仅具有广泛的用途，而且对拓宽学生的解题思路，培养学生的创造性思维具有重要价值 　　应用其定义及性质解决诸如工程决策、平分面积与周长、确定函数及求值、边角关系，应用范围广泛，是近几年中考及竞赛试题中不成缺少的片面，这里择选几例供参考 　　定理1：假设两个图形关于某直线对称，那么对称轴是连接对应点连线的垂直平分线　　定理2：关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分　　一、应用于工程问题　　例1：如图1，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了便当浇灌农作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问理应建在河边的哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点〔不写作法〕　　探究：由定理1知只需作出点a的对称点D，连BD交a于c，那么点c为所求之点　　二、应用于平分面积与周长　　例2：有一块方角形钢板如图2所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两片面〔不写作法，留存作图痕迹，在图中直接画出〕　　探究：延长FE可将这块方钢分成两个矩形ABMF、MCDE，设两矩形的对称中心分别为O、O1，　　由定理2可知，经过中心O的任意一条直线可将矩形MCDE面积平分，经过中心O1的任意一条直线可将矩形ABMF面积平分。

　　故：过O、O1的直线可将这块方钢面积平分　　例3：如图3：一个矩形内有任意一圆，请你用一向线同时将圆和矩形的周长二等分，并说明作图的道理方法　　探究：道理方法是，由定理2可知，经过对称中心的任意一条直线可将中心对称图形面积等分、周长等分，设矩形对角线交点为O1，那么O1为矩形的对称中心，圆的圆心为O，那么O的圆的对称中心，∴直线OO1为所求作的直线　　三、应用于求解析式　　例4：如图4，正方形ABCD的边长是4，将此正方形置于平面直角坐标系xOy中，使AB在x轴正半轴上，A点坐标是〔1，0〕　　①经过点C的直线y=x-与x轴交于点E，求四边形AECD的面积；　　②假设直线l经过点E且将正方形ABCD面积平分，求直线l的方程　　探究：第②小题由定理2可知，设矩形的对称中心为O，平分矩形面积的直线l必经过矩形的中心O，∴直线EO为所求作的直线l，又O点坐标为〔3，2〕，E点坐标为〔2，0〕∴直线l的方程为y=2x-4　　四、应用于证明边角关系　　例5：已知△ABC中，边BC上的高为AD，且∠B＝2∠C　　〔如图5〕，求证CD＝AB+BD　　探究：以高AD所在的直线为对称轴翻折，点B落在DC边上的点E，由对称性，知AE＝AB、BD＝DE，　　∠AEB＝∠B，而∠B＝2∠C。

　　∴∠AEB＝2∠C，由三角形外角定理，知∠AEB＝∠C+∠CAE，∴∠CAE＝∠C，那么有EC＝AE，∴CD＝EC+DE＝AE+BD＝AB+BD　　例6：如图6，在等腰直角三角形中，∠BAC＝90°D为AC的中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，求证：∠ADB＝∠FDC　　探究：由于等腰直角三角形正好是正方形的一半，故可以利用轴对称性质恢复原来的正方形〔如图6所示〕　　以BC所在直线为对称轴，对原诸线段补添关于它轴对称的线段鲜明，D1为正方形ABA1C的A1C的中点，易证△ABD≌△CA1D，那么∠BDA＝∠A1DC，即：∠ADB＝∠FDC　　解题时，适当地运用对称性质将图形的某些片面转移到适当的位置或将分散的条件集中，有时能化难为易，变繁为简，一般地，当含有角平分线、高、圆等条件或等腰三角形、正方形、求最短线段等，往往借助轴对称的思想方法解之，当已知条件中有点或平行四边形等，往往借助中心对称的思想方法解之 — 4 —。