2024年中考数学试题分类训练：等腰三角形与直角三角形.pdf

专题1 9等腰三角形与直角三角形（28题）一、单选题1.（2024 广东广州中考真题）如图，在“W C中，ZA=90,AB=AC=6,为边3 c 的中点，点 E,b 分别在边AB,AC上，AE=C F,则四边形AED厂的面积为（）A.18 B.9A/2 C.9 D.6航【答案】C【分析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转化是解题关键.连接A D,根据等腰直角三角形的性质以及AE=CF得出VADE咨V C D F,将四边形AED厂的面积转化为三角形AD C的面积再进行求解.【解析】连接A D,如图：V ZBAC=9Q,AB=AC=6,点中点，AE=CF：.ZBAD=ZB=ZC=45,AD=BD=DC：.NADE/CDF,S四 边 形=$的 +=SCFD+SADF=SADC=-SABC又：5AAsc=6x6x5=18S四 边 形 A E D F =5 .c =9故选，C2.(2024.青海中考真题)如图，在RtzXABC中，是 A C 的中点，NBDC=60AC=6,则 B C 的长是()B.6C.73 D.3A/3【答案】A【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到血）C 等边三角形，据此求解即可.【解析】：在 RtZXABC 中，NABC=90。

是 AC 的中点，BD=gAC=C）,：/5ABDC等边三角形，A BC=Cr=iA C =|x 6 =3.故选，A.3.（2024.四川广元 中 考 真题）如图，将AABC绕点A 顺时针旋转90得到V A D E,点 8,C 的对应点分别为点、D,E,连接C E,点恰好落段CE上，若8=3,B C=1,则 AD的 长 为（）【答案】A【分析】此题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得AC=AE,NCAE=90DE=BC=l,推出 C E 是等腰直角三角形，CE=4,过点A 作于点X,得到HD=1,利用勾股定理求出AO的长.【解析】由旋转得ABC/ADE,ZCAE=90,：.AC=AE,ZCAE=90,DE=BC=1,AACE1 是等腰直角三角形，CE=CD+DE=3+1=4,过点 A 作 AHLCE于点 H,AX=g c E =CH=HE=2,HD=HEDE=2l =l,：.AD=VAH2+HD2=A/22+12=，故选，A.4.（2024.内蒙古包头中考真题）如图，在 扇 形 中，ZAOB=80,半径4=3,C 是 上 一 点，连接 O C,是 OC上一点，且 8=C,连接3 Z .若B D L O C,则 A C的 长 为（）OClB,兀A.67D.兀【答案】B【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接3 C,根据8=O C，B D A.O C,易证O8C是等腰三角形，再根据O8=O C,推出O3C是等边三角形，得到NBOC=60。

即可求出NAOC=20再根据弧长公式计算即可.【解析】连接 3 C,OD=DC,BD O C,:.OB=B C,，O8C是等腰三角形，/OB=OC,OB=OC=B C,OBC 是等边三角形，二 N 30c=60ZAOB=80,-ZAOC=ZAOB-ZBOC=20,5.（2024黑龙江牡丹江中考真题）小明同学手中有一张矩形纸片A B 8,A=12cm,CD=10cm,他进行了如下操作：第一步，如图，将矩形纸片对折，使与8 c 重合，得到折痕肱V,将纸片展平.第二步，如图，再一次折叠纸片，把 双 沿 AN折叠得到ADW,交 折 痕 于 点 E,则线段E N 的 长 为（）24 24 8【答案】B【分析】本题考查了矩形与折叠问题，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理是解题的关键.根 据 矩 形 的 性 质 和 折 叠 的 性 质 推 出=进而得出E4=4 V,设 E4=AN=x c m,贝!M=（12-x）c m,根据勾股定理可得：AM2+ME2=A E 列出方程求解即可.【解析】,四边形ABCD是矩形，.;A B =CD=10cm,由折叠可得：AM AB=5cm,AD=AD,=12cm,MN _LAB,ZZM7V=Z D A 7 V,四边形 TW 是矩形，AD,MN=AD=2cm,：.ZDAN=ZANM,:.ZANM=NDAN,：.EA=EN,设E4=E7V=x c m,贝I=(12-x)cm,在Rt/XAME中，根据勾股定0169 169理可得：AM-+M E2=AE2,即5 2+(1 2 7)-=/，解得：x=詈，即硒=詈 而，故选，B.6.(2024 福 建 中 考 真题)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其中AW与AODC都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,b分别是底边A 3,8的中点，OEVOF.下列推断错误的是()A.OBVOD B.Z.BOC=ZAOBC.OE=OF D.ZBOC+ZAOD=180【答案】B【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；A.由对称的性质得NAO3=N D O C,由等腰三角形的性质得NBOE=；NAOB,ZDOF=ZDOC,即可判断;B.N 3 0 c不一定等于N A O 3,即可判断；C.由对称的性质得O A B O D C,由全等三角形的性质即可判断；D.过。

作GA7 _L,可得 NGOD=ZBOH,由对称性质得NBOH=N CO H同理可证ZAOM=ZBOH,即可判断；掌握轴对称的性质是解题的关键.【解析】A.；OE_LO尸，.N BO E+N B O =90由对称得NAO3=NDOC,1点E,P分别是底边A 3,8 的中点，与AODC都是等腰三角形，./反出=工/48,ZD O F=-ZD O C ,2 2.-.ZBOF+ZDOF=90,:.O B O D,结论正确，故不符合题意；B.N 8O C不一定等于NAQB,结论错误，故符合题意；C.由 对 称 得 组AO D C,：点E,尸分别是底边AB,CD的中点，二OE=O尸，结论正确，故不符合题意；过作 GAf_LOH,ZGOD+ZDOH=90,ZBOH+ZDOH=90,Z.GOD=Z.BOH,由对称得 NBOH=N CO H,/./G O D =Z.COH,同理可证 ZAOM=Z.BOH,A O D+B O C =ZAOD+ZAOM+Z.DOG=1 8 0 ,结论正确，故不符合题意；故选，B.7.（2024.内蒙古赤峰中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程9_10芯+21=0 的两个根，则这个三角形的周长为（）A.17 或 13 B.13或 21 C.17 D.13【答案】C【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可 得%=3,%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.【解析】由方程炉-10欠+21=0得，占=3,%=7,；3+3 .若AACD的面积为8,则的面积是（）【答案】B【分析】本题考查了尺规作图，含 30。

的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识，由作图知AD平分/B A D,则可求Na4Z=NZMB=3O利用含30的直角三角形的性质得出CD=g AO,利用等角对等边得出A =9,进而得出8=3 8然后利用面积公式即可求解.【解析】V ZC=90,ZB=30,：.ZCAB=6 0 ,由作图知：AD平 分 AD,N O W =NZMB=30S 5 CD,AC CD*.CD=-A D,ZB=ZBAD,：.AD=BD,：.CD=-B D,=-=一 =一,2 2 乂.LB D.A C B D 22又AACD的面积为8,.ABD的面积是2x8=1 6,故选B.9.（2024 安徽 中考真题）如图，在RtZXABC中，AC=3C=2,点在 A B 的延长线上，且 CD=AB,则 的 长 是（）【答案】BC.2 0-2D.2V2-V6【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点作 上 LCB的延长线于点 E,则 N8E=90由 NACB=90AC=BC=2,可得 45=2 0，ZA=ZABC=45,进而得到CD=2及，ZDBE=4 5 ,即 得 为 等 腰 直 角 三 角 形，得到=设DE=BE=x,由勾股定理得（2 +X+X2=（2&，求出X即可求解，正确作出辅助线是解题的关键.【解析】过点。

作 DE_LC8的延长线于点E,则NBED=9OV ZACB=90,AC=BC=2,：.A B 2 +展=2 0，ZA=ZABC=45,:.CD=2五,B E =45ZkBDE 为等腰直角三角形，DE=BE,D E =BE=x,贝！CE=2+x,在 RtCDE 中，CE2+DE2=CD,，（2+xp+Y =（2 0，解得玉=石-1,x2=-43-1（舍去），DE=BE=S,：.8 0 =若-=瓜 _ 五,故选，B.10.（2024 四川自贡中考真题）如图，等边AA5 c 钢架的立柱CD L A B 于点A 3 长1 2 m.现将钢架立柱缩短成DE,NBED=60.则新钢架减少用钢（）A.（24-125/3）m B.（24-8括）m C.（2 4-6 ）m D.（2 4-4 ）m【答案】D【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用.利用三角函数的定义分别求得DE=2石,BE=AE,CD=6 3,利用新钢架减少用钢=AC+3 C+G D-A E-3 E-D E,代入数据计算即可求解.【解析】.,等边AABC,CD_LAB于点A 3 长 12m,/.AD=B D=-A B =6m,：ZBED=60,：.2tan 60=邪 DE=2 6,BE=yDE2+BD=4-/3=A E，,NCBD=60,.ZJziCD=BD-tanNCBD=D =6如m,BC=AC=AB=11m,.新钢架减少用钢=A C+f i C+C D-A E-=24+6A/3-8A/3-2A/3=（24-4/3）m,故选，D.11.（2024.天津中考真题）如图，C中，ZB=30，将ABC绕点C 顺时针旋转60。

得到 C,点A,3的对应点分别为E,延 长 刚 交 D E 于点尸，下列结论一定正确的是（）A.ZACB=ZACD B.AC/DEC.AB=EF D.BFCE【答案】D【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键.先根据旋转性质得NBCE=NACD=60结合/B =30，即可得证3C E,再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析ACDE不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A 和 C 选项是错误的.【解析】记 即 与 CE相交于一点氏 如图所示AABC中，将AABC绕点C 顺时针旋转60得到 右，NBCE=ZACD=60:ZB=30 在 ABHC 中，ZBHC=180O-ZBC E-AB=90；.BFLCE 故 D 选项是正确的，符合题意；设 ZACH=XZACB=60-xNB=30ZEDC=ABAC=180-3 0 -（60-X）=90+X：.ZEDC+ZACD=90+x+60=150+x/X不一定等于30NEDC+NACr（不一定等于180ACDE 不一定成立，故 B 选项不正确，不符合题意；：ZAC5=60ZACD=60,X。

不一定等于0NACB=NACD不一定成立，故 A 选项不正确，不符合题意；：将AABC绕点C 顺时针旋转60得到ADEC,：.A B =ED=EF+FD：.B A E F&C 选项不正确，不符合题意；故选，DE、二、填空题12.（2024浙江 中考真题）如图，D,E 分别是AABC。