线性代数--1-5行列式习题课.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院数学科学学院 陈建华陈建华线性代数线性代数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.5 习题课习题课机动 目录 上页 下页 返回 结束 行列式计算方法小结•利用行列式的定义利用行列式的定义•化三角形法化三角形法•拆行拆行( (列列) )法法•按某一行按某一行( (列列) )或某或某k k行行( (列列) )展开展开•数学归纳法数学归纳法•递推法递推法•加边法加边法( (升阶法升阶法) )•利用已知行列式的结论利用已知行列式的结论机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1.计算计算n阶行列式阶行列式 [分析分析] 0 0 较多较多, ,用行列用行列式定义或展开定理式定义或展开定理. .解解( (一一) )由行列式定义由行列式定义 ( (二二) )按第一列展开按第一列展开此行列式此行列式, , 得得机动 目录 上页 下页 返回 结束 ?！！化化上上三三角角形形例例2.2.计算（计算（1 1）） 方法一方法一机动 目录 上页 下页 返回 结束 ＝＝9化化上上三三角角形形机动 目录 上页 下页 返回 结束 ＝＝9展展开开降降阶阶方法二方法二 ＝－＝－＝＝3机动 目录 上页 下页 返回 结束 =(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)=12范德蒙行列式范德蒙行列式(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)=160观察：每行元素观察：每行元素观察：每行元素观察：每行元素之和都等于之和都等于之和都等于之和都等于10101010解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.3.证明证明证明证明: :法一法一: : 左＝左＝＝右＝右机动 目录 上页 下页 返回 结束 法二法二: : 左左＝右＝右机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: :D每行元素之和相同，每行元素之和相同，2—n列加至首列列加至首列例例4.4.计算计算机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注: :本题首行乘以本题首行乘以(-1)(-1)加至加至2 2至至n行可得箭形行列式行可得箭形行列式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 计算行列式计算行列式 [分析分析]每行元素之和相同,2至末列加至首列.此后无法通过2至末行减首行化上三角形,可首列提取公因子后利用第一列的元素1化下三角形行列式.解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 6 计算计算解解: :[分析分析]首行乘以(－1)加至2至n行可得箭形行列式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 7. 解方程解方程解法解法( (一一) )末列末列×(-ai)加至第加至第i列列(i=1,2,…,n)得上三角形得上三角形. . (二二)末行末行×(-1)加至加至1 1至至n行行, , 再由行列式定义或按末列展开再由行列式定义或按末列展开. (三三)末行起末行起, ,每行减其上行每行减其上行, ,再由行列式定义或按末列展开再由行列式定义或按末列展开. . (四四)方程为一元方程为一元n次方程次方程, ,最多有最多有n个实根个实根, ,而当而当x =a1,a2,…,an时时, ,方程左边行列式两行相同方程左边行列式两行相同, ,值为值为0,0,方程成立方程成立, ,故为根故为根. .1.2例例解方程解方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例8 8 计算计算 (P23)特点特点: :“0 0”多多方法方法: : 降阶找递推公式降阶找递推公式0000机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：法解：法( (一一) ) 按第按第1 1行展开行展开, , 再再递推公式递推公式: :＝＝adD2(n-1)－－bcD2(n-1) ＝＝( (ad－－bc) )D2(n-1) D2n＝＝( (ad－－bc) )D2(n-1) ＝＝( (ad－－bc) )2D2(n-2) ＝＝( (ad－－bc) )n-1D2＝＝( (ad－－bc) )n＝＝…按末行展开按末行展开，有：，有：机动 目录 上页 下页 返回 结束 法法( (二二) )按中间两行展开按中间两行展开——拉普拉斯定理拉普拉斯定理, ,重复此步骤重复此步骤. .法法( (三三) )d＝＝0, ,用定义用定义；；d≠0, 化下三角形行列式化下三角形行列式. .＝＝( (ad－－bc) )D2(n-1) ＝＝( (ad－－bc) )2D2(n-2) ＝＝( (ad－－bc) )n-1D2＝＝( (ad－－bc) )n＝＝…机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9解解: :按首行按首行( (列列) )展开展开, ,变形为变形为: :①①＝＝…后一行列式再按首列后一行列式再按首列( (行行) )展开得展开得Dn-2机动 目录 上页 下页 返回 结束 ②②①①、、②②消去消去Dn-1得得时时＝＝…按另一种方式变形为按另一种方式变形为: :①①时时机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例10 10 计算计算 (P26)(一) 2至n列加至首列,再2至n行减首行得上三角形行列式 (二) 2至n行减首行得箭形行列式 (三) 加边(升阶)法机动 目录 上页 下页 返回 结束 解：解：机动 目录 上页 下页 返回 结束 箭形行列式箭形行列式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例11主对角线上元素去掉1,则各行分别有公因子x1, x2,…,xn, 提取公因子后各行元素都是x1, x2,…, xn,故考虑“加边法”第2行减去第1行的x1倍,第3行减去第1行的x2倍,…,第n+1行减去第1行的xn倍.机动 目录 上页 下页 返回 结束 箭形行列式箭形行列式机动 目录 上页 下页 返回 结束 (－－1) mnab例例12 设设则则( (一一) )按前按前n行展开得行展开得 ( (二二) )B的第一行逐行向上交换经n次至C的首行, B的原第二行逐行向上交换经n次至C的第二行,…,直至B位于C的左上角, 得 (92 考研 数四 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1-a+a2-a3+a4-a5 (96(96考研数五考研数五 ) )(一) 2－5列加至首列, 按首列展开, 得同型四阶行列式再2－4列加至首列, 按首列展开, 三阶行列式对角线法则展开易得.(二) 从末列起, 每列加至前列, 所得行列式从首列起, 每列×(-a)加至后列, 即得下三角形行列式.例例13 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (－－1)n－－1(n－－1) (97(97考研数四考研数四 ) )a－b 型行列式型行列式例例14 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (99(99考研数二考研数二) )2 2－－4 4列减首列，再列减首列，再2 2列加至列加至4 4列：列： 根的个数为（根的个数为（ ）） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4B例例15 15 方程方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 －－28 (01(01考研数四考研数四 ) ) 若题为若题为“代数余子式之和代数余子式之和”, ,则为则为0 0，因为第，因为第2 2行全为行全为2;2;本本题题“余子式之和余子式之和”可直接计算可直接计算, ,因为含因为含0 0较多较多. . 若若0 0不多，技巧：不多，技巧： ，第四行各元素余子式之和的值为，第四行各元素余子式之和的值为 M41+M42+M43+M44＝－＝－A41+A42－－A43+A44例例16 设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 (96(96考研数一、二考研数一、二 ) )前例! —用定义. 可按2、3两行展开. 四阶行列式四阶行列式 的值等于（的值等于（ ）） D(A) a1a2a3a4－－b1b2b3b4(B) a1a2a3a4+b1b2b3b4(D) (a2a3－－b2b3)(a1a4－－b1b4)(C) (a1a2－－b1b2)(a3a4－－b3b4)例例1717机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业: P32-33 习题1.4 1, 2, 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1.1. 计算行列式计算行列式 [分析分析] n+2阶的三对角行列式.其非0元特点!化下三角形：第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列的-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,…,直至将新的第n+1列-(a+nb)倍加到第n+2列。

机动 目录 上页 下页 返回 结束 解:第1列(-a)倍加到第2列,新的第2列-(a+b)倍加到第3列,新的第3列-(a+2b)倍加到第4列,…,直至新第n＋1列-(a+nb)倍加到第n＋2列,得:＝a(a+b)(a+2b)…[a+(n+1)b]机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题2 2 计算行列式计算行列式 解解( (一一) )[分析分析]第1列加到第2列,新的第2列加到第3列,…,直至新的第n列加到第n＋1列机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解( (二二) )另一思路：尽管每行元素之和不全相同，但若将第2至末列加至首列，则首列除末元素外全为0，按首列展开得下三角形行列式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法索引--数学归纳法 数学归纳法是数学上证明与自然数有关的命题的一种特殊方法，它主要用来研究与正整数有关的数学问题在高中数学中常用来证明等式成立和数列通项公式成立数学归纳法有两种基本形式：第一数学归纳法：一般地，证明某个与自然数有关的命题 ，如果满足下面两个条件，就对一切自然数成立： 　 （1）命题 成立； 　 （2）假设当 时命题成立，蕴含 时命题也成立。

第二数学归纳法：对于某个与自然数有关的命题， 　　（1）验证 时 成立； 　　（2）假设 时 成立，并推出 成立 综合（1）（2）对一切自然数 ，命题 都成立除此以外还有倒推归纳法（反向归纳法），螺旋式归纳法，跷跷板归纳法等参见华罗庚《数学归纳法》科学出版社2002） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 线性代数是一种语言，必须线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种用学习外语的方法每天学习这种语言．语言． David . C . Lay　　　　　　　　　　　　。