2023年春《一元线性回归模型及其应用课时2》教学设计 (1).docx

高中数学精编资源《一元线性回归模型及其应用》教学设计课时2一元线性回归模型的应用必备知识学科能力学科素养高考考向一元线性回归模型学习理解能力概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决创造迁移能力综合问题解决猜想探究数学抽象数学建模【考查内容】建立经验回归方程,非线性回归模型转化为线性回归模型:残差分析与决定系数判断线性回归模型的拟合效果【考查题型】选择题、填空题、解答题经验回归方程数学抽象数学建模最小二乘估计数学建模残差直观想象逻辑推理非线性回归模型数学建模直观想象决定系数数学运算数据分析一、本节内容分析本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的重点.本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关,是负相关还是正相关,相关是强还是弱.本节要研究在相关性较强的情况下,如何刻画它们之间的具体关系.本节是学生首次学习刻画两个变量之间随机关系的统计模型,教材注重通过具体实例使学生理解一元线性回归模型的含义.教材在引入一元线性回归模型时,特别关注三点:(1)选用学生熟悉的问题背景;(2)调查得到的成对样本数据不能用函数模型刻画;(3)预测有新的需要和意义.教材首先通过与函数模型的比较,引入刻画两个变量之间随机关系的一元线性回归模型,利用最小二乘法估计模型的参数得到经验回归方程,再利用经验回归方程模型进行预测.为了改进模型,教材还引入残差和残差图,通过对不同模型拟合效果的比较,培养学生的数据分析核心素养.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.一元线性回归模型2.经验回归方程3.最小二乘估计4.残差5.非线性回归模型6.决定系数数据分析数学抽象数学建模逻辑推理数学运算直观想象核心素养二、学情整体分析学生是具有一定的分析问题和解决问题的能力,逻辑思维能力也初步形成.本节与上一节的研究对象相同,都是分析数值变量的成对样本数据.上一节学习的样本相关系数可以帮助推断两个变量是否线性相关,是负相关还是正相关,相关是强还是弱.本节要研究在相关性较强的情况下,如何刻画它们之间的具体关系学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计2.一元线性回归模型的应用【教学目标设计】1.通过用数学方法刻画散点与直线接近的程度,体会一元线性回归模型参数的最小二乘估计原理,能推导参数估计公式.2.通过对残差和残差图的分析,能用残差判断一元线性回归模型的有效性.3.会使用相关的统计软件.4.能通过具体实例说明一元线性回归模型修改的依据与方法.5.通过对具体问题的进一步分析,能将某些非线性回归问题转化为线性回归问题.6.能通过实例说明决定系数的意义和作用.【教学策略设计】教师引导学生对本节课所学内容,从以下问题着手学习:(1)什么是一元线性回归模型参数的最小二乘估计?利用最小二乘法得到的参数估计公式是什么?(2)经验回归直线有什么性质?(3)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性?(4)如何利用残差分析修正回归模型?对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善教师板书或投影经验回归直线的性质.通过残差分析,发现异常数据,去掉异常数据后再重新进行回归分析.用最小二乘法估计参数的过程,归纳经验回归方程的性质,理解残差及残差分析的意义.在本节的教学中,应侧重注意以下几点:(1)通过具体案例,引导学生理解利用一元线性回归方程表达变量之间的随机关系,并根据估计的经验回归方程进行预测;(2)让学生参与数据分析全过程;(3)鼓励学生使用统计软件估计参数.【教学方法建议】情景教学法、问题教学法,还有________________________________________________【教学重点难点】重点 一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计.难点 参数估计值公式的推导,利用残差分析回归模型.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学精讲师:温故而知新通过回顾上节课知识,我们明确求回归模型方程的步骤.【情境设置】一元线性回归模型及其参数的最小二乘估计问题1:结合上节课的实例(儿子与父亲身高的关系)请回答:(1)求解一元线性回归模型的步骤是什么?回归参数的公式是什么?(2)如何用残差分析一元线性回归模型的有效性?【师生活动】对于每个问题,先由学生思考后作答,再生生、师生相互补充完善.师:本节课我们继续探究线性回归模型在实际问题中的应用.请看例1.【发现创新能力】教师组织学生在小组内发言讨论,互相查漏补缺,共同发现线性模型对于本例的拟合效果并不好,从而寻求解决方案,培养了发现创新能力.【典型例题】求实际问题的经验回归方程例1 经验表明,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据(如下表),试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.编号123456胸径/cm18.120.122.224.426.028.3树高/m18.819.221.021.022.122.1编号789101112胸径/cm29.632.433.735.738.340.2树高/m22.422.623.024.323.924.7【师生活动】教师分析解题思路,学生认真听课,师生互动,求解该题的经验回归方程.师解:以胸径为横坐标、树高为纵坐标作散点图,得到图(1).在图(1)中,散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近,表明两个变量线性相关,并且是防洪堤相关,因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.用d表示胸径,h表示树高,根据最小二乘法,计算可得经验回归方程为,相应的经验回归直线如图(2)所示.【以学论教】通过教师分析解题思路,讲授解题方法和解题过程,学生加深对经验回归方程求解过程的掌握,通过例1学生既巩固了上节课的知识,又增加了学习新课的兴趣,有助于提升课堂学习效果.师:求出了树高关于胸径的经验回归方程,下面我们借助残差分析对模型刻画数据的效果进行分析.【师生活动】教师出示残差表格,师生共同作出残差图,通过残差图表进行分析得出结论.师:以胸径为横坐标,残差为纵坐标,作残差图,得到图(3).生:观察残差表和残差图,可以看到,残差的绝对值最大是0.8,所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内.可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系,可以根据经验回归方程由胸径预测树高.【概括理解能力】通过进行残差分析,学生得出所求得的经验回归方程是否能够对模型进行拟合,通过分析判断的过程提升了学生的概括理解能力.【先学后教】非线性回归问题一般不给出经验公式,这时,应先画出已知数据的散点图,把它与所学过的各种函数图像作比较,挑选一种跟这些散点图拟合得最好的函数,采用适当的变量置换,把问题化为线性回归分析问题,使问题得以解决.【情境设置】非线性相关数据模型问题2:人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据,建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.编号12345678年份18961912192119301936195619601968纪录/s11.8010.6010.4010.3010.2010.1010.009.95【师生活动】学生以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,并展示自己作的图.师:如何建立回归模型来模拟数据的分布.【师生活动】教师组织学生思考并小组合作完成以下任务:(1)在散点图中,散点看上去大致分布在一条直线附近,似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.由Y表示男子短跑是包100m的世界纪录,t表示纪录产生的年份,建立一元线性回归方程为.(2)要刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系.根据最小二乘法,由表中的数据得到经验回归方程为.①(3)将经验回归直线叠加到散点图,得到下图.师:再来看问题3.【多媒体展示】【情境设置】非线性相关数据模型问题3:从上图中可以看到,经验回归方程①较好地刻画了散点的变化趋势.请再仔细观察图形,你能看出其中存在的问题吗?【师生活动】组织学生分小组讨论,分析方程的模拟效果.以经验回归直线为参照,可以发现经验回归方程的不足之处,以及散点的更为精细的分布特征.例如,第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线,并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方,中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围,而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律,即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的性征.【推测解释能力】总结判断变量线性相关的各种方法.培养其逻辑推理的核心素养.学会求其回归直线方程,并明确其有实际意义.【分析计算能力】由于本节课题目计算量大,公式较多,所以在求解时易出现公式乱用,数据出错等问题,对这一点,在解题时尤为需要注意.培养学生的分析计算能力.师:你能对模型进行修改,以使其更好地反映散点的分布特征吗?生:仔细观察图,可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.【师生活动】教师引导学生回顾已有的函数知识,可以发现函数的图象具有类似的形状特征.注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年,因此可以认为散点是集中在曲线的周围,其中和为未知的参数,且.师:用上述函数刻画数据变化的趋势,这是一个非线性经验回归函数,其中,是待定参数.现在问题转化为如何利用成对数据估计参数和.【师生活动】教师通过问题引导学生将非线性模型转化为线性模型.师:为了利用一元线性回归模型估计参数和,我们引进一个中间变量x,令.通过,将年份变量数据进行变换,得到新的成对数据(精确到0.01).【师生活动】师生共同分析表格中的数据特点,引导学生完成以下任务:(1)通过表格画出对应的散点图.生:发现散点图中呈现出很强的线性相关特征.(2)引进一个中间变量x,将非线性模型转化为线性模型.生:借助一元线性回归模型和新的成对。