有关函数最值问题十二种解法.doc

本稿件适合高三高考复习用有关函数最值问题的十二种解题方法与策略贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200）一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数化为在给定区间上求一元函数的最值问题例1、已知、且，求的值域解：由得，即 当时，取得最大值；当时，取得最小值0即的值域为二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件来求出的最值例2、求函数的最值解：由得，因为，所以，即，解得因此的最大值是，最小值是－2三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解例3、求在区间内的最值解：配方得 ，所以 ，从而当即时，取得最大值；当即时取得最小值1四、辅助角公式：如果函数经过适当变形化为、均为常数），则可用辅助角公式来求函数的最值例4、求函数的值域解：由化为，即，从而因此的值域为五、三角代换法：例5、求函数的值域解：由，令，其中，则，因为，所以，从而，因此六、基本不等式法：运用基本不等式求函数的最值时要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件。

例6、求函数的值域当且仅当，即时，等号成立，所以七、求导法：例7、用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设容器底面短边长为x m 容器容积为y m3，则另一边为(x+0.5)m,高为∵ ∴0

解：因为，易证在或上都是减函数，所以当时，取得最大值－3；所以当时，取得最小值3十、数形结合法：数形结合法是解决最值和值域问题的重要方法，在运用中要实现问题的转化，充分利用图形的直观性1、利用两点的距离公式及点到直线的距离公式是解决某些最值问题的一种重要方法例10、求函数的最小值分析： =表示动点到定点，的距离之和，而A、B两点分别位于X轴的上下两侧，由此连接交X轴于一点，易证该点即是所求的P点解：由题意及分析易得直线AB的方程为，令 得 即所求的P点为（3，0）此时的最小值是2、利用直线的斜率求最值例11、求函数的值域解：令，则可以看成坐标平面内过点、的直线的斜率因为点在圆上运动，因此，当直线是此圆的切线时，斜率取得最值设过点的切线方程为，则有，解得，因此的值域为3、线性规划法：对于一个线性最值问题，首先应作出约束条件所确定的可行域，则其最值一定在可行域的边界上取到例12、设x，y满足约束条件：，求z＝3x＋2y的最大值解：画出可行域（见兰色区域），并画出经过可行域的一组平行线（见红线）， 如下图所示：由图可知，当直线过点A(1,1)时，截距最大，即z最大，∴zmax=3×1+2×1=5十一、待定系数法：例13、若实数x、y满足的最大值。

解：因为实数x y满足, 所以设z=x+2y=m(2x+y)+n(x+3y),∴ , ∴ z=(2x+y)+(x+3y)≤×8+×9=7.即的最大值为7十二、万能公式法：对于由同角的正弦和余弦组成的一次分式函数的最值问题，可以通过万能公式把含正弦和余弦的函数化为只含正切的函数来求出例14、求函数的值域解：令（），则由于，所以用判别式法可解即由得，从而 当时，； 当时，由得，解得所以函数的值域为。