高数同济17无穷小的比较课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,引例,都是无穷小,但,根据函数比的极限可以刻画无穷小趋于,0,的速度,.,1.7,无穷小的比较,y,x,O,y,=,x,2,y,=3,x,y,=sin,x,1,定义,.,若,则称,是比,高阶,的无穷小,若,若,若,若,或,设,是自变量同一变化过程中的无,穷小,记作,则称,是比,低阶,的无穷小,;,则称,是,的,同阶,无穷小,;,则称,是关于,的,k,阶,无穷小,;,则称,是,的,等价,无穷小,记作,1.,无穷小的阶,返回,2,2.,无穷小阶的比较举例,所以当,x,0,时,3,x,2,是比,x,所以当,x,3,时,x,2,-,9,与,x,-,3,是,例,2,例,3,例,1,下页,所以当,n,时,n,1,是比,2,1,n,低阶,的无穷小,.,高阶,的无穷小,即,3,x,2,=,o,(,x,)(,x,0),同阶,无穷小,3,所以当,x,0,时,1,-,cos,x,是关于,x,的,所以当,x,0,时,sin,x,与,x,是,例,4,例,5,2.,无穷小阶的比较举例,小结,当 时，,二阶,无穷小,等价,无穷小,即,sin,x,x,(,x,0),返回,4,定理,1,与,是等价无穷小,=,a,+,o,(,a,),下页,3.,关于等价无穷小的定理,必要性,:,证明,所以,b,a,=,o,(,a,),因为,设,a,b,只需证,b,a,=,o,(,a,),充分性,:,设,b,=,a,+,o,(,a,),则,因此,a,b,5,所以当,x,0,时,有,sin,x,=,x,+,o,(,x,),tan,x,=,x,o,(,x,),例,6,下页,3.,关于等价无穷小的定理,定理,1,与,是等价无穷小,=,a,+,o,(,a,),6,下页,3.,关于等价无穷小的定理,定理,2,证明,定理,1,与,是等价无穷小,=,a,+,o,(,a,),7,求两个,无穷小比值的极限,时,分子及分母都可用等价无穷小来代替,因此,如果用来代替的无穷小选取得适当,则可使,计算简化,定理,2,的意义,:,下页,3.,关于等价无穷小的定理,定理,2,定理,1,与,是等价无穷小,=,a,+,o,(,a,),8,解,当,x,0,时,tan 2,x,sin 5,x,解,当,x,0,时,sin,x,x,所以,p59-3,例,7,p59-4,例,8,2,x,5,x,所以,下页,9,例,9,解,常用等价无穷小,:,当,x,0时,1,cos,x,tan2,x,2,x,下页,10,例,10,解,1,常用等价无穷小,:,解,2,下页,11,常用等价无穷小,:,对于代数和中各等价无穷小一般不能替换,.,注意,例,10,解,1,下页,p60.4.(3),12,常用等价无穷小,:,对于代数和中各等价无穷小一般不能替换,.,注意,例,11,下页,13,例,12,解,常用等价无穷小,:,下页,14,例,13,常用等价无穷小,:,结束,15,内容小结,1.,无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是,的,高阶,无穷小,是,的,低阶,无穷小,是,的,同阶,无穷小,是,的,等价,无穷小,是,的,k,阶,无穷小,16,2.,等价无穷小替换定理,思考与练习,P59,题,1,2,作业,P59 3(2);4,(2),(3),(4),;,常用等价无穷小,:,17,例,1.,证明,:,当,时,证,:,18,。