三角函数正切余切图象及其性质.docx

三角函数 正切余切图象及其性质正切、余切函数图象和性质 反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质 2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象 由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期 内的图象上三点 及两条重要的线——渐近线 ，来作正切函数在区间 上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质 由图象可得: y=tanx y=cotx 定义域 值域 R R 单调性 在 上单增(k∈Z) 在 上单减(k∈Z) 周期性 T=π T=π 对称性 10 对称中心 ，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 10 对称中心 ，奇函数(k∈Z) 20 对称轴；无 注 : 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象 四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该离原点较近；包含所有的锐角；能取到所有的函数值；最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈ 的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数. y=tanx，x∈ 的反函数记作y=arctanx, x∈R，称为反正切函数. y=cotx，x∈(0, π)的反函数记作y=arccotx, x∈R，称为反余切函数. 2．反三角函数的图象 由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象. 注 :y=arcsinx, x∈[-1,1]图象的两个端点是 y=arccosx, x∈[-1,1]图象的两个端点是和. y=arctanx, x∈R图象的两条渐近线是 和 . y=arccotx, x∈R图象的两条渐近线是y=0和y=π. 四、反三角函数的性质由图象，有 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx 定义域 [-1,1] [-1,1] R R 值域 [0, π] (0, π) 单调性 在[-1，1]上单增 在[-1，1]上单减 在R上单增 在R上单减 对称性 10对称中心 奇函数 20对称轴；无 10对称中心 非奇非偶 20对称轴；无 10对称中心 奇函数 20对称轴；无 10对称中心 非奇非偶 20对称轴；无 周期性 无 无 无 无 另外: 1．三角的反三角运算 arcsin(sinx)=x(x∈ ) arccos(cosx)=x (x∈[0, π]) arctan(tanx)=x(x∈ ) arccot(cotx)=x(x∈(0, π)) 2．反三角的三角运算 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1]) cos(arccosx)=x (x∈[-1,1]) tan(arctanx)=x (x∈R) cot(arccotx)=x (x∈R) 3．x与-x的反三角函数值关系 arcsin(-x)=-arcsinx(x∈[-1,1]) arccos(-x)=π-arccosx (x∈[-1,1]) arctan(-x)=-arctanx (x∈R) arccot(-x)=π-arccotx(x∈R) 4． 。