第六章 样本及抽样分布.doc

概率论与数理统计教案 信息与数学学院　　　　　第六章 样本及抽样分布讲授内容：§1 随机样本 §2抽样分布教学目的与要求：1、 了解总体、个体、样本、统计量和简单随机样本的概念.2、 掌握样本均值，样本方差的计算.3、 掌握正态总体某些常用统计量的分布和分布.4、 了解分布，分布，分布的定义，熟练掌握它们的临界值的查表计算.教学重难点：重点——正态总体某些常用统计量的分布，临界值的查表计算.难点——几个常用统计量的构造，标准正态分布和下分布临界值的查表计算.教学方法：课堂讲授教学建议 ：本章概念较多,分布不少,讲课速度不能快,对各种分布之间的关系要仔细讲解.学时:2学时教学过程：基本思想：上面概率部分，我们研究了随机变量及概率分布和它的数字特征，但在实际问题中，我们知道一些随机变量，但不知它的概率分布，从而很难知道它的数字特征，数理统计就是要估计、推断这些东西.例如：灯泡厂一天生产的灯泡，其寿命是不同的，寿命短于1000小时的算作次品，那么我们怎样来估计这批灯泡的次品率呢？要解决的问题就是随机抽样.它的基本思想是：要从研究的对象中，抽取一小部分进行观察和研究，得到一些信息，利用这些信息对整体某些性质进行推断.它包括两部分：①抽样：如何抽样，抽多少，怎样抽；②推断：如何把抽查的结果（数据）进行合理分析，进行数据处理，作出科学的推断.一、基本概念1.总体：在数理统计中，常研究有关对象的某一项数量指标(如灯泡的寿命，人的身高等)．对这一数量指标进行试验或观察.将试验的全部可能的观察值称为总体; 即把所研究的对象的某项数量指数的全体称为总体，因为它的取值在客观上具有一定的概率分布，所以是随机变量，通常用表示（有限总体和无限总体）.2.个体:总体中的每一个基本单位称为个体，从总体中任意抽出一个个体，就是对总体进行一次观察或试验，并记录其结果，它可能的结果是的所有可能取值，因此有理由认为任意抽出的个体，也是一个随机变量，记为它与总体有相同的概率分布.因此，我们把个体也记为随机变量等，它们与总体有相同的概率分布.3.样本：在相同的条件下，从总体中随机抽取个个体： 称为总体的一个容量为的样本，就是对总体进行次重复独立的观察.4.容量：总体中所含个体的个数称为总体的容量;容量有限的称为有限总体，容量无限的称为无限总体.5.简单随机样本：为了保证样本能很好地反映总体的情况，要求样本要与总体有相同分布，而且相互独立（独立同分布），满足这两个条件的样本，叫简单随机样本．也说是来自总体的简单随机样本.6.样本值：样本在一次从总体中抽取之后，它们都是具体的数值，它称作的样本值，记为.7.总体的分布函数和数字特征：总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此个体的观察值是某一随机变量的值.因此一个总体对应一个随机变量，对总体的研究即是对随机变量的研究，因此称随机变量的分布函数和数字特征为总体的分布函数和数字特征．以后不区分总体和相应的随机变量，统称为总体.8.简单随机样本的获得：对有限总体，采用有放回抽样即可得到随机样本，但有放回抽样用起来不方便，实际中当个体的总数比要得到的样本容量大得多时，可以将不放回抽样当作有放回抽样.对无限总体，则总是采用不放回抽样.因为抽取一个个体不影响其分布.9.若是来自总体 {密度或分布律}的样本，则的联合分布为（密度或分布律）．例1 设总体,是来自总体的简单随机样本，求的联合分布率.解：依照结论，.例2 设总体， 是来自总体的简单随机样本，求()的联合分布密度.解：依照结论，，.二、统计量的定义定义： 设是来自总体的一个样本，是的函数，若中不含未知参数，则称是一统计量.由定义知，统计量为随机变量.设是相应于样本的样本值，则称是的观察值.常用统计量： 设来自总体， 为样本的观察值：样本平均值： ; 其值为样本方差： 其值为样本标准差： 其值为样本阶(原点)矩： 其值为 样本阶中心矩： 其值为 定理： 设总体的阶矩记为存在，则当时，有： 若连续，则有. 证明：∵相互独立且与有相同分布，故相互独立且与有相同的分布，故有 从而由第五章的辛钦大数定律知： 又连续，据第五章依概率收敛的序列的性质有 . 例3 设总体的均值，方差是总体的简单随机样本，求，，.解： 三、经验分布函数设总体的分布函数为,为来自的样本，对于，定义经验分布函数如下： ， 其中表示中取值不大于的随机变量的个数，实际上，设()的取值为，将它们从小到大列为, 则 例4 若总体的一组样本值为1、2、3，则 设总体具有样本值2，2，3，则经验分布函数为： . 对于经验分布函数，具有性质：定理： 对于任意实数，当时，以概率1一致收敛到分布函数.即：.四、常用统计量的分布定义：统计量的分布称为抽样分布.1.正态总体样本的线性函数的分布设总体，总体，且与相互独立，设来自的样本，来自总体的样本，则，，分布. 证明：是正态分布的线性函数，故服从正态分布.又 ，，故 同理，.又也是正态分布的线性函数，且，，故 .例5 在总体中，取一个容量为16的样本，求的值落在的概率.解: ∴ 2.分布定义： 设是来自总体的样本，则称为服从自由度为的分布，记为.其密度函数为：.的图形为： 事实上，若，则由例3 又因为相互独立，故也相互独立，由例,分布的可加性知 即的密度为.分布具有可加性，即：定理： 设且独立，则；这是因为独立，且都是分布，由分布的可加性得证.分布的期望与方差：证明：由于 ,所以： 令 于是： 所以： ..分布的上分位点：定义：对给定的正数，称满足条件的点为分布的上分位点．如图，的图形是不对称的，因此，查临界值时一定要注意. 当充分大时，有： 其中为标准正态分布的上分位点. 例6 设为总体的一个样本，求.解：因为与有相同分布，故 从而 故 ，查表可知，.例 7 设总体，来自，设，确定常数，使为分布.解：， 故 即 ，同理 又 与相互独立，故他们的函数也相互独立，从而，由分布的可加性得 即 .［作业布置］P174-175： 1，2，3，4，6讲授内容：几种重要的抽样分布教学目的与要求：1、掌握正态总体样本均值，样本方差的分布情况；2、了解分布,分布的定义，熟练掌握它们的临界值的查表计算．教学重难点：重点——正态总体某些常用统计量的分布，临界值的查表计算． 难点——几个常用统计量的构造，标准正态分布和下分布临界值的查表计算．教学方法：课堂讲授教学建议：1、结合以前所学的分布,阐述它们之间的关系.2、重在讲解几个分布之间的联系.学时：2学时．教学过程： 前面我们讨论了正态分布的线性函数的分布情况，也讨论了分布及其性质.下面我们再讨论几种重要的抽样分布.一、分布定义：设且独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记为.其密度函数为： 图形为： 从图形看出，分布的密度函数关于直线对称，这对查找临界值很有好处.具有性质： [利用公式]．即当充分大时，近似于.分布的上分位点：定义：对给定的称满足条件：的点为的上分位点.由的对称性和上分位点的定义有：当充分大时，有：.二、分布定义：设，且独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记为.其密度函数为：其图形如下，他是不对称的. 分布具有性质：由定义若，则.分布的上分位点：定义： 对给定的，称满足条件：的点为的上分位点.如图上分位点具有性质：证明：若，则 故 . 又 ，知 比较得：， 即 .三、 正态总体的样本均值与样本方差的分布设总体(不论服从什么分布，只要期望和方差存在)的均值为，方差为，是来自的一个样本，，是样本均值和样本方差，则有：.而 = = =即： .（前面已经讨论过）定理1 设 是来自正态总体的一个样本,为样本均值,则有：.定理2 设是总体的样本， ，分别为样本均值和样本方差，则有： 1) ; 2) 与独立.定理3 设是总体的样本， ，分别为样本均值和样本方差，则有： .证明：由于 ; ，两者独立，因此=/． 定理4 设 1与2分别是来自总体和的样本，且这两个样本相互独立.设=，=分别是这两个样本的均值,; 分别是这两个样本的方差，则有： 1) ; 2) 当时，有 , 其中， , .证明：1)由于 ; 由假设和独立，则由分布的定义有：/即： .2)由于， 把它标准化即有 又 , 且它们独立，由分布的可加性有：+.又独立，所以由分布的定义有： =.例1 设，求的分布.解: ∵ ，其中，，且与独立，又∴ .例2 设总体，为来自此总体的一个样本，求的概率密度.解：因为 ，所以，所以 所以， 由的定义知.［作业布置］ P175：7，8，9 本章教学参考书目孔繁亮主编，概率论与数理统计， 哈尔滨工业大学出版社赵辉主编，张国志主审，概率论与数理统计， 东北林业大学出版社陈桂林、计东海编，概率论与数理统计，科学出版社毛纲源，概率论与数理统计解题方法技巧归纳，华中理工大学出版社王梓坤，概率论基础及其应用，北京师大出版社上海交通大学数学系，概率论与数理统计（第二版），科学出版社教学后记 。