平面问题的基本理论.ppt

问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满分量、形变分量、位移分量完全满足足1515个基本方程相对容易，但要使个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难边界条件完全满足，往往很困难如图所示，其力的作用点处的边如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写界条件无法列写§2-7 §2-7 圣维南原理圣维南原理局部影响原理如在物体上部分区域作用一平衡如在物体上部分区域作用一平衡力系，则该平衡力系在物体内引力系，则该平衡力系在物体内引起的应力局限于其作用区域附近，起的应力局限于其作用区域附近，随离开作用区域而迅速减小随离开作用区域而迅速减小圣维南原理圣维南原理 如果把物体的一如果把物体的一小部分边界小部分边界上的上的面力，变换为面力，变换为分布不同分布不同但但静力等效静力等效的面力的面力（（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）），那么，，那么，近处近处的应力分布将有显著的改变，的应力分布将有显著的改变，但是但是远处远处所受的影响可以不计。

所受的影响可以不计举例举例(a)(b)(c) 设有柱形构件，在设有柱形构件，在两端截面的形心受到大两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉小相等而方向相反的拉力力P ，如图，如图2-9a如果把一端或两端的拉力变把一端或两端的拉力变换为换为静力等效静力等效的力，如的力，如图图2-9b或或2-9c，，只有虚只有虚线划出部分的应力分布线划出部分的应力分布有显著的改变有显著的改变，而其余，而其余部分所受的影响是可以部分所受的影响是可以不计的影响区域约为作用面尺寸的2~3倍(a)(b)(c)(d) 或者将两端的拉或者将两端的拉力变换为均匀分布的力变换为均匀分布的拉力，集度等于拉力，集度等于P/A ，其中，其中A 为杆件的横为杆件的横截面面积，如图截面面积，如图2-9d，仍然只有，仍然只有靠近两端靠近两端部分的应力受到显著部分的应力受到显著的影响的影响(a)(b)(c)(d)图2-9(e)如果将右端完全固定，如果将右端完全固定，如图如图2-9e，仍然只有，仍然只有靠近两端部分的应力靠近两端部分的应力受到显著的影响受到显著的影响图图2-92-9(a)(b)(c)(d)(e) 在上述五种情在上述五种情况下，离开两端较况下，离开两端较远部分的应力分布，远部分的应力分布，并没有显著的差别。

并没有显著的差别注意：注意： 应用圣维南原理，应用圣维南原理，绝不能离开绝不能离开“静力等静力等效效”的条件 圣维南原理在小边界上的应用圣维南原理在小边界上的应用：： 如图，考虑如图，考虑 小边界，小边界，⑴⑴ 精确的应力边界条件精确的应力边界条件 上式是函数方程，要求在边界上上式是函数方程，要求在边界上任一点任一点，应力，应力与面力数值相等，方向一致，往往与面力数值相等，方向一致，往往难以满足难以满足在在小边界小边界x=l上，可用下列条件代替上上，可用下列条件代替上式的条件：式的条件： 在同一边界在同一边界 x=l 上，上， 应力的主矢量应力的主矢量Fx , Fy= 面力的主矢量（给定面力的主矢量（给定) 应力的主矩应力的主矩( M )= 面力的主矩（给定）面力的主矩（给定）数值相等数值相等方向一致方向一致(b)⑵⑵积分的应力边界条件积分的应力边界条件具体可列出以下三个积分条件：具体可列出以下三个积分条件：3.3.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1) 对复杂的力边界，可以用静力等效的分布对复杂的力边界，可以用静力等效的分布面力代替。

面力代替2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等有些位移边界不易满足时，也可用静力等 效的分布面力代替效的分布面力代替(图图2-9e)注意事项：注意事项：(1)必须满足静力等效条件；必须满足静力等效条件；(2)只能在只能在次要次要边界上用圣维南原理，边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用在主要边界上不能使用如：如：AB主要边界主要边界P次要边界次要边界左侧面左侧面：：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式例例1 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用试写出水坝的顶部受集中力作用试写出水坝的应力边界条应力边界条件件 为水的容重为水的容重)右侧面右侧面：：代入应力边界条件公式，代入应力边界条件公式，有有上端面上端面：：为为次要边界次要边界，可由圣维南原理求解可由圣维南原理求解y 方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x 方向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！xy上端面：上端面：（方法（方法2 2））在在P点附近取图示微段，由微段的平衡求得点附近取图示微段，由微段的平衡求得例例2 2 试列出图中的边界条件。

试列出图中的边界条件MFyxl h/2 h/2q(a)( (a) )在主要边在主要边界界 应应精确满足下列精确满足下列边界条件：边界条件：MFyxl h/2 h/2q解解: :在小边界在小边界x = 0应用圣维南原应用圣维南原理，列出三个理，列出三个积分的近似边积分的近似边界条件，当板界条件，当板厚厚 时，时，MFyxl h/2 h/2q在小边界在小边界x = l，当平衡微分，当平衡微分方程和其它各方程和其它各边界条件都已边界条件都已满足的条件下，满足的条件下，三个积分的边三个积分的边界条件必然满界条件必然满足，暂时可以足，暂时可以不写MFyxl h/2 h/2q（（1）按位移求解（位移法、刚度法））按位移求解（位移法、刚度法） 以以u、、v 为基本未知函数，将平衡方程和边为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用界条件都用u、、v 表示，并求出表示，并求出u、、v ，再由几何再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量方程、物理方程求出应力与形变分量2）按应力求解（力法、柔度法））按应力求解（力法、柔度法） 以以应力分量 为基本未知函数，将所有方程为基本未知函数，将所有方程都用都用应力分量表示，求出表示，求出应力分量后 ，再用几再用几何方程、物理方程求出形变分量与位移。

何方程、物理方程求出形变分量与位移§2-8 §2-8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题平面问题的求解方法整体上可分为以下三种平面问题的求解方法整体上可分为以下三种:（（3）混合求解）混合求解 以部分以部分位移分量 和部分和部分应力分量 为基为基本未知函数，求出这些未知量后本未知函数，求出这些未知量后，再求出其再求出其余未知量余未知量一、平面应力问题一、平面应力问题平面应力问题的物平面应力问题的物理方程为：理方程为：由上面三式求解出由上面三式求解出应力分量，得：应力分量，得：将几何方程代入上式：将几何方程代入上式：（（a a））再将式（再将式（a）代入）代入平衡微平衡微分方程分方程简化以后，即得简化以后，即得这是这是用位移表示的平衡微分方程用位移表示的平衡微分方程，也就是按位移，也就是按位移求解平面应力问题时所需用的基本微分方程求解平面应力问题时所需用的基本微分方程1 1））将（将（a）式代入应力边界条件，简化以后，得：）式代入应力边界条件，简化以后，得：这是用这是用位移表示的应力边界条件位移表示的应力边界条件，也就是按位，也就是按位移求解平面应力问题时所用的应力边界条件。

移求解平面应力问题时所用的应力边界条件2 2）） 总结起来，按位移求解平面应力问题时满总结起来，按位移求解平面应力问题时满足足平衡微分方程（平衡微分方程（1））和和位移边界条件位移边界条件或或应力边应力边界条件（界条件（2））求出位移分量以后，用几何方程求出位移分量以后，用几何方程求出形变分量，再用物理方程求出应力分量求出形变分量，再用物理方程求出应力分量位移边界条件：位移边界条件：二、平面应变问题二、平面应变问题 只须将平面应力问题的各个方程中只须将平面应力问题的各个方程中E 和和μ作代换：作代换：例例1 考虑考虑两端固定两端固定的一维杆件，如图的一维杆件，如图 只受重力作用，重力作用， 试用位移法求解移法求解loyx解：解：则位移则位移 loyx按位移求解，位移应满足式按位移求解，位移应满足式(1),(2)代入式(1)，第一式，第一式自然满足，第二式成为自然满足，第二式成为loyx解得解得在在 处，处，代入代入v，并求出形变和应力，并求出形变和应力loyx。