1.3.3 函数的最大（小）值与导数A级：基础巩固练一、选择题1．函数f(x)＝x3－12x＋1在闭区间[－3,0]上的最大值、最小值分别是( )A．1，－1 B．1，－17 C．17,1 D．9，－19答案 C解析 令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝±2，f(－2)＝17，f(－3)＝10，f(0)＝1，所以最大值为17，最小值为1，故选C．2．函数y＝x＋2cosx在上取最大值时，x的值为( )A．0 B． C． D．答案 B解析 f′(x)＝1－2sinx，令f′(x)＝0解得x＝，当x∈时，f′(x)>0，f(x)为单调增函数，当x∈时，f′(x)<0，f(x)为单调减函数，f为f(x)在上的极大值，也是最大值．故f(x)在区间上取最大值时，x的值为.3．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )A．0≤a＜1 B．00，当x∈(－∞，－1)或(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴当x＝－1时f(x)取极小值－2.由题意知f(x)在(a2－12，a)端点处函数值不能取到，∴a2－12<－1 C．m≤ D．m<答案 A解析 f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0得x＝0或x＝3，验证可知x＝3是函数的最小值点，故f(x)min＝f(3)＝3m－，由f(x)＋9≥0恒成立得f(x)≥－9恒成立，即3m－≥－9，所以m≥.6．若函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是( )A．m＞－1 B．m≥－1 C．m＜－1 D．m≤－1答案 A解析 因为f(x)＝的定义域为R，所以ex－x＋m≠0恒成立．令g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1，所以g(x)在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增．所以g(x)min＝g(0)＝e0－0＝1.因为∀x∈R，g(x)≥1恒成立，即g(x)－1≥0恒成立，所以m＞－1.二、填空题7．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M，N，则M－N的值为________．答案 20解析 f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1，x＝－1(舍去)．因为f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，所以M＝18－a，N＝－2－a，所以M－N＝20.8．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为________．答案 解析 f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故函数f(x)的值域为.9．已知函数f(x)＝2ln x＋(a>0)．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是________．答案 [e，＋∞)解析 f(x)≥2即a≥2x2－2x2ln x.令g(x)＝2x2－2x2ln x，x>0，则g′(x)＝2x(1－2ln x)．由g′(x)＝0得x＝e，且00；当x>e时，g′(x)<0，∴x＝e时，g(x)取最大值g(e)＝e，∴a≥e.三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为y＝3x＋1.(1)求a，b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．解 (1)依题意可知点P(1，f(1))为切点，代入切线方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，所以f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2.又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切线方程y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，所以3＋2a＋b＝3，即2a＋b＝0，由解得所以a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－2.当x变化时，f(x)，f′(x)的变化情况如表：所以f(x)的极大值为f(－2)＝13，极小值为f＝，又f(－3)＝8，f(1)＝4，所以f(x)在[－3,1]上的最大值为13.B级：能力提升练11．已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－A．若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递增．若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在单调递增，在单调递减．(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)无最大值；当a>0时，f(x)在x＝取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.令g(a)＝ln a＋a－1，g′(a)＝＋1>0，则g(a)在(0，＋∞)单调递增，g(1)＝0.于是，当01时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1)．12．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．解 (1)f′(x)＝－a(x>0)，①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝.当00；当x>时，f′(x)＝<0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2 a．②当≥2，即0
