（上海专用）2018版高考数学总复习 专题10 立体几何分项练习（含解析）.doc

第十章 立体几何一．基础题组1. 【2017高考上海，4】已知球的体积为 ，则该球主视图的面积等于 .【答案】【解析】设球的半径为R，则： ，解得： ，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为： .2. 【2017高考上海，7】如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若 的坐标为 ，则 的坐标是 .【答案】【解析】将向量 的起点平移至点 ，则平移后的向量与向量 关于平面 对称，据此可得： .3. 【2016高考上海文数】如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（ ）.(A)直线AA1 (B)直线A1B1 (C)直线A1D1 (D)直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：只有与在同一平面内，是相交的，其他A，B，C中的直线与都是异面直线，故选D．【考点】异面直线【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、空间想象能力等.4.【2015高考上海理数】若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则 ．【答案】【解析】【考点定位】正三棱柱的体积【名师点睛】简单几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类简单几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握平几面积计算方法.柱的体积为,区别锥的体积；熟记正三角形面积为，正六边形的面积为.5. 【2015高考上海理数】若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】【解析】由题意得：母线与轴的夹角为【考点定位】圆锥轴截面【名师点睛】掌握对应几何体的侧面积，轴截面面积计算方法.如 圆柱的侧面积 ，圆柱的表面积 ，圆锥的侧面积 ，圆锥的表面积 ，球体的表面积 ，圆锥轴截面为等腰三角形.6. 【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.【答案】.【考点】圆锥的性质，圆锥的母线与底面所成的角，反三角函数.7. 【2014上海,文8】在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于　　　　　.【答案】24【解析】由题意割去的两个小长方体的体积为.【考点】三视图，几何体的体积..8. 【2013上海,理13】在xOy平面上，将两个半圆弧(x－1)2＋y2＝1(x≥1)和(x－3)2＋y2＝1(x≥3)、两条直线y＝1和y＝－1围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0，y)(|y|≤1)作Ω的水平截面，所得截面面积为＋8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为______．【答案】2π2＋16π9. 【2013上海,文10】已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图．若直线OA与BC所成角的大小为，则＝______.【答案】　【解析】由题知，.10. 【2012上海,理8】若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为__________．【答案】【解析】如图，由题意知，∴l=2.又展开图为半圆，∴πl=2πr，∴r=1，故圆锥的高为，体积11. 【2012上海,理14】如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC＝2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a，c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是__________．【答案】【解析】如图：当AB=BD=AC=CD=a时，该棱锥的体积最大．作AM⊥BC，连接DM，则BC⊥平面ADM，，.又AD=2c，∴.∴VD－ABC=VB－ADM+VC－ADM=.12. 【2012上海,文5】一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为__________．【答案】6π【解析】由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.13. 【2011上海,理7】若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为______．【答案】【解析】14. 【2011上海,文7】若一个圆锥的主视图(如图所示)是边长为3,3,2的三角形，则该圆锥的侧面积是________．【答案】3π【解析】15. 【2010上海,理12】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为________；【答案】【解析】在折叠过程中，始终没有改变，所以最后形成的四面体中，底面，故其体积，故答案为：.【点评】本题属于典型的折叠问题，解题的关键是：抓住折叠前后哪些几何元素的位置关系发生了改变，哪些位置关系没有发生改变，本题中应用正方形的性质是解题的推手.16. 【2010上海,文6】已知四棱椎P—ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝8，则该四棱椎的体积是________．【答案】96【解析】底面正方形的面积S＝62＝36，又∵PA⊥底面ABCD，PA＝8，∴VP—ABCD＝×S×PA＝×36×8＝96. 17. (2009上海,理5)如图,若正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为2,高为4,则异面直线BD1与AD所成角的大小是____________.(结果用反三角函数值表示)【答案】18. (2009上海,理8)已知三个球的半径R1,R2,R3满足R1+2R2=3R3,则它们的表面积S1,S2,S3满足的等量关系是_____________.【答案】 【解析】由题意S1=4πR12,S2=4πR22,S3=4πR32,则S1S2=16π2（R1R2)2,∴.又∵,∴=====.∴.19. (本题满分14分)(2009上海,理19)如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1=BC=AB=2,AB⊥BC,求二面角B1-A1C-C1的大小.【答案】【解析】如图,建立空间直角坐标系,则A(2,0,0),C(0,2,0),A1(2,0,2),B1(0,0,2),C1(0,2,2),设AC的中点为M,∵BM⊥AC,BM⊥CC1,∴BM⊥平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量.设平面A1B1C的一个法向量是n=(x,y,z).=(-2,2,-2),=(-2,0,0),∴n·=-2x=0,n·=-2x+2y-2z=0,令z=1,解得x=0,y=1.∴n=(0,1,1),设法向量n与的夹角为φ，二面角B1-A1C-C1的大小为θ，显然θ为锐角.∵cosθ=|cosφ|=,解得,∴二面角B1-A1C-C1的大小为.20. (2009上海,文6)若球O1、O2表面积之比,则它们的半径之比=__________.【答案】2【解析】由,得.21. (2009上海,文8)若等腰直角三角形的直角边长为2,则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是__________.【答案】【解析】由题意可知,该几何体是底面半径r=2,高h=2的圆锥,则其体积.22. (2009上海,文16)如图,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（ ）【答案】B【解析】由于主视图是在几何体的正前方,用垂直于投影面的光线照射几何体而得到的投影,易知图形B符合题意.23. 【2008上海,理16】(12’)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC1的中点，求直线DE与平面ABCD所成角的大小（结果用反三角函数表示24. 【2007上海,理10】平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。

已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为.试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 25. 【2007上海,文7】如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的大小是 （结果用反三角函数值表示）.【答案】【解析】26. 【2007上海,文16】（本题满分12分）在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求正四棱锥的体积.【答案】【解析】作平面，垂足为.连接，是正方形的中心，是直线与平面所成的角. ＝，. ，，， .27. 【2006上海,文16】如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（A）48 （B） 18 （C） 24 （D）36【答案】D28. 【2005上海,理11】有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是__________.【答案】【解析】两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况四棱柱有一种，就是边长为的边重合在一起，表面积为24+28三棱柱有两种，边长为的边重合在一起，表面积为24+32边长为的边重合在一起，表面积为24+36 两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况表面积为12+48最小的是一个四棱柱，这说明29. 【2005上海,理17】（本题满分12分）已知直四棱柱中，，底面是直角梯形，为直角，，，，，求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【答案】【解析】由题意AB//CD，是异面直线BC1与DC所成的角.连结AC1与AC，在Rt△ADC中，可得，又在Rt△ACC1中，可得AC1=3.在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，得又在中，可得，在∴异而直线BC1与DC所成角的大小为如图，以D为坐标原点，分别以AD、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立直角坐标系.则C1（0，1，2），B（2，4，0） 所成的角为，则∴异面直线BC1与DC所成角的大小为二．能力题组30. 【2016高考上海文数】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1个小题满分6分，第2个小题满分6分.将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图， 长为 ，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小. 【答案】（1），；（2）．圆柱的体积，圆柱的侧面积．（2）设过点B1的母线与下底面交于点B，则，所以或其补角为与所成的角．由长为，可知，由长为，可知，，所以异面直线与所成的角的大小为．【考点】几何体的体积、空间角【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答此类试题时，关键在于。