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[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟131一、填空题问题:1. 设Yn是n次伯努利试验中事件A出现的次数，p为A在每次试验中出现的概率，则对任意ε＞0，有 答案:0．问题:2. 设随机变量X和Y的数学期望是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5，则根据切比雪夫不等式P(|X-Y|≥6)≤______．答案: 问题:3. 设X1，X2，…，Xn为来自总体N(0，σ2)的样本，且随机变量则常数C=______．答案:问题:4. 设(X1，X2，X3，X4)取自正态总体X～N(0，22)的样本且Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2，则a=______，b=______时，Y服从χ2分布，自由度为______．答案: 问题:5. 设X1，X2，…，Xn为来自总体为χ2(n)分布的样本，则=______，=______．答案:n，2．问题:6. 设(X1，X2，…，Xn)为来自总体X～U(θ，θ+1)(θ＞0)的样本，则θ的矩估计量为______；最大似然估计量为______．答案:二、选择题问题:1. 设X1，X2，…，Xn为来自总体N(0，σ2)的样本，则样本二阶原点矩的方差为______ A．σ2． B． C． D． 答案:C问题:2. 设X1，X2为取自总体X～N(μ，σ2)的样本，则X1+X2与X1～X2必______A.线性相关．B.不相关．C.相关但非线性相关．D.不独立．答案:B问题:3. 设总体X服从正态分布N(0，22)，而X1，…，X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变量所服从的分布为______A.χ2(15)．B.t(14)．C.F(10，5)．D.F(1，1)．答案:C问题:4. 设(X1，X2，…，Xn)为取自总体X～N(μ，σ2)的样本，则μ2+σ2的矩估计量为______ A． B． C． D． 答案:D三、解答题问题:1. 某人要测量A，B两地之间的距离，限于测量工具，将其分成1200段进行测量，设每段测量误差(单位：km)相互独立，且均服从(-0.5，0.5)上的均匀分布．试求总距离测量误差的绝对值不超过20km的概率．答案:[解] 设Xi表示第i段上的测量误差，则Xi～U(-0.5，0.5)，i=1，2，…，1200，从而要求的概率为因为Xi独立同分布，且 于是由中心极限定理知，近似服从N(0，100)． [解析] 利用独立同分布情形下的林德伯格—勒维定理． 问题:2. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则拒绝接受这批产品，设某批产品的次品率为10%，问至少应抽取多少个产品检查才能保证拒绝接收该产品的概率达到0.9?答案:[解] 设n为至少应抽取的产品数，X为其中的次品数 由德莫弗—拉普拉斯定理，有 3. 一个复杂系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行期间每个元件损坏的概率为0.10，又知为使系统正常运行，至少必须有85个元件工作，求系统的可靠度(即正常运行的概率)；答案:[解] X为系统正常运行时完好的元件个数，于是由题设可知Xk(k=1，2，…，100)服从(0-1)分布． 服从二项分布B(100，0.9)，于是 E(X)=100×0.9=90， D(X)=npq=100×0.9×0.1=9， 故所求概率为 4. 上述系统假如由n个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常运行，问n至少为多大时才能保证系统的可靠度为0.95?答案:[解] P{0.8n≤X}=0.95， 问题:5. 某车间有200台车床，由于各种原因每台车床只有60%的时间在开动，每台车床开动期间耗电量为E，问至少供给此车间多少电量才能以99.9%的概率保证此车间不因供电不足而影响生产．答案:[解] 设则 E(Xk)=0.6， D(Xk)=0.6×0.4=0.24， E(X)=200×0.6=120， D(X)=200×0.24=48． 不影响生产需开动的车床数为n，由德莫弗—拉普拉斯定理，有 从而可知，给车间供电141E就能以不小于99.9%的概率保证正常生产． 问题:6. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱重量是随机的．假设每箱平均重50kg，标准差为5kg．若用最大载重量为5t的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977[Φ(2)=0.977，其中Φ(x)是标准正态分布函数]．答案:[解] 设Xi(i=1，2，…，n)是装运的第i箱的重量(单位：千克)，n为所求箱数，由条件可以把X1，X2，…，Xn看作独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn．由题设E(Xi)=50，(单位：kg)．由勒维—林德伯格中心极限定理，Tn～N(50n，25n) 故最多可装98箱． 问题:7. 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体N(μ，σ2)的样本，令 ，试求E(Y)，D(Y)．答案:[解] 令Yi=Xi-μ，则Yi～N(0，σ2)． [解析] 因X1，X2，…，Xn独立同分布，从而|Xi-μ|也独立同分布(i=1，2，…，n)，于是根据数字特征的性质，只须求E(|Xi-μ|)和D(|Xi-μ|)问题:8. 设总体X服从正态分布N(μ，σ2)(σ＞0)，从该总体中抽取简单随机样本X1，X2，…，X2n，(n≥2)，其样本均值为的数学期望E(Y)．答案:[解] [解析] 利用 即进行计算较简便．若直接利用期望的性质进行计算，则是很复杂的．故掌握几个常用统计量的数字特征是必要的．问题:9. 从正态总体N(3.4，62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4，5.4)内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大?答案:[解] 令表示样本均值，则因为 查表得即n≥34.57．故n至少应取35．[解析] 利用统计量即可得到结果． 问题:10. 设总体X～N(0，12)，从总体中取一个容量为6的样本X1，X2，…，X6，设Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2，试确定常数C，使随机变量CY服从χ2分布．答案:[解] 问题:11. 设总体X～N(0，σ2)，X1，X2是总体的一个样本，求的分布．答案:[解] 又 X1+X2～N(0，2σ2)，X1-X2～N(0，2σ2)， 且易验证X1+X2与X1-X2相互独立．由统计量F的定义可知Y～F(1，1)． 问题:12. 设X1，X2，…，X9是来自正态总体X的简单随机样本， 证明：统计量Z服从自由度为2的t分布． 答案:[证明] 设X～N(μ，σ2)，则 由于Y1和Y2相互独立，可知E(Y1-Y2)=0． 由正态总体样本方差的性质，可知由于Y1，Y2，S2相互独立，可见Y1-Y2与S2独立．于是，由服从t分布随机变量的结构，易知 设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为取自X的样本，试求：13. μ，σ2的矩估计；答案:[解] 因为E(X)=μ，D(X)=σ2，故令 14. μ，σ2的最大似然估计．答案:[解] 总体X的密度为 于是似然函数为 两边取对数有 于是 问题:15. 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为a:1．现有放回地一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记X为所抽的白球个数．这样做了n次之后，获得一组样本X1，X2，…，Xn基于此，求未知参数a的矩估计和最大似然估计．答案:[解] 由题意知，随机变量X的分布律为 对于给定的样本X1，X2，…，Xn，似然函数为 故a的最大似然估计 问题:16. 设X服从(0，θ)(θ＞0)上的均匀分布，X1，X2，…，Xn是取自总体X的样本，求θ的最大似然估计量与矩估计量．答案:[解] (1)X的密度函数为 似然函数为 显然，当θ＞0时，L(θ)是单调减函数，θ越小，L(θ)就越大，但所以是θ的最大似然估计量． (2) 问题:17. 设随机变量X的密度为 x1，x2，…，xn为x的n次观测值，试求σ的最大似然估计． 答案:[解] 似然函数 问题:18. 设总体X的概率密度为 其中，θ＞-1是未知参数，X1，…，Xn是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量． 答案:[解] 总体X的数学期望 样本均值解之，未知参数θ的矩估计量为 设x1，x2，…，xn是相应于样本X1，X2，…，Xn的观测值，则似然函数为 当0＜xi＜1(i=1，2，…，n)时，L＞0，且 令得之θ的最大似然估计值为 从而θ的最大似然估计量为 问题:19. 设总体X的密度函数为 其中，θ＞0，θ，μ为未知参数，X1，X2，…，Xn为取自X的样本．试求θ，μ的最大似然估计量． 答案:[解] 因为似然函数为 由②可知lnL关于μ单调增加，即L(x1，…，xn；θ，μ)关于μ单调增加，又因为故μ的最大似然估计为 另外，由①式，令即得θ的最大似然估计量为 问题:20. 设Z=lnX～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn为取自X的样本．试求E(X)的最大似然估计．答案:[解] 因为 故E(X)为未知参数μ与σ2的函数，且分别为μ与σ2的单调增加函数．由最大似然估计的性质可知，只须求出μ，σ2的最大似然估计．因为对于总体X的样本X1，X2，…，Xn，对应地有总体Z=lnX的样本Z1=lnX1，Z2=lnX2，…，Zn=lnXn，故易得μ，σ2的最大似然估计量为 所以有E(X)的最大似然估计量为 问题:21. 设总体X的概率分布为 其中是未知参数，利用总体X的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3， 求θ的矩估计值和最大似然估计值． 答案:[解] 解得θ的矩估计值为 对于给定的样本值，似然函数为 因不合题意，所以θ的最大似然估计值为 。