高中数学函数知识点(详细)(共12页).docx

精选优质文档-----倾情为你奉上第二章 函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作：=，∈A．其中，叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{| ∈A }叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数的自变量的取值范围2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合3）确定函数定义域的常见方法：①若是整式，则定义域为全体实数②若是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数的定义域③若是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 的定义域例2． 求函数的定义域④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.（4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数的定义域为[0,1]求的定义域已知函数的定义域为[0,1）求的定义域3、值域 : （1）值域的定义：与相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

2）确定值域的原则：先求定义域（3）常见基本初等函数值域： 一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量的范围出发，推出的取值范围例：求函数的值域解：∵，∴，∴函数的值域为②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法形如的函数的值域问题，均可使用配方法例：求函数（）的值域解：， ∵，∴，∴∴，∴∴函数（）的值域为③分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法例：求函数的值域解：∵，∵，∴，∴函数的值域为④换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如（、、、均为常数，且）的函数常用此法求解例：求函数的值域解：令（），则，∴∵当，即时，，无最小值∴函数的值域为⑤判别式法：把函数转化成关于的二次方程；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域，形如（、不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解例：求函数的值域解：由变形得，当时，此方程无解；当时，∵，∴，解得，又，∴∴函数的值域为值域为 练习：求函数的值域4、函数的表示方法（1）解析法、列表法、图象法（2）求函数解析式的常见方法：①换元法例：已知, 求的解析式.例：若,求.例：已知 求.②解方程组法例：设函数满足+2 f（）= （≠0），求函数解析式.一变：若是定义在R上的函数，，并且对于任意实数，总有求。

令x=0，y=2x）③待定系数法例：已知是一次函数，并且求解：设，则则，解得或故所求一次函数解析式或④配变量法例：已知, 求的解析式.例：若,求.⑤特殊值代入法（取特殊值法）例：若,且，求值.例：设是上的函数，且满足并且对任意实数有 求的表达式解：设则 即 或设则 ⑥利用给定的特性（奇偶性周期性）求解析式.例：对∈R, 满足,且当∈[－1,0]时, 求当∈[9,10]时的表达式. 解析：，则则，T=25、分段函数 (1)定义：在函数的定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集； 分段函数是一个函数，而不是几个函数； 写分段函数定义域时，区间端点不重不漏6、复合函数如果则 称为、的复合函数7、函数图象问题（1）熟悉各种基本初等函数的图象如：，，，，，（2）图象变换平移： 对称： 翻折：注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法***********************************课堂习题*********************************1.求下列函数的定义域：⑴ ⑵ 2.设函数的定义域为，则函数的定义域为_ _ 3.若函数的定义域为，则函数的定义域是 4.函数 ，若，则= 5.求下列函数的值域：⑴ ⑵ (3) (4)二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质)（1）增减函数和单调区间设函数的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说在区间D上是增函数.区间D称为的单调增区间.如果对于区间D上的任意两个自变量的值当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数.区间D称为的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数在某个区间是增函数或减函数，那么说函数在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.（3）函数单调区间与单调性的判定方法（重点）(A) 定义法： 任取∈D，且； 作差； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差的正负）； 下结论（指出函数在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性 复合函数的单调性与构成它的函数，的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 例：是否存在实数使函数在闭区间上是增函数？如果存在，说明可取哪些值；如果不存在，说明理由。

解：当>1时，为使函数在闭区间上是增函数 只需在闭区间上是增函数，故 得，又由>1，得>1 当0<<1时，为使函数在闭区间上是增函数只需在闭区间上是减函数，故无解综上，当时，在闭区间上是增函数（D）常用结论l 函数与函数的单调性相反；l 函数与具有相同的单调性；l 当时，函数与具有相同的单调性，时，它们具有相反的单调性；l 若则函数与具有相反的单调性；l 公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数l 若且与都是增（或减）函数，则也是增（或减）函数；若且与都是增（或减）函数，则也是增（或减）函数；l 若，且在定义域上是增函数，则也是增函数，也是增函数l 常见函数的单调性（一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数）（E）利用函数的单调性求函数的最值确定函数的定义域；将复合函数分解为基本的初等函数；分别判断其单调性；根据同增异减判断例：求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值2．函数的奇偶性（整体性质）（1）函数奇偶性定义一般地，对于函数的定义域D内的任意一个，都有,且（或），那么就叫做奇（或偶）函数．（2）图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（3）利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定与是否成立；作出相应结论：若 或，则是偶函数；若或，则是奇函数．注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，再根据定义判定;或由变式或来判定;利用定理，或借助函数的图象判定 .（4）函数奇偶性的重要结论l 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；l 、是定义域分别为的奇函数，那么在上，+是奇函数，•是偶函数。

l 类似结论：奇奇=奇、奇奇=偶、偶偶=偶、偶偶=偶奇偶=奇l 若是具有奇偶性的单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的l 若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数l 若既是奇函数又是偶函数，则l 复合函数的奇偶性：内层是偶函数，则是偶函数（不用死记硬背） 内层是奇函数，外层是奇函数，则是奇函数 外层是偶函数，则是偶函数（5）函数奇偶性与单调性的关系l 奇函数在上是增函数，在上也是增函数；l 偶函数在上是增函数，在上是减函数例：函数是奇函数，且当时是增函数，若，求不等式的解集解：已知不等式可化为， 因为在上递增，所以 得，或 又由是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且，得，即有，无解综上，原不等式的解集是{，或}例：设奇函数上为增函数，且，则不等式的解集为？解：由是奇函数得，所以即或，由奇函数上为增函数，故上为增函数由知可化为得，同理可化为得解集为3.函数的周期性（1）周期函数的定义 若函数对于定义域中任意，存在不为零的常数，使得恒成立，则为周期函数，为的周期（2）有关周期性的一些结论l 若的周期为，则也是的周期l 若周期函数的周期是所有正周期中最小的，则为的最小正周期l 若函数满足，则比以为周期，反之不成立。

证明提示：①令=；②令；③令3）函数的对称性l 满足条件的函数的图象关于直线对称；l 若满足的函数的图象关于点对称l 点关于轴的对称点为，函数关于轴的对称曲线方程为l 点关于轴的对称点为，函数关于轴的对称曲线方程为l 关于原点的对称点为，函数关于轴的对称曲线方程为l 函数与函数关于直线对称注意：，对称轴求法：； 与的对称轴求法：，*************************课堂习题**********************************1.已知函数，求函数，的解析式2.已知函数满足，则= 3.设是R上的奇函数，且当时,,则当时= 在R上的解析式为 4.求下列函数的单调区间： ⑴ ⑵ ⑶ 5.判断函数的单调性并证明你的结论．6.设函数判断它的奇偶性并且求证：．三、一次函数（略）与二次函数（函数应用中有提及）1、二次函数的定义及表达式（1）定义：函数叫做二次函数，它的定义域是R（2）表达式：一般式、顶点式、两根式2、二次函数的图象与性质（1）图象：抛物线：开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值最小值。

3、二次函数在闭区间上的最值（分情况讨论对称轴与闭区间的位置关系）4、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式>0=0<0二次函数。