第一篇 热点、难点突破篇专题01 不等式综合问题（讲）真题体验 感悟高考1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）A． B． C． D．2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）A． B．C． D．3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A．13 B．12 C．9 D．64．（2008·四川·高考真题（理））已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（ ）A． B．C． D．5．【多选题】（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）A． B．C． D．总结规律 预测考向（一）规律与预测1.简单不等式的解法是高考数学的基本要求，在许多题目中起到工具作用.2.解答求最值和不等式恒成立问题，常用到基本不等式，往往与函数、立体几何、解析几何等交汇命题.3.独立考查不等式问题，题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．（二）本专题考向展示 考点突破 典例分析考向一 不等式的性质与解法【核心知识】1．倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0⇒<.(2)a<0b>0,0.(4)0b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)．(2)>；<(b－m>0)．3.一元二次不等式的解法: 先将不等式化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根，最后根据相应的二次函数的图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集.【典例分析】典例1.（2018·全国·高考真题（理））设，，则（ ）A． B．C． D．典例2. 若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. ∪{2}典例3.【多选题】（2021·河北高三二模）若实数，满足，则下列选项中一定成立的有（ ）A． B． C． D．【易错提醒】求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点(1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况．(2)不会通过转换把参数作为主元进行求解．(3)不考虑a的符号．考向二 不等式的恒成立问题【核心知识】不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，x∈I；f(x)g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．解题时一定要搞清谁是变量，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量；求谁的范围，谁就是参数.利用分离参数法求解时，常用到函数的单调性、基本不等式等知识.【典例分析】典例4.（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若存在，使得，则实数的最大值是____.典例5.（2018·天津·高考真题（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．典例6.（2020·江苏省太湖高级中学高一期中）已知函数，关于的不等式的解集为.（1）求实数，的值；（2）求关于的不等式的解集；（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【规律方法】1.解决不等式恒成立问题的两种思路(1)转化成含有参数的不等式,借助对应函数图象,找到满足题目要求的条件,构造含参数的不等式(组),求得参数范围.(2)分离参数,通过求函数的最值,进而确定参数的范围.2.策略方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)．(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.考向三 基本不等式及其应用【核心知识】基本不等式求最值的常用解题技巧1.凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．2.凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．3.“１”的代换:先把已知条件中的等式变形为“１”的表达式ꎬ再把“１”的表达式与待求最值的表达式相乘ꎬ通过变形构造和或积为定值的代数式求最值.4.换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开（化为部分分式），即化为，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．【典例分析】典例7.（2019·浙江·高考真题）若，则“”是 “”的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件典例8.（2020·全国·高考真题（理））设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）A．4 B．8 C．16 D．32典例9.（2022·全国·高考真题（文））已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A． B． C． D．典例10. （2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．典例11.（2022·全国·高考真题（理））已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________．典例12.（2022·广东深圳·高三阶段练习）某市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励某食品企业生产一种饮料，该饮料每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．(1)据市场调查，若每瓶售价每提高1元，月销售量将减少8000瓶，要使下月总利润不低于原来的月总利润，该饮料每瓶售价最多为多少元？(2)为提高月总利润，企业决定下月调整营销策略，计划每瓶售价元，并投入万元作为调整营销策略的费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少万瓶，则当每瓶售价为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润．（提示：月总利润月销售总收人月总成本)【总结提升】1.运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．2.将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．3.易错提醒:运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．第一篇 热点、难点突破篇专题01 不等式综合问题（讲）真题体验 感悟高考1．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题可根据图像得出结果.【详解】结合图像易知，不等式的解集，故选：A.2．（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．【详解】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出．3．（2021·全国·高考真题）已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式即可得到答案．【详解】由题，，则，所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C．4．（2008·四川·高考真题（理））已知等比数列中，则其前项的和的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设等比数列的公比为，由等比数列的通项表示（即的代数式），然后根据的正负性进行分类，分别求出的范围即可.【详解】设等比数列的公比为，等比数列中，，当时，；当时，；.故选：D.5．【多选题】（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．总结规律 预测考向（一）规律与预测1.简单不等式的解法是高考数学的基本要求，在许多题目中起到工具作用.2.解答求最值和不等式恒成立问题，常用到基本不等式，往往与函数、立体几何、解析几何等交汇命题.3.独立考查不等式问题，题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度．（二）本专题考向展示 考点突破 典例分析考向一 不等式的性质与解法【核心知识】1．倒数性质的几个必备结论(1)a>b，ab>0⇒<.(2)a<0b>0,0.(4)0b>0，m>0，则 (1)<；>(b－m>0)．(2)>；<(b－m>0)．3.一元二次不等式的解法: 先将不等式化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根，最后根据相应的二次函数的图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的ax2＋bx＋c>0(a≠0)解集.【典例分析】典例1.（2018·全国·高考真题（理））设，，则（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．详解：.,即又即故选B.典例2. 若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D. ∪{2}【答案】B【解析】当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2，当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集．当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有解得－2
