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复变函数积分计算方法(总39页).docx

39页
  • 卖家[上传人]:des****85
  • 文档编号:214965146
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    • 精选优质文档-----倾情为你奉上(定义法)1.计算函数沿下列曲线的积分.(2)为从点到点再到点的折线.解:从点到点的直线段参数方程为,在它上有,则,从点再到点的直线段参数方程为在它上有,则,于是由复积分对积分路径的可加性可得4.计算沿下列曲线的积分.(1)为从到的直线段;(2)为从到的上半圆周;(3)为从到的下半圆周.解:(1)直线段的参数方程为在它上有,则(2)上半圆周的参数方程为在它上有,则(3)下半圆周的参数方程为在它上有,则6.设为从到的直线段,计算函数沿的积分.解:直线段参数方程为,在它上有 则用Cauchy积分定理计算积分的值,且证明等式(1)解:被积函数的奇点在积分路径的外部,所以被积函数在闭区域上解析,于是由Cauchy积分定理得 (2)证明:圆周的参数方程为,在它上有于是由(1)得所以比较等式两边的虚部得注:此题常见错误:因为在处处解析,所以非常数实函数在整个复平面上处处不解析!3.试讨论函数沿正向圆周的积分值,其中且.解:函数的奇点为.(1)当时,的奇点在圆周的外部,所以在闭区域上解析,于是由Cauchy积分定理得 (2)当时,在圆周的内部,则由解析函数积分的闭路变形原理可得(其中为任意实数).5.计算下列积分值,其中积分路径都取正向.(2)解:令,则有上面第一式令得;上面第二式令得.所以,于是1.计算下列积分,其中积分闭路取正向.(1)解:(4)解:(6)解:(8)解:被积函数有6个奇点,只有在圆的内部,于是函数在闭圆域上解析,则由Cauchy积分公式得4.用Cauchy积分公式计算函数沿正向圆周的积分值,然后利用圆周的参数方程证明下面积分(1)解:函数的奇点在积分路径的内部,而函数在闭区域上解析,于是由Cauchy积分公式得 (2)证明:圆周的参数方程为,在它上有于是比较等式两边的虚部得又所以10.设和在简单闭路C上及其内部解析,试证:(1)若在C上及其内部处处不为零,则有(2)若在C上有则在C的内部有证明:(1)因为在简单闭路C上及其内部解析并且处处不为零,则在简单闭路C上及其内部处处解析,于是由Cauchy积分定理得(2) 若对于C上的任意一点有由于和在简单闭路C上及其内部解析,则对于C的内部的任意一点,由Cauchy积分公式得所以在C的内部有一、将下列函数在指定环域内展开成Laurent级数,且计算其沿正向圆周的积分值I.(1)解:环域的中心,对应的Laurent级数展开式中取1,于是在环域内的Laurent级数展开式为取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数,又正向圆周为环域内围绕环心的正向简单闭路,所以(3)解:环域的中心,对应的Laurent级数展开式中取-1,于是在环域内的Laurent级数展开式为在环域内的Laurent级数展开式不含有负一次幂,则负一次幂系数,又正向圆周在环域内部且正向围绕环心,所以(5)解:环域的中心,对应的Laurent级数展开式中取-i,于是在环域内的Laurent级数展开式为取得在环域内的Laurent级数展开式的负一次幂系数,又正向圆周在环域内部且正向围绕环心,所以2.利用留数计算下列沿正向圆周的积分.(2)解:被积函数的奇点和都在圆的内部,它们都是一级极点,且满足留数的计算规则3的条件,则由规则3得于是由留数定理得(4)解:被积函数的奇点在圆的内部,它是二级极点,则利用留数的计算规则2得于是由留数定理得(6)(其中m为整数)解:当时,被积函数在圆内部没有奇点,此时当时,被积函数的奇点在圆的内部,其中:当时,是可去奇点,此时于是由留数定理得当时,是级极点,则利用留数的计算规则2得于是由留数定理得综合可得:当且为奇数时,当为其他整数时,4.计算下列各积分,C为正向圆周.(1)解:被积函数在环域内解析,它的五个奇点都在圆周的内部,用留数定理计算比较困难.该积分满足5.2节定理2的条件,则由定理2得(2)解:被积函数在环域内解析,它的奇点都在圆周的内部,其中为一级极点,为本性奇点,由于在本性奇点的留数不容易计算,故用留数定理计算比较困难.该积分满足5.2节定理2的条件,则由定理2得.利用留数计算下列定积分.(1)解:令,则,,从而有 .函数在内只有一个简单极点,在上无奇点,且,由留数定理得(3)解:满足5.3节定理2推论的条件,在上半平面内只有一个二级极点,且,因此得注:此类型题常见的错误:计算中取函数的所有奇点而不是只取上半平面的奇点:错解:(5)解:函数在上半平面内只有一个简单极点,且,由5.3节定理3推论得,因此取其实部得注:此类型题常见的错误:① 计算中取函数的所有奇点而不是只取上半平面的奇点;② 计算出留数后取实部或虚部再乘以得出结果,而不是计算出留数乘以后再取实部或虚部才得出结果。

      错解:注意:此类定积分题最后的结果一定是实数!专心---专注---专业。

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