八年级数学下二次根式全章复习课件.ppt

二次根式全章复习二次根式全章复习二次根式的定义二次根式的定义: :二次根式的性质二次根式的性质: :a (aa (a≥≥ 0) 0)-a (a-a (a≤≤0)0)= ==∣a∣=∣a∣还学习了二次根式的乘法和一种化简方法a≥0,b≥01.将被开方数尽可能分解成几个平方数将被开方数尽可能分解成几个平方数2.应用应用化简二次根式的步骤： 根式运算的结果中，被开方数应不含能根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式开得尽方的因数或因式 运算的结果应该是运算的结果应该是最简二次根式或整式最简二次根式或整式 3.将平方项应用将平方项应用 化简化简.例如：例如：二次根式的除法公式：二次根式的除法公式： 二次根式计算、化简的二次根式计算、化简的结果符合什么要求？结果符合什么要求？（（1））被开方数被开方数不含分母不含分母；； 分母不含根号分母不含根号；； 根号内不含小数根号内不含小数2））被开方数中不含能开得尽被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式方的因数或因式. 若两个含有二次根式若两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有的代数式相乘，积不含有二次根式，则这两个代数二次根式，则这两个代数式互为式互为有理化因式有理化因式。

在进行根式计算时，利用在进行根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分有理化因式，有时可以化去分母中的根号，从而实现分母有母中的根号，从而实现分母有理化二二 次次 根根 式式三个概念三个性质两个公式四种运算最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式有理化因式有理化因式1、2、加加 、减、乘、除、减、乘、除知识结构知识结构--不要求，只不要求，只需了解需了解1、 3、=a22、第一部分第一部分二次根式的概念二次根式的概念   正数有正数有两个两个平方根且平方根且互为相反数互为相反数；；   0 0有一个平方根就是它有一个平方根就是它0 0；；   负数负数没有没有平方根1、平方根的性质：、平方根的性质：1、、16的平方根是什么的平方根是什么?16的算术平方根是什么？　的算术平方根是什么？　2、、0的平方根是什么？的平方根是什么？0的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？3、－、－7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。

都有算术平方根；负数没有算术平方根试一试试一试 ：：说出下列各式的意义；观察：观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数 2 2、、 表示什么？表示什么？表示非负数a的算术平方根注意：注意：为了方便起见，我们把为了方便起见，我们把一个数的算术平方根一个数的算术平方根也叫做二次根式也叫做二次根式如 是不是是不是二次根式二次根式?思考：思考：不是不是,它它是二次根是二次根式的代数式的代数式式.定义：定义： 像像 , , 这样表示的算这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二次根式二次根式2. a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3. 形式上含有二次根号形式上含有二次根号4. a≥0, ≥0 5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根( ( 双重非负性双重非负性) )②②a都是非负数都是非负数. 式子式子 ，， ，， 与算术平方根的共同点与算术平方根的共同点: :S94S225+ +S一般地，形如一般地，形如 （（a≥0））的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式．．a①①都是形如都是形如 的式子的式子，，a其中其中a为整式或分式，为整式或分式，a叫做叫做被开方式被开方式．．1.判断下列各式是否是二次根式判断下列各式是否是二次根式.2. 下列各式一定是二次根式的是（下列各式一定是二次根式的是（ ））.A.B.C.D.C×√( )( )( )( )××例例1 : 判断判断，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？定义：式子定义：式子 叫做二次根式叫做二次根式. . 不要忽略不要忽略其中a叫做被开方式被开方式。

题型题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1 1. . 当当 __________时，时， 有意义 3.3.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围解得解得 - 5≤x- 5≤x＜＜3 3解：解： ①①②②说明：二次根式被开方数说明：二次根式被开方数不小于不小于0，所以求二次根，所以求二次根式中字母的取值范围常转式中字母的取值范围常转化为不等式（组）化为不等式（组） ≤3≤3有意义的条件是有意义的条件是 . .2.+由由2x-1≥0，，得得即当即当x取大于或等于取大于或等于 的实数时，式子的实数时，式子 有意义．有意义．2112 - -x例例2：： x取什么实数时，二次根式取什么实数时，二次根式 有意义有意义？？12 - -x解解：：二次根式二次根式 有意义的条件是有意义的条件是2x-1≥0．．12 - -x21x≥并且它的平方等于并且它的平方等于 , a即即).0(0 aa≥≥总是一个非负数总是一个非负数所以所以,)0(aa≥的算术平方根的算术平方根表示表示因为因为)0(，，aaa≥即即)0()(2≥= =aaa正数正数0没有没有x≥2x≥2 1、求下列二次根式中字母的取值范围：、求下列二次根式中字母的取值范围：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①①被开方数不小于零；被开方数不小于零；②②分母中有字母时，要保证分母不为零。

分母中有字母时，要保证分母不为零2、、 x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?3 3、若数轴上表示数、若数轴上表示数x x的点在原点的左边，则化简的点在原点的左边，则化简|3x+x2| |3x+x2| 的结果是（的结果是（ ））-2X-2XX≤3X≤3且且X≠-4X≠-44、求下列二次根式中字母的取值范围：、求下列二次根式中字母的取值范围：（8）5、要使下列式子有意义，求字母Ｘ、要使下列式子有意义，求字母Ｘ 的取值范围的取值范围（１）（１）（２）（２）（３）（３） 6、（１）、（１）　　　　　　　　　（２）当　　　时，　　　　　（２）当　　　时，　　　　　　　　　　　（３）　　　　　　　　，　　　（３）　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　则Ｘ的取值范围是＿＿＿　　　　　　则Ｘ的取值范围是＿＿＿　　　　　　　　　（４）若　　　　　　　　　　，　　　（４）若　　　　　　　　　　，　　　　　　　　　　　　　　　　　　则Ｘ的取值范围是＿＿＿　　　　　　则Ｘ的取值范围是＿＿＿7. 求式子求式子 有意义时有意义时X的取值范围的取值范围。

解:由题意得,求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：①①被开方数不小于零；被开方数不小于零；②②分母中有字母时，要保证分母不为零分母中有字母时，要保证分母不为零小结一下小结一下 ?第二部分第二部分二次根式的性质二次根式的性质二次根式的性质（１）二次根式的性质（１）二次根式的双重非负性解析二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键经常作为隐含条件，是解题的关键例　已知　　　　　　　　，求例　已知　　　　　　　　，求x＋＋y的值的值解：解：∵∵　　　　　　≥０，　　　０，　　　≥０，０，　　　　　＝０，　　　＝０　　　　　＝０，　　　＝０∴∴∴∴x＝１，＝１，y＝－３＝－３∴∴x＋＋y＝－２＝－２经常作为隐含条件，是解题的关键经常作为隐含条件，是解题的关键例　已知　　　　　　　　，求例　已知　　　　　　　　，求x＋＋y的值的值解：解：∵∵　　　　　　≥０，　　　０，　　　≥０，０，　　　　　＝０，　　　＝０　　　　　＝０，　　　＝０∴∴∴∴x＋＋y＝－２＝－２题型题型2:二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用.1.1.已知：已知： + =0,+ =0,求求 x-yx-y 的值的值. .2.2.已知已知x,yx,y为实数为实数, ,且且 +3(y-2)+3(y-2)2 2 =0, =0,则则x-yx-y的值为的值为( ( 　　 ) ) A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-1解：由题意，得解：由题意，得 x-4=0 x-4=0 且且 2x+y=02x+y=0解得解得 x=4,y=-8x=4,y=-8x-yx-y=4-(-8)= 4+ 8 =12=4-(-8)= 4+ 8 =12D D注意：注意：几个非负数的和为几个非负数的和为0 0，则每一个非负数必为，则每一个非负数必为0 0。

初中阶段的三个非负数：初中阶段的三个非负数：≥００(a≥００)②②a都是非负数都是非负数. 1. 形如形如 （（a≥0））的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式．．a①①都是形如都是形如 的式子的式子，，a其中其中a为整式或分式为整式或分式，，a叫做叫做被开方式被开方式．．特点：特点：)；；0(0 aa≥≥的算术平方根的算术平方根表示表示2. .因为因为)0(，所以，所以aaa≥);0()(2≥= =aaa).0()(2≥= =aaa二次根式的性质（２）二次根式的性质（２）试一试（试一试（试一试（试一试（3 3 3 3））））计算: 想一想想一想 等于什么等于什么?请举例验证请举例验证. = = = 3520.04性质２：性质２：试一试（试一试（试一试（试一试（4 4 4 4））））把下列各数写成平方的形式：3= ，利用这个式子，我们可以把任何一个非负数非负数写成一个数的平方的形式如 4= 根据等式的定义，可得 。

我们已经得到:例例3：： 计算：计算：解：解：;)16)(1 (2)16)(1 (2;)73)(2(2)73)(2(2;)85. 0)(3(2- -)85. 0)(3(2- -).5()5)(4(2- -≥+ +aa=16；；;6379)7(322= =×= == =×;85. 0)85. 0(2= == =)5)(4(+ +a2.)5(- -≥a=a＋＋5计算：计算：;)12)(1 (2;)54)(2(2;)6 . 3)(3(2- -)1)(4(2+ +x212803.6x2+1把式子把式子)0()(2≥= =aaa反过来，就得到反过来，就得到).0()(2≥= =aaa把下列非负数写成一个数的平方的形式把下列非负数写成一个数的平方的形式: （（1））5 （（2））3.4 （（3）） （（4））x（（x≥0））16面积面积5题型3：利用进行分解因式例：分解因式：反过来就是反过来就是 把下列各式中根号外的正因式移进根号内把下列各式中根号外的正因式移进根号内(1)(1)(2)(3)(4) 根号外的负因式根号外的负因式不能随意移不能随意移进进根号内根号内，在，在移移进根号内之前一定要先判断是否为非进根号内之前一定要先判断是否为非负因式。

负因式练习．在实数范围内分解因式练习．在实数范围内分解因式（（1））（（2））a-a|a|02233二次根式的性质（３）二次根式的性质（３）由 ,可以得 利用这个式子，可以把任何一个利用这个式子，可以把任何一个非负数非负数写成写成带有带有““ ””的形式，例：的形式，例： a0-a( a >0 )( a =0 )( a <0 )归归纳纳例　　求下列二次根式的值例　　求下列二次根式的值解解：：(1)∵∵∴∴(2)当当x＝　　＝　　 时，时，x－１－１<００∴∴∴∴当当x＝　　时，＝　　时，补充：补充：分别说出下列各式成立分别说出下列各式成立的的a a的取值范围：的取值范围：∵∵x<0 , ∴∴4x＜＜0,例例5 5: :已知已知:x<0,化简化简:∴∴原式原式 = -4x1、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？ 2、二次根式有哪两个形式上的特点？、二次根式有哪两个形式上的特点？ 课堂小结课堂小结第三部分第三部分二次根式的乘除法二次根式的乘除法复习归纳复习归纳复习归纳复习归纳二次根式的性质：二次根式的性质：（a≥0）（（1 1））（（2 2））a-a 当当a≥0时，时，= ；； 当当a≤0时，时，= .|a|a复习归纳复习归纳复习归纳复习归纳二次根式的性质：二次根式的性质：（（3 3））（（4 4））（（a ≥0 ，， b＞＞0））（（a ≥0 ，， b≥0））回顾回顾:你会计算吗你会计算吗? (1) (2) 有简便的方法吗有简便的方法吗?根据什么根据什么?积和商的二次根式的性质积和商的二次根式的性质:反过来反过来:二次根式乘除运算法则二次根式乘除运算法则二次根式二次根式相乘相乘：：被开方数被开方数相乘相乘，， 根指数根指数不变不变；；化简化简。

二次根式的运算（乘除运算）二次根式的运算（乘除运算）: : 归纳小结归纳小结归纳小结归纳小结（（a ≥0 ，， b≥0））（（a ≥0 ，， b＞＞0））（（a≥0，，b≥0））根号外根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数的系数与系数相乘，积为结果的系数二次根式的乘法二次根式的乘法：：根式和根式按公根式和根式按公式相乘分析分析例例1 1 计算：计算：解：原式解：原式原式原式解：解：计算：计算： 计算：计算： 结果必须化为最简二次根式结果必须化为最简二次根式. 找因数的找因数的最最大公因数大公因数,不不行行再分解因再分解因数数要先相乘，后化简要先相乘，后化简例例2：计算：计算解：解：两个二次根式相除，等于把被开方数相除，两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数作为商的被开方数试一试试一试计算：计算：解：解：如果根号前如果根号前有系数，就有系数，就把系数相除，把系数相除，仍旧作为二仍旧作为二次根号前的次根号前的系数题型题型4 4：：最简二次根式１、被开方数不含分数；１、被开方数不含分数；２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；２、被开方数不含开的尽方的因数或因式；注意：分母中不含二次根式分母中不含二次根式。

练习1：把下列各式化为最简二次根把下列各式化为最简二次根式式二次根式二次根式乘除乘除运算的运算的一般步骤一般步骤：： 1.运用法则，运用法则，化归化归为根号为根号内的实数内的实数运算运算; 2.完成根号内完成根号内相乘相乘，，相除相除(约分约分)等运算等运算;3.化简化简二次根式二次根式.分子和分母乘除后分子和分母乘除后,分别分别分解素因数分解素因数,找找平方的项平方的项开出开出,不必马上乘出来不必马上乘出来(分母必须是平方的项分母必须是平方的项)多项式先因式分解多项式先因式分解,再乘除再乘除二次根式的乘除二次根式的乘除法法：： 1 1）根式）根式）根式）根式和根式按公式相和根式按公式相和根式按公式相和根式按公式相乘除 2 2）根号外）根号外）根号外）根号外的系数与系数相乘除，积为结果的系数的系数与系数相乘除，积为结果的系数的系数与系数相乘除，积为结果的系数的系数与系数相乘除，积为结果的系数第四部分第四部分二次根式的加减运算二次根式的加减运算梳理梳理 二次根式加减时，二次根式加减时，先先将二次根式将二次根式化化为最简为最简二次根式，二次根式，再再把把被开方数相同被开方数相同的的二次根式进行二次根式进行合并合并。

注意：注意：对被开方数相同的二次根式对被开方数相同的二次根式进行合并，进行合并，实质是实质是对被开方数相同的二对被开方数相同的二次根式的次根式的系数进行合并系数进行合并观察观察化简化简:每组二次根式在化简后有什么特点？每组二次根式在化简后有什么特点？ 几个二次根式化为几个二次根式化为最简最简二次根二次根式后，若被开方数相同，则这几个式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做二次根式就叫做同类二次根式同类二次根式梳理梳理题型题型5：：同类二次根式同类二次根式：化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式下列哪些是同类二次根式同类二次根式下列各组二次根式是否为同类二次根式？下列各组二次根式是否为同类二次根式？探究探究√×√×√如何判断？如何判断？ 判断几个二次根式是否为同类判断几个二次根式是否为同类二次根式的方法：二次根式的方法： 1、先化简：、先化简：把各个二次根式把各个二次根式都化为最简二次根式都化为最简二次根式 2、再观察：、再观察：化简后的二次根化简后的二次根式的被开方数是否相同式的被开方数是否相同。

梳理梳理例题讲解例题讲解计算计算:解：解：计算计算:加减混合运算，应加减混合运算，应从左向右从左向右依次计算依次计算探究探究解：原式解：原式=别漏了别漏了“1”.化简化简解：原式解：原式=归纳归纳 二次根式的加减与整式的加减根据都二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同是分配律，它们的运算实质也基本相同 二次根式的加减即为对同类二次根二次根式的加减即为对同类二次根式的合并式的合并 先化为先化为最最简简二次根式二次根式 把把同类同类二次根式二次根式合合并并（（合并系数合并系数）（（3）合并同类二次根式合并同类二次根式 一化二找三合并二次根式加减法的步骤：二次根式加减法的步骤：（（1）将每个二次根式化为最简二次根式；）将每个二次根式化为最简二次根式；（（2）找出其中的同类二次根式；）找出其中的同类二次根式；交流，归纳第五部分第五部分二次根式的综合能力二次根式的综合能力练习：练习：１１.已知　　　　　　　　　，求已知　　　　　　　　　，求x、、y的值的值.x=2，，y=3a≥≥4２２.已知已知 　　　　　　，求　　　　　　，求a的值的值. a- -4=9，则，则 a=133 3. .实数实数a a、、b b在数轴上对应点的位置如下图所示：在数轴上对应点的位置如下图所示： n≤≤12n = 3，，8，，11，，12是正整数，是正整数，则实数数n的最大的最大值是是________  ?1.计算下列各题计算下列各题:(1)(2)2.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ( )A. x≤1 B. x≥1 C. 0≤x≤1 D.一切有理数一切有理数试一试试一试化简：化简：(1) （（2）） (2)(3) (a＜＜0,b＞＞0)(4) (a＞＞1 ) (5) (1＜＜x＜＜3 )3 3、已知：｜、已知：｜a+b+4a+b+4｜｜+ =0+ =0，， 求：求：a a2 2+b+b2 2的值的值. . 4 4、已知、已知a,b,ca,b,c在数轴上的位置如下：在数轴上的位置如下： 求：代数式求：代数式 - -｜｜a+ba+b｜｜+ + + +｜｜b+cb+c｜｜的值的值. . 结果：结果：1010结果：结果：-a-a5 5、已知、已知y=2 +3 + ,y=2 +3 + ,求：求： + + 的值的值. (. (安徽省中考题安徽省中考题) )6 6、若｜、若｜x-y+2x-y+2｜｜与与 互为相反互为相反数，则数，则x=________x=________，，y=________. y=________. ( (徐州市中考题徐州市中考题) )结果：结果：5 5练习二：练习二：-2