第七节：斯托克斯公式.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度,一、斯托克斯公式,二、简单应用,三、物理意义环流量与旋度,四、小结 思考题,定积分,二重积分,三重积分,曲线积分,曲面积分,格林公式,高斯公式,计算公式,（平面）,斯托克斯公式,（空间）,各类积分之间的关系示意图,基本假定：,（1）,是分片光滑的有向曲面，是其,边界，,为分段光滑的有向曲线2）,的方向与,的侧向之间符合右手规则3）,P,、,Q,、,R,在,及 上具有一阶连续偏导数情形1：,与,平行于,z,轴的直线相交不多于一点此时,的方程可以表为：,（1）,取上侧在,xoy,面上的投影区域记为,相应地，,在,xoy,面上的投影为,C,C,的方向为逆时针方向1）,取上侧首先，可以证明,因为若,则必有,是,上对应的点，,且对于,上的一个小弧段,它在,xoy,面上的投影记为,则,在,x,轴上的投影,完全一样，都为,d x,所以上面等式两边的被积表达,式相等。

1）,取上侧首先，可以证明,由格林公式,所以,又,（1）,取上侧所以,（2）若,取下侧，上式仍成立,（3）若平行于,z,轴的直线与,的交,点多于一个，则类似于格林公式的处,理，可以说明上式也成立总之，在基本假定下，上式总,成立同理：,三式相加，并归类得,该等式称为斯托克斯公式,该等式称为斯托克斯公式,（1）在公式中，,的侧向与 的方向要符合右手规则,（2）为帮助记忆，引入如下行列式记号,按第一行展开，并约定,该等式称为斯托克斯公式,再利用关系式,公式又可以写成,（3）若,是,xoy,面上的平面区域,D,，则,（4）斯托克斯公式的一个典型应用是将左边的曲线,积分化为右边的曲面积分，再利用曲面积分的方法或,高斯公式进行计算，从而达到简化曲线积分的计算解,应用斯托克斯公式的一个关键步骤或技巧是,找一张曲面,：,它以,为边界，,且它的侧向,与,的方向符合右手规则本题中取,为 所围的三角形区域，,上侧又设,在,xoy,面上的投影区域为,例1:计算曲线积分,解,例1:计算曲线积分,解,例2：计算,其中：,为球面,与圆柱面,的交线，,若从,oz,轴正向看去，取逆时针方向,取以,为边界的球面为：,上侧，,在,+上应用斯托克斯,公式,例2：计算,解,例2：计算,解,二、物理意义-环流量与旋度,1.环流量的定义:,设有向量场,为场中一条有向闭曲线，,则称曲线积分,为该向量场沿有向闭曲线,的环流量。

其中,2.旋度的定义:,设有向量场,称向量,为该向量场的旋度，记为,即,设斯托克斯公式中的有向曲面,在点(,x,y,z,)处的,单位法向量为,则有,考察斯托克斯公式,故斯托克斯公式又可写成如下向量形式,物理意义,：向量场,沿有向闭曲线,的环流量,等于,的旋度场通过,所张的曲面 的通量（或流量）,其中，,的正向与 的侧向应符合右手规则四、小结,斯托克斯公式的物理意义,斯托克斯公式成立的条件,斯托克斯公式,。