高等材料力学课件第四章-应力应变关系.ppt

第四章 应力应变关系,静力平衡和几何变形 通过具体物体的材料性质相联系 材料的应力应变的内在联系 材料固有特性，因此称为物理方程 或者本构关系,目录 §4.1 弹性体的应变能原理 §4.2 广义胡克定理 §4.3 拉梅常量与工程弹性常数 §4.4 弹性体的应变能函数,能量原理是一个有效的分析工具 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数 根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程§4.1 弹性体的应变能原理,弹性体变形过程的功与能,能量守恒是一个物理学重要原理 利用能量原理可以使得问题分析简化 能量原理的推导是多样的，本节使用热力学原理推导外力作用,——弹性体变形,——变形过程外力作功,——弹性体内的能量也发生变化,§4.1 应变能原理2,设弹性体变形时，外力所做的功为dW，则,§4.1 应变能原理3,dW=dW1+dW2,dW1为表面力Fs所做的功 dW2 为体积力Fb所做的功,根据热力学第一定律,dW1+dW2=dE－dQ,dE为弹性体的内能增量 dQ为由外界输入热量,回代可得,§4.1 应变能原理4,如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换称为绝热过程。

绝热过程中，dQ=0,对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，设U0为弹性体单位体积的应变能,dW1+dW2=dE,§4.1 应变能原理5,设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分,如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但物体的温度保持不变，称为等温过程设等温过程中，输入物体的单位体积热量为dQ，熵的增量为dS，对于弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律,因此得格林公式,§4.1 应变能原理6,U0=E0 - TS ，所以在等温条件下，功能公式仍然成立如果材料的应力应变关系是线弹性的，则由格林公式，单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数T 为绝对温度， TS为输入单位体积的热能,dQ=TdS，Q=TS,应力应变关系属于材料性能 称为物理方程或者本构方程 单向拉伸或者扭转应力应变关系可以通过实验确定 复杂应力状态难以通过实验确定,§4.2 广义胡克定理,应力应变一般关系,对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰勒级数，并且可以略去二阶以上的高阶小量§4.2胡克定理2,广义胡克定理,§4.2 胡克定理3,上式中( f 1)0代表初始应力 根据无初始应力的假设，( f 1)0应为零。

对于均匀材料，材料性质与坐标无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常数因此应力应变的一般关系表达式可以简化为,系数Cmn（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有36个,一般的讲,是坐标的函数.,广义胡克定理,§4.2 胡克定理4,如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因此一般的讲，Cmn 是坐标x，y，z的函数 但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力 这一条件反映在广义胡克定理上，就是Cmn 为弹性常数广义胡克定理,工程材料，应力应变关系受到一定的限制 一般金属材料为各向同性材料 复合材料在工程中的应用日益广泛,§4.2胡克定理5,工程材料 各向同性材料 各向异性材料,完全各向异性弹性体,21个弹性常数,,§4.2 胡克定理6,Cmn=Cnm,具有一个弹性对称面的各向异性弹性体,§4.2 胡克定理7,具有一个弹性对称面的各向异性弹性体,§4.2 胡克定理8,C14=C16=C24=C26=C34=C36=C54=C56=0,变换后的应力和应变关系保持不变,具有一个弹性对称面的各向异性弹性体,§4.2 胡克定理9,13个弹性常数,正交各向异性弹性体,§4.2 胡克定理10,正交各向异性弹性体,§4.2 胡克定理11,C15=C25=C35=C64=0,9个弹性常数,两个弹性对称面,9个弹性常数,相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面， 第三个必为弹性对称面,拉压与剪切变形 不同平面内的剪切之间 称为正交各向异性,正应力仅与正应变有关； 切应力仅与对应的切应变有关。

没有耦合作用,§4.2 胡克定理12,正交各向异性弹性体,物理意义——物体各个方向上的弹性性质完全相同，即物理性质的完全对称 数学反映——应力和应变关系在所有方位不同的坐标系中都一样 金属材料——各向同性弹性体，是最常见的工程材料 弹性力学主要讨论各向同性材料各向同性弹性体,§4.2 胡克定理13,根据正交各向异性本构关系 各向同性材料沿x，y和z座标轴的的弹性性质相同； 弹性性质与座标轴的任意变换方位也无关,§4.2 胡克定理14,各向同性材料广义胡克（Hooke）定理,§4.2 胡克定理15,各向同性材料广义胡克（Hooke）定理,§4.2 胡克定理16,2C44 = C11-C12,l, m称为拉梅（Lame）弹性常数,§4.2 胡克定理17,各向同性材料广义胡克（Hooke）定理,各向同性材料 主应力状态 —对应的切应力分量均为零 所有的切应变分量也为零 所以，各向同性弹性体 应力主轴同时又是应变主轴 应力主方向和应变主方向是重合的,§4.2 胡克定理18,§4.3 拉梅常量与工程弹性常数,设体积应力为,将拉梅公式的前三式相加，可得,体积应变的胡克定理,应力表示本构方程,E为弹性模量 G为剪切弹性模量 v为横向变形系数——泊松比,§4.3 弹性常数2,杨,泊松,§4.3 弹性常数3,工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为,两个独立的弹性常数,实验测定： 单向拉伸实验可以测出弹性模量E 薄壁管扭转实验可以测定剪切弹性模量G,§4.3 弹性常数4,应变能,§4.4 弹性体的应变能函数,应变表示的应变能函数,应力表示的应变能函数,泊松比n恒小于1，所以U0恒大于零。

单位体积的应变能总是正的§4.4应变能2,。