平衡统计理论.doc

《平衡统计物理学》----------临界现象我们在一些细节上讨论过连续相变，已经发展了一系列近似方法处理强相互作用和高度相关的系统，尤其是平均场迫近和延伸，也有朗道相变理论我们证明了平均场理论的固有局限性，事实上相关函数在临界点附近有很大适用范围出于这个原因，基于小集群上的精确处理理论不再适用处理系统的正确临界行为我们这两章以理论的历史发展开始叙述，我们在 5.1 节以二维伊辛模型的昂色格关系推导开始，然后在 5.2 节讨论在 1950 到 1960 发展的一系列确定系统模型的临界性质的进一步方法5.3 节包含Widom，Domb，Hunter 和 Kadanoff 等的标度理论的讨论5.4 节扩展到一维或多维系统的标度理论在 5.5 节中，我们考虑普适性假设，检验理论和实验依据的符合关系最后 5.6 节我们简短的定性分析对于具有连续对称性的二维系统相变的 Kosterlitz-Thouless 机制关于那一点，我们会在某处讨论 Wilson 和其他人在 1970 年左右提出的对于临界现象的重整化群方法这个方法基于标度理论和普适性的严格理论，是第六章的主要问题5.1 二维伊辛模型在一篇具有里程碑式意义的论文中，昂色格确切的计算了在一个零磁场的矩形晶格中的二维铁磁伊辛模型的自由能。

这个计算结果提供了描述模型相变的第一种实在的解决方法昂色格的原始的推导十分复杂，由于他最开始的文章，一系列解决问题的新方法出现以下我们介绍一种叫 Schultz 的简洁的过程我们推导过程的目的是两方面的，本书大部分都是用紧束缚近似，我们觉得有必要展示至少一种在统计物理上的一般方法，作为平均场理论和重整化群方法的计算的直接例子第二点，我们常引用昂色格对于比热和序参量的直接结果，这样在没有推导过程的论证下读者会对这些结果不踏实对于这些具体细节没有兴趣的读者可以跳过前面到 5.1.4.5.1.4 热力学函数具备一些代数知识，我们就能容易的表示出零场自由能运用式和，12sin2sinKKKK2coth2cosh我们就有 qKKqcos2coth2coshcosh（5.42）现在考虑函数 20cos2cosh2ln21xdxf（5.43）通过对 的微分和对路径积分结果的估计，我们发现x或者   xsigndxxdf xxf（5.44）在取时 qx我们得到积分表达式  0cos2cos22coth2cosh2ln1qKKdq（5.45）我们定义 0020cos2cos22coth2cosh2ln211qKKdddqI（5.46）运用三角函数关系2cos2cos2coscosq改变积分变量2,221qwqw得到 2 0211022coscos42coth2cosh2ln1wwKKdwdwI（5.47）的积分形式如同 5.43，我们写成这种形式2w   2 12 00212102 0122cos2cos2coth2coshln1cos2ln1wwKKdwdwwdwdwI= 2 011 12 011cos22coth2coshcosh1cos2ln1wKKdwwdw（5.48）但是，所以1lncosh21xxx 0222sin11ln12coth2cosh2ln21KqdKKI（5.49）其中  KKKq2cosh2sinh22（5.50）最后的得到对于旋转自由能形式2 0222sin11ln12cosh2ln, 0qdKTg（5.51）在 5.50 中定义的函数，在处取得最大值，明显的 Kq12sinhK1q在方程右边的积分部分当时由于平方根不能消除，系统的旋转1q自由能有以下式子给出     qKKKJTgddTu1212tanh2212coth（5.52）在这里是第一类完全椭圆积分。

当时， 2 0221sin1qdqK1q，内部能量在相变过程中连续旋转比热可以012tanh22K Tc通过区分温度来获得一些分析表明       qKKtaanhKqEqKKKTckB122 11212222tanh12coth41 （5.53）其中是第二类完全椭圆积分 2 022 1sinh1 qdqE在附近比热容（5.53） ，近似表示为cT constTT TkJTckccBB   1ln2212（5.54） 比热的真实值和由平均场理论和朗道理论得到的不同之处很明显我们找到对数发散方法来取代在处的不连续现代临界现象理 Tc论中，比热的形式表示为（5.55）  cTTTc1昂色格的结果是这种幂律行为的特例函数的极限形式为 xXln11lim 0公式 5.54 似乎是时奇异幂律的特例0自发磁化的计算结果是当前推导的一般衍化，能够在 Schultz 和其他地方找到。

结果是 8/144200tanh16tanh11,lim   KKThghTmhcTT （5.56）0cTT （5.57）当，自发磁化的极限形式为ccTTTT  TTTTTmcc8/1 0就像在平均场理论中，在临界点处序参量有奇异幂律性，从平均场和朗道理论得到的指数，而不是5.56 的推导第一次被 Yang8121发表，但是昂色格早前在一次会议上公布过他的结论在时的cTT 零场磁化率条件下的渐进形式被人们所熟知cc hTTTThThmT4/70,, 0lim（5.58）上式中指数再次与经典值作比较明显的从上述结果看4/71出在临界点附近的自由能形式与朗道理论的假设相去甚远5.3 标度理论在本节中我们从不同角度的出发点认识问题，说明这些标度律在接近临界点附近的自由能有特定类型的结构5.3.1热力学理解我们第一次指出，热力学稳态让我们得出临界指数的不等式最简单的例子就是 Rushbrooke考虑一个磁力系统，处于一个连续场的比热和一个稳定磁场的，满足关系式HCMCHMHTTMTCC2  （5.77）其中是等温磁化率。

热力学稳态要求，，都要大HTHM THCMC于或等于 0.因此，2 1HTHTMTC  （5.78）我们考虑一个温度低于，但是无限趋近临界温度的零磁场系统cT我们得到12TTconstTTcc（5.79）导出 Rushbrooke 不等式：22（5.80）我们从 Stanley 的书中知道一系列相似的不等式被推导出来，以及更多的细节这些不等式的有意思之处在于他们看上去像是等式，仅仅只有一小部分的独立指数5.3.2 标度假设特别的，我们假设有一个合适的自由能是两个独立热力学变量的函数的系统在系统的临界点，这些系  HTGMTAMSEge,,,,,,.统有值和其他一些值我们有变量关系cccMHT,,ccccTTTtMMmHHh（5.81）同时考虑数量关系thmht   0, 0tt0tt hhtGttC    22 0 , 0tta（5.82）0ttthGhm  , 0 0tt hsignhhm/1, 0运用 Helmholtz 自由能，我们有系统稳态方程  mAh（5.83）许多作者都在自问什么样的自由能函数形式或者稳态方程才能得到正确的临界指数。

我们能从第三小节看出假定在临界点处的自由能分析如下.........41 21,4 42 20mamaamtA（5.84）在处，，对于状态方程我们有0tata 2    24maatamh从这个稳态方程，我们自然而然得到了经典临界指数3, 1,21, 0然而，我们把方程改写成/1cmtmh我们有的任意值如果我们在常量 处求微分，这个方程也是不满t足关系的我们有tmh给出的易变指数这种情况能够改变，如果我们假设状态方程 1/1cmth或者更一般的：/1,mtmh 其中是 的一个任意齐次函数/1/1/1/1,,mtmt（5.85）更系统的，我们假设在相变附近的奇异自由能变化是由标度变化而决定的，类似于htGhtGs,,（5.86）这种形式的自由能意味着会由下式得来hGmhtmhtms,,1（5.87）然而 htChtGhthts hs hs,,,,1212（5.88）现在我们考虑特殊情况，得到/1/1, 0,, 0htths        0 , 10 ,0 , 10 ,1, 0, 00 , 10 ,/12/12/1/1hss hssCttCttmhhmmttm（5.89）上式中的幂律部分的系数是在在远离奇点处由热力学函数0, 0ht推算出来的，简单的有限连续。

我们知道当临界指数存在于临界点位置两边的时候，他们是相同的 （5.90）但是幂律关系的前部因子大体上是不相同的，没有理由说是和一样的通过对比 5.82 我们发  0 , 10 , 1或者hC0 , 1-0 , 1或者hC现1121112sss（5.91）我们看到只有两个独立临界指数和标度关系从 5.91 得来就像我们看到的122（5.92）如果像 5.58 在附近对关联函数做类似的假设，能得到更多的标度cT关系5.5 普适类我们从 5.2 节看到不管基底结构是怎样的，三维伊辛模型的临界指数都是一样的，换句话说这些临界指数和二维伊辛模型，其他的一些如 Heisenberg 和 XY 模型的三维旋转模型都不一样自然的我们就想问系统的哪些特征在确定相变的性质上至关重要，我们心中有很多想法基底结构已经被排除了其他可能性包括粒子间相互作用的范围，量子自旋而不是经典自旋的大小，在真实液体而不是格子气中的连续自由相变，空间旋转维度，晶体场的影响等其他大量不同旋转系统的研究结论已经提出来了，现在越来越清楚的表明临界行为是与一系列细节无关的。

分形维数 和空间维度 是已经提出来影响临界指数的重要参dn数换句话说，我们能问一个系统是否有 Hamiltonian 量 ijiz ijiSDSSJH2（5.110） 空间维度为 3 的这个系统和同性 Heisenberg 模型具有相同的临界指数这表明这个模型和的伊辛模型有相同的临界行为，同时，1n我们的一些概念还需要细化从以往经验来看，有序相的对称性起到了关键作用当时的哈密顿量 5.110 作为其基态与所有自旋状态都沿。