《利息度量》PPT课件.ppt

1利息的度量：利息的度量：名义利率、名义贴现率、利息力名义利率、名义贴现率、利息力2上节主要内容回顾上节主要内容回顾l实际利率（i）＝利息/期初本金l实际贴现率（d）＝利息/期末累积值li 与 d 之间的关系（下页）：期初本金期初本金期末累积值期末累积值利息＝期末累积值－期初本金利息＝期末累积值－期初本金30111+ ii1- dd1v11- -v4累积函数：累积函数：贴现函数：贴现函数：5问题：问题：l考虑下述两笔贷款：l贷款100万，年利率为12％，每年末支付一次利息，每次支付12万l贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万l这两个利率有何不同？你愿意选择那笔贷款？为什么？l答案：第一个12％是年实际利率，第二个是年名义利率名义利率,对应的年实际利率为12.68％6本节主要内容：本节主要内容：l名义利率（nominal rate of interest）l名义贴现率（nominal rate of discount）l利息力（force of interest）l实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率和利息力的关系7l实际利率实际利率：在每个度量时期末结转一次利息（或称为复利一次）的利率，即在每个度量时期末，将当期的利息结转为下期的本金。

l名义利率名义利率：在一个度量时期内分多次结转利息的利率何谓名义利率？何谓名义利率？8l名义利率度量的是资本在一个小区间内（如一个月，一个季度等）的实际利率例如：l假设月实际利率为1%，那么与这个月实际利率相对应的年名义利率被定义为1%×12 = 12%l如果一个季度的实际利率为3%，那么与这个季实际利率相对应的年名义利率被定义为3%×4 = 12%9l年名义利率 i (m)（m ≥1，为整数）表示每年结转m次利息，即每 1/m 年支付一次利息，每次的实际利率为 i (m) / ml例例： i (4) = 8％ 表示每个季度结转一次利息，且每个季度的实际利率为2％l例例： i (12) = 6％ 表示每个月结转一次利息，且每月的实际利率为0.5％l问题问题：三个月定期存款的年利率为1.8％ ，含义是什么？l答案答案：表明i (4) ＝1.8%，三个月的实际利率为1.8%÷4，存1000元满3个月可得利息  1000 × 1.8 / 4 = 4.5 元名义利率的定义名义利率的定义10名义利率与实际利率的关系：名义利率与实际利率的关系：l名义利率与等价的实际利率有如下关系：                                                          或者            l由实际利率 i 也可以计算名义利率 i (m) ，即11l例例：贷款100万，年利率为12％，每月末支付一次利息，每次支付1万。

求等价的年实际利率是多少？l解解：l问题：如果每周支付一次利息，等价的年实际利率会如何变化（增加还是减少）？每天支付一次呢？12l   在年名义利率一定的条件下，每年的结转次数（复利次数）越多，年实际利率将越大年名义利率为年名义利率为10%时，年实际利率随复利次数的变化情况时，年实际利率随复利次数的变化情况年复利次数年复利次数年年实际实际利率利率年初的年初的1000元在年末的累元在年末的累积值积值10.100001100.0020.102501102.5040.103811103.81120.104711104.7152（（每周））0.105071105.07365(每天)0.105161105.1613l问题：年名义利率一定的情况下，如果复利次数m为无穷大，年实际利率会是多少？年复利次数年复利次数年年实际实际利率利率年初的年初的1000元在年末的累元在年末的累积值积值10.100001100.00365(每天)0.105161105.16∞e0.1-1=0.105171105.1714名义利率图名义利率图15lExample：Find the accumulated value of $500 invested for five years at 8% per annum convertible quarterly.lSolution： 8% per annum convertible quarterly 16lExample：If i is 5%, what is the equivalent i(4). if i(4)=5%, what is the equivalent i ?17l命题命题     当 m >1 时， i (m) < i ，其中 i 为等价的实际利率。

l证明证明： 注：18每年的结转次数小于每年的结转次数小于1时的名义利率时的名义利率l在 n 个时期支付一次利息的名义利率可以表示为 i (1/ n) ，其中 n 是大于1的正整数l名义利率 i (1/ n) 是指每 n 个时期支付一次利息，且每 n 个时期的实际利率为 i (1/ n) × nl例：例：2年期定期存款的年利率为 3.06%，其含义为i (1/ 2) = 3.06%l2年期的实际利率为 i (1/ 2) × 2 = 3.06% × 2 = 6.12%l问题：等价的1年期的实际利率为多少？19小常识小常识l定期存款若提前支取，按活期计息l利率从3.60%提高到3.87%，通常称作上调了27个基点一个基点为0.01%存款利率（％）存款利率（％）活期定    期3个月6个月1年2年3年5年0.352.602.803.003.754.254.75目前商业银行的存款利率：20l例例：假设储蓄业务的年利率如下，如何比较这些利率？存款利率（％）存款利率（％）活期定    期3个月6个月1年2年3年5年0.352.602.803.003.754.254.75问题问题：1万元可以投资一年，请比较投资3个月的定期存款和投资一年期的定期存款，那个合算？当3个月期的利率为多少时，两种投资没有差异？ 分析：分析：l3个月的实际利率为2.60％÷4＝0.65％，1年下来的累积值为l1年期存款的实际利率为3.00％, 1年下来的累积值为1.03l结论：直接投资1年合算。

l如果要求投资3个月期的定期存款等价于投资1年期的定期存款，则应有l由此可得23Example：：lEric deposits X into a savings account at time 0, which pays interest at a nominal rate of i, compounded semiannually. lMike deposits 2X into a different savings account at time 0, which pays simple interest at an annual rate of i. lEric and Mike earn the same amount of interest during the last 6 months of the 8th year. lCalculate i.24Therefore25Example：：lWhich rate is more favorable to an investor: l5% compound semi-annuallyl4.95% compound dailyl(note: assumed year is 12, 30-day months)(better)26名义贴现率名义贴现率(nominal annual rate of discount) l名义贴现率 d (m) （m > 1）l定义：名义贴现率 d (m) 是每1/m 时期之始支付一次贴现值。

也就是每 1/m 时期的实际贴现率是d (m) / m l由等价的定义l重新整理得27名义贴现率图名义贴现率图28lExample：Find the present value of $1000 to be paid at the end of six year at 6% per annum payable in advance and convertible semiannually.l（名义贴现率为6％，每半年贴现一次，第6年末的值为$1000，求其现值）l解解：l这相当于按3％的贴现率计算在12年末支付$1000的现值 29名义利率与名义贴现率的关系名义利率与名义贴现率的关系l（1）一般情况l（2）m＝pl（3）如果把 i (m)/m 和 d (m)/m 看作 1/m 计息期内等价的实际利率和实际贴现率，则30l例例：确定季度转换的名义利率，使它等价于月度转换     的6％的名义贴现率l解解：                ，31l例例：if d (4) = 5%, what is the equivalent i?l解解：32l例例：已知 i (12) = 5.58%。

求 i、d、 d (12) 、vl解解：33l由本例可以验证如下不等式：问题：你能推测出一个一般性规律吗？34讨论题讨论题l某人2006年1月1日在银行存入10000元，期限为1年，年利率为3%1月末，银行的1年期存款利率上调为4%请分析此人是否有必要对该笔存款转存？假设活期存款利率为1% 1年按360天计算，每月按30天计算l假设情景：l情景1：2007年1月末需要使用这笔存款l情景2： 存款到期后自动转存35l情景1：2007年1月末需要使用这笔存款l转存：都是1年定期和30天活期l情景2 存款到期后自动转存l考虑1年零30天后的累积值：36期初的1元在期末的累积值（等价度量工具之间的关系）：名义利率：名义贴现率：37l年实际利率度量了资金在一年内的增长强度（年平均）l名义利率度量了资金在一个小区间内（如一个月）的增长强度（月平均）l问题：如何度量资金在每一个时点上的增长强度？l在名义利率中，如果时间区间无穷小，名义利率就度量了资金在一个时点上的增长强度381.9 利息力利息力(force of interest)l定义定义：利息力度量了资金在每一时点（也就是在无穷小的时间区间内）增长的强度。

l假设 A (t) 为 t 时的金额函数，在时间区间[ t, t + h ]的实际利率为l年名义利率为（1年包含1/h个小区间）39l 为区间[ t , t＋h ]的利息增长强度 l 为在时刻 t 的利息增长强度（即 利息力）l数学定义：设积累函数连续可导，则时刻 t 的利息力为40累积函数和贴现函数的另一种表达式：累积函数和贴现函数的另一种表达式：                                                                      用 r 代替 t ，并将此式两边在0到 t 积分，得     从而有 因为41单利在单利在 t 时刻的利息力时刻的利息力l因为l所以时刻 t 的利息力为l单利的利息力是时间的递减函数42         l单贴现的利息力是时间的递增函数单贴现在单贴现在 t 时刻的利息力时刻的利息力43复利在时刻复利在时刻 t 的利息力的利息力l因为                l所以时刻 t 的利息力为l复利的利息力是常数常数！与时间无关。

                    称为复利的利息力44问题：复贴现在时刻问题：复贴现在时刻 t 的利息力？的利息力？l因为                l所以时刻 t 的利息力为l复贴现的利息力是常数常数！与时间无关l问题：与复利的利息力有何关系？45常数利息力常数利息力l从理论上讲，利息力是可以随时变化的但实际中的利息力通常是常数，即 在常数利息力下，累积函数可简化为注注：当利息力为常数时，实际利率也是常数但是，当实际利率为常数时，利息力未必是常数为什么？（见下例） 46假设年实际利率为i，则根据累积函数的公式有d1和d2有无穷多种取值47对利息力的另一个解释：对利息力的另一个解释：l当 m 趋于无穷时的名义利率就是利息力：48l问题问题：当 p 趋于无穷时的名义贴现率d(p)与利息力有何关系？49d d 与与 i, d, i(m), d(m) 的关系的关系di（证明略）50l例：例： 已知金额函数为                                                               并且     求 t＝1 / 2 时的利息力。

l解：解：首先解出m、k、l，51l从而，52l例：例：        基金A以利息力函数                          累积；                基金B以利息力函数                              累积            分别用           和          表示它们的累积函数              令                               ，计算使        达到最大的时刻T53l解解：由题设条件有l因此根据 h (t) 的定义得 h (t) = t – 2t2， h' (t) = 1 – 4t，因此当t ＝1/4 时，h (t) 达到最大541.10 贴现力贴现力 (force of discount)l用贴现函数a -1 (t) 代替积累函数，在 t 时刻的贴现力为 增加一个负号使得贴现力为正l利息力与贴现力相等： 因为：551.10 利率概念辨析利率概念辨析l实际利率和名义利率实际利率和名义利率：在经济学文献中，所谓的实际利率是指扣除了通货膨胀因素以后的利率；而名义利率是指没有扣除通货膨胀因素的利率。

l用i表示名义利率，用r表示实际利率，用 表示通货膨胀率，则有 (1 + i) = (1 + r)(1 + ) i = r +  + r 此式可近似表示为 i  r +  或 r  i－ l即实际利率近似等于名义利率减去通货膨胀率56l利率和贴现率：利率和贴现率：在某些经济学文献中，利率和贴现率是使用频率很高的两个概念，但这两个概念也经常被混淆尤其是在需要计算现值的场合，利率常常被误被称为贴现率l计算现值既可以应用利率，也可以应用贴现率，还可以应用利息力等 57小结小结 度量工具度量工具时时刻刻 t 的的积积累累值值时时刻刻0的的现值现值i(1+ i ) t v t = (1+ i) -ti (m)ded te-d td (p)d(1 – d ) -t(1 – d ) t5859l例：例：在2000年1月1日,小王在银行账户存入 X，按单利10%计息；在同一天，小张在另一个银行账户也存入X，按利息力 计息从第四年末到第八年末，两个账户赚取的利息相等，请计算 k。

60解：解：令2000年1月1日为零时刻，则对小王的账户有：从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为61对小张的账户有：从第四年末到第八年末，该账户赚取的利息为62由题意可知，这两个利息金额相等，即故有 k =120 。