2025高考数学一轮复习：空间向量及空间位置关系.pdf

2025高考数学一轮复习-7.5-空间向量及空间位置关系课程标准1 .空间直角坐标系(1)在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置.(2)借助特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式.2 .空间向量及其运算(1)经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.(2)经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3 .向量基本定理及坐标表示(1)了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示.(4)了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.知识梳理思维激活【必备知识】精归纳1 .空间向量有关概念单位向量：模为L 的向量.(2)共线向量：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线旦相乎行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.(3)共面向量：平行于同一个平面的向量.团点睛(1)0与任意向量平行.(2)空间中任意两个向量是共面向量，任意三个向量不一定是共面向量.2 .空间向量有关定理(1)共线向量定理：对空间中任意两个向量,以厚0),a/b的充要条件是存在实数2，使 二 .(2)共面向量定理：如果两个向量,b不共线，那么向量夕与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c 不共面，那么对任意一个空间向量夕，存在唯一的有序实数组(1,y,z),使=X”+助+zc.，4叫做空间的一个基底.3 .空间向量有关运算设 a=,42,的 ,/=(Z)i,bi,bi),坐标运算：贝 U a+b=3 +A ,+陵，ab+b)；a-b=(ai-bi,血-历，硝-M；(2)数量积运算：a b-ab+a2b2 +a3b3 -1all句 cos(a,b).团点睛向量”在向量上的投影向量设为向量c,向量c与向量万共线=cos储 K.4.空间向量有关公式空间两点间距离公式已知 P 1 Q 1，6,Z l f p2(x2 ,”2，则IP1P2I-/晨 一 +伍-口+卜-z l .空间两点的中点公式X1+X2x=2_ y i +y2y _F设点 P(x,y,z)为 P 1(X 1 ,yi ,Z i),P2(x2,/,Z2)的 中 点，则zi+Z2z=-1 2(3)空间向量共线与垂直公式a =(xi,yi,zi),b=(x2,yi,zi),其中 b丰0,贝U a _ L b=i r b =OQ X IM+yy2+Z1Z2=0.a /b=a =7 A=x i=2x2,y-如2,z i=上2(丸 R).(4)空间向量模与夹角公式若 a =Q i,y i,z i),=(X2,y2,zi),贝3 0=苗+yl+4 ；alj X1X2+yiy2+zZ2常用结论1 .对空间任意一点0,若三点P,A,B 满足期;人 理 oOP=xOk+y（x+y=1）=P ,力，5三点共线.2.证明空间四点共面的方法对空间任意一点。

若四点M,4,5满足=mMk+a稔=办 -xOM+yOk+z(x+y+z=1)P,M,A,B 四点共面.基 础 小 题 固 根 基教材改编结论应用易错易混1 ,24,53,61.（教材变式）如图所示，在平行六面体4 3 czM出Q i中，M为小G与B Q i的交 点 若 加=a,At）=b.A A c,则下列向量中与5次相等的向量是（）4C-2a+-b+c2B-2a-b+c2D-2a-b+c2a+-b+c2【解析】选A.M f=B2+AAI+AM-a +c+；(AiBi+A1D1)-a+c+-(“+)=-a+-b+c.2 7 2 22.（教材提升）如图所示，已知空间四边形43C Q的每条边和对角线长都为a,点E/,G分别是45.AD Q C的 中 点，则下列向量的数量积等于的是（）A.2B1 就 B.2Ab Bt)C.2F&-Cl D.2砂建【解析】选B.2曲二2阂|Zt|cos 120=-a2,2Zt)Bt)=2|J2)Bt)|cos 60=a2,2F&-Cl=2lF&l-C1 COS 180=2x|Xqx 1=-a2,2EP=Bt)=axaxcos 120=-.23.(向量运算错误)对于任意空间向量a,b,c,下列说法正确的是()A.若 allb 旦 bHc i 贝|a cB.=ab+acC.若 ab=ac,且 a 丰0,则=cD.(a b)c=a(b c)【解析】选B.若b=0,则 由a/b且8c,不能得出“c,A错；由数量积对向量加法的分配律知B正 确；若a b-a c,则a(b-c)=0,当c)时就成立，不一定有6=c,C 错；9 c是与c 平行的向量，a(b e)是与 平行的向量，它们不一定相等，D 错.4.(结论1)已知空间三点4(-1 ,1 ,2),3(0,3,5),。

1 ,5,4-用在一条直线 上，则实数上的值是()A.4 B.2 C.-2 D.-4【解析】选 D.因为空间三点4(-1 ,1 ,2),5(0,3,5),1 ,5,4-用在一条直线上，所 以 油=口，2,3，次=(2,4,2-0 ,故就？=2处.所以k=-4 .5.(结论2)在下列条件中，一定能使空间中的四点M,A ,B,C共 面 的 是()A.-2 9-防-OtJB.gJ g+J 仍 +-Ot5 3 2C.就+M t =0D.O M+通 +仍 =0【解析】选 C.根据向量共面定理，-xDk+yO+zOt，若 4 ,B,C 不共线，且4,5 ,C,M 共面，则其充要条件是x+_y+z=l,由此可得A,B,D 不正确；选项c：m 二-讯-就,所以M,A,B,C四点共面.6.(漏掉同向共线)已知向量a=(-2,1 ,4),Z=(-4,2,的夹角为锐角,则实数/的取值范围为（）A .（8 ,+oo）B .I 2 Jf 5 f 5 JC .I 2 j D .I 2 J U（8 ,+oo）【解析】选D.夹角为锐角，则“力=8 +2 +4/0，得A-；，-2 1 4当“、时，-=-=，彳 导，=8,_ 4 2 t所以t的取值范围为-1 q U（8,+8）.核心题型分类突破【题型一】空间向量的线性运算 典例1 K 1 X多选题）（2 0 2 2保定模拟）如图所示，M是四面体。

4 3的 棱 的 中点，点N段0M上，点夕段4N上，且4 P =3 Z W,讯=1 O k，设色=a,=b,Ot=c,则下列等式成立的是（）A.6M-b-c22B .H V =13b+-c-a3C.XP=-4b-c-a4 4=-a+【解析】选 BD.根据向量的加减法及数乘运算法则：皿 二;循+=1 +;c,故 A 选项错误；?1 1 1秋=At)+=At)+OM-At)+x(循+OtJ)=b+c-a,3 3 2 3 3故 B 选项正确；JP-3=3(1 b+-c-a)=-3 a+-b+-c,故 C 选项错误；4 4 3 3 7 4 4 4 人用 k,OP=Ok+JP=+(-3 a)+c=l ab+-c,故 D 选项正确.4 7 4 4 4 4 4(2)(2023昆明模拟)已知空间向量 a=(1,2,3),6=(3,-1 ,2),c=(-1 ,0,1)，贝 U a-+2c=.【解析】因为 =(1,2,3),Z =(3,-1 ,2),c=(-1 ,0,1),所以 a-b+2c=(1,2,3)-(3,-1 ,2)+2(-1 ,0,1)=(-4 ,3,3).答 案：(-4,3,3)方法提炼空间向量线性运算的解题策略1 .用已知向量来表示未知向量，结合图形，以图形为指导是解题的关键.2.将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.利用三角形法则、平行四边形法则、多边形法则把所求向量用已知向量表示出来.3 .空间向量的坐标运算类似平面向量的坐标运算.对点训练1 .（2023日照模拟）如图，在平行六面体中，石为41G的中点，若 璇 -xAAx+y+zAi）,则（）A1A.X=1 .y=2，Z=12B.A:=1 ,y=-121/z 二 一2C.x=1,y=l,z=12n 1 i 1D.x=-,y=l,z=-【解析】选B.由题意得,BE=BB,+B7A|+AE=AAi-AB-b|(A J+ATB)=AAj-AB+-AB+-AD=AA,-AB+-AD,所以乙 乙 乙 乙 乙 乙2.(2022 保定模拟)如图，在四面体OABC中，m =a,=b,O t=c,且H二;弦，波 二;反？,则 砂=（）A-3345+1 c4B-1+-4C.IQ*3 4 413D.-a+b+-3 44【解析】选 D.连接。

/，因 为 呼=1 比，4所以B =仍 +BP=+1 fft=3 +1(O t-)=-b+-c,444 4又 班=；El=1 a,所 以 砂=OP-=_；a+：+；c【加练备选】(2022宁波模拟)在平行六面体/BCZM iBiGA中 刀 为 的 中 点,F为BBi的中点，助=a,IP=b,l b=c,则 说=(),4 3,4 入 4A.a-b-c B.-a-b-c3 2 3 3 4 2,4 3 t 4C.a-b-c D.a-b-c3 3 3 2 3【解析】选 C.设 刊二nt,越=n,D E c,/DF7C贝 U曲=a=m+n+c,XP=b=n+m2所以n=b-2a=m+2所以wi二;a【题型二】共线、共面向量定理及应用典例2金榜原创易错对对碰对于空间中的四点4,B,C,P,若力+：衣，则 乙 5,C 三点O O()A.不共面 B.共面C.共线 D.不共线对于空间中的四点4,B,C,P,若 办=:衣+：充，则 乙 4,5，四O O点()A.不共面 B.共面C.共线 D.不共线【解析】选C.因为向量起点相同，系数和为1 ,所以5,C 三点共线.选B.由共面向量定理可得.(2)与向量=(1,-1 ,2)反向的单位向量的坐标为()A.-？，-，B.(个，一个 个)6 6 3 6 6 3ri _i IC.(-1 ,1 ,-2)D.12 7 2 7 J【解析】选 A.因为=；1+1+4=/6,XX 22所 以 与 向 量 反 向 的 单 位 向 量 为-二二 石 忑 一而一题多变 变式1 本例中“反向”改为“同向”.【解析】选 B.与向量同向的单位向量为A _/X J_ 2 一盗 盗 盗、一(比，-,m)一忆不，),变式2(多选题)本例中“反向”改为洪线”.【解析】选 AB.与向量共线的单位向量为n _./X X 2、_(巾 6 6)6 16士 一 (&，一&，加)一(4，一 不 公 威(-不 T 一了).(3)已知向量“=G,-1,2 =3,-2)=6,2,力，若 a,b,三向量共面，则实娄姒=()3 5A.-B.2 C.-D.32 2【解析】选 B.因为a,b,c三向量共面,所以存在实数加，“，使得c=ma+nb,即6,2,力=(3m,-m-2“5r ,m=3m-n=6 2所以3“-加=2，解得”=|,2m-2n=1 丸 一 2方法提炼1 .共线、共面向量定理的应用(1)向量共线可以用来判断直线平行、三点共线；(2)向量共面可以用来判断直线与平面平行，四点共面；(3)根据向量共线和向量共面求参数取值；(4)与 a 同向的单位向量为:，反向的单位向量为共线的单位向量为|a|aa2.证明四点P,M,Z,3 共面的方法(1)M P=xM k+yM ；对空间任意一点。

办 二皿+xM k+yM ；(3)对空间任意一点OP=x O M +yOk+z(x+y+z=1)；(4户 身处 或 陶/M 或闻 春f.对点训练1 .(2023杭州模拟)已知向量a=1-1 ,1 ,-=U,2，且左a+方与-2 互相平行，则 左 二()A.B.-C.-D.4552【解析】选 Dka+b=(-k+l,k,T),-26=(-3,1 ,-4),-k+1 k 2.i则-=,解得k=-.-3 1-4 22.(2022保定模拟)若 a,b,c 构成空。