抽象函数经典习题.doc

经典习题11. 若函数的定义域为,则函数的定义域为( )A. B. C. D.2. 若 A．102 B．99 C．101 D．1003. 定义R上的函数满足：（ ） A． B．2 C．4 D．64. 定义在区间（-1，1）上的减函数满足：若恒成立，则实数的取值范围是___________________.5. 已知函数是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_____________________.6. 已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围7. 已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: . (1)求的值; (2)判断的奇偶性,并证明你的结论; (3)若,,求数列{}的前项和.8. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

9. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0. (1)求; (2)求和; (3)判断函数的单调性,并证明.10. 函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③. (1)求的值; (2)求证: 在R上是单调减函数; (3)若且,求证:.11. 已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,. (1)证明:; (2)证明: 在R上单调递减; (3)设A=,B={},若 =,试确定的取值范围.12. 已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称. (1)求的值; (2)证明: 函数是周期函数; (3)若求当时,函数的解析式,并画出满足 条件的函数至少一个周期的图象.13. 函数对于x>0有意义，且满足条件减函数 （1）证明：； （2）若成立，求x的取值范围14. 设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有． （1）试判断函数的奇偶性； （2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数， 并证明你的结论 1. B 2. A 3. A 4. ,解:由得, ,得5. ；解：令，则，则………..① ∵函数是定义在(0,+∞)上的增函数 ∴,……………………………………………………② 由①②得，不等式的解集为。

6. ；解：等价于 7. （1）解：令，则 令，则 （2）证明：令，则，∵，∴ 令，则 ∴是奇函数 （3）当时，，令，则 故，所以∴∵∴，故∴8. （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 00, ∴令得,(2)任取任取,则令,故 ∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③∴∴∴函数是R上的单调减函数.(3) 由（1）（2）知，，∴∵∴，而∴∴11. (1)证明:令,则 ∵当时,,故,∴,∵当 时, ∴当时,,则 (2)证明: 任取,则∵,∴0<,故<0,又∵∴,故∴函数是R上的单调减函数. (3) ∵ 由（2）知，是R上的减函数，∴ ∵B={}= 又∵，∴方程组无解，即直线的内 部无公共点∴，故的取值范围是-12. (1)解:∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,令则∴=0(2)证明: ∵为R上的奇函数, ∴对任意都有,∵的图象关于直线对称, ∴对任意都有,∴ 用代得,∴,即∴是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，，当时，，∴图象如下： y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x13. (1)证明：令，则，故 （2）∵，令，则， ∴∴成立的x的取值范围是。

14. 解:（1）由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为, 从而知函数不是奇函数, 由 ,从而知函数的周期为 又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.经典习题21. 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3） 求证：f(0)=1；（4） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 02时，4. 已知f(x)在(－1，1)上有定义，f()＝－1，且满足x，y∈(－1，1)有f(x)＋f(y)＝f()⑴证明：f(x)在(－1，1)上为奇函数；⑵对数列x1＝，xn＋1＝，求f(xn);⑶求证(Ⅰ)证明：令x＝y＝0，∴2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0令y＝－x，则f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0∴f(x)＋f(－x)＝0 ∴f(－x)＝－f(x)∴f(x)为奇函数 (Ⅱ)解：f(x1)＝f()＝－1，f(xn＋1)＝f()＝f()＝f(xn)＋f(xn)＝2f(xn)∴＝2即{f(xn)}是以－1为首项，2为公比的等比数列∴f(xn)＝－2n－1(Ⅲ)解： 而∴ 6.已知函数的定义域为，且同时满足：(1)对任意，总有；(2)(3)若且，则有.(I)求的值；(II)求的最大值；(III)设数列的前项和为，且满足.求证：.解：（I）令，由(3),则由对任意，总有 （II）任意且，则 (III) ，即。

故即原式成立 7. 对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．(1) 若函数为理想函数，求的值；(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证．解：（1）取可得．又由条件①，故．（2）显然在[0，1]满足条件①；-也满足条件②． 若，，，则 ，即满足条件③， 故理想函数． （3）由条件③知，任给、[0，1]，当时，由知[0，1]，若，则，前后矛盾；若，则，前后矛盾．故 8. 已知定义在R上的单调函数,存在实数,使得对于任意实数,总有恒成立Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若,且对任意正整数,有, ,求数列{an}的通项公式； (Ⅲ)若数列{bn}满足，将数列{bn}的项重新组合成新数列，具体法则如下：……，求证：解：(Ⅰ)令，得，①令，得，，②由①、②得，又因为为单调函数，(Ⅱ)由（1）得，，，，(Ⅲ)由{Cn}的构成法则可知，Cn应等于{bn}中的n项之和，其第一项的项数为[1+2+…+(n－1)]+1=+1，即这一项为2×[+1]－1=n(n－1)+1Cn=n(n－1)+1+n(n－1)+3+…+n(n－1)+2n－1=n2(n－1)+=n3 当时，解法2：9.设函数是定义域在上的单调函数，且对于任意正数有，已知.（1）求的值；（2）一个各项均为正数的数列满足：，其中是数列的前n项的和，求数列的通项公式；（3）在（2）的条件下，是否存在正数，使 对一切成立？若存在，求出M的取值范围；若不存在，说明理由.解：（1）∵，令，有，∴.再令，有，∴，∴ （2）∵,又∵是定义域上单调函数，∵，，∴ ……①当时，由，得，当时， ……②由①－②，得，化简，得　，∴，∵，∴，即，∴数列为等差数列. ，公差.∴，故. 。