第一章行列式2.行列式的性质.ppt

第二节第二节 ：行列式的性质：行列式的性质 行列式的性质除了可以简化高阶行列式的计算外行列式的性质除了可以简化高阶行列式的计算外 ，在理论上也是很有意义的，在理论上也是很有意义的 1假设定理对假设定理对 n -1 n -1 阶行列式成立阶行列式成立 , ,2D D 为为 n n 阶时阶时 ，注意到，注意到 D D 的第的第 i i 行恰好是行恰好是性质性质1 1 说明行列式说明行列式行行所具有的性质所具有的性质 , ,列列也一样具有也一样具有, , 反之反之 , ,列列所具有的性质所具有的性质 , ,行行也一样具有也一样具有 3性质性质 2. 2.行列式互换两行行列式互换两行( (或两列或两列) )行列式的值反号行列式的值反号 证明证明 ：：1) 1) 先证互换相邻两行的情形先证互换相邻两行的情形 第第 i i 行行第第 i+1 i+1 行行其它行的元素不变其它行的元素不变4第第 i i 行行第第 i+1 i+1 行行52) 2) 再证交换任意两行的情形再证交换任意两行的情形 6性质性质 3 . 3 .行列式行列式 D D 中若有两行中若有两行( ( 或两列或两列 ) )元素元素 对应相等对应相等 ，则，则 D = 0 D = 0 。

推论推论: :行列式行列式 D D 中一行中一行( (列列) )元素与另一行元素与另一行( (列列) )对应对应 元素的代数余子式乘积之和为零元素的代数余子式乘积之和为零 即7第第 i i 行行第第 k k 行行i< ki< k8第第 i i 行行第第 k k 行行这个行列式这个行列式中有两行中有两行相同相同将上述推论与行列式展开定理合起来将上述推论与行列式展开定理合起来 ，有，有9下节克莱姆法则的证明要用到这个定理下节克莱姆法则的证明要用到这个定理 性质性质 4 · 4 · 用数用数 k k 乘行列式乘行列式 D D，等于用数，等于用数 k k 乘乘 行列式行列式 D D 中某一行中某一行( (或某一列或某一列) )的每个元素的每个元素 10 本性质也可以叙述为本性质也可以叙述为 ：行列式某行：行列式某行或某列或某列的的 公因子可以提到行列式的外面公因子可以提到行列式的外面 第第 i i 行行11 性质性质 5 · 5 · 若行列式若行列式 D D 中有两行中有两行( ( 或两列或两列 ) ) 的元素对应成比例的元素对应成比例 ，则，则 D = 0 D = 0 。

证明证明 ：由性质：由性质 3 3 ，，4 4 可得可得 —— —— 略略 性质性质 6 · 6 ·（行列式按某行或列分解）（行列式按某行或列分解）第第 i i 行行本性质本性质对对列列也成立也成立 12 称为将称为将 D D 按第按第 i i 行分解为两个行列式之和行分解为两个行列式之和 13第第 i i 行行第第 k k 行行14 这条性质在行列式的计算中用的最多这条性质在行列式的计算中用的最多 下面通过几个例子看行列式计算常用方法下面通过几个例子看行列式计算常用方法 15161718所以所以 D = 3 ×D1 = – 12 19D1 还有另一种算法还有另一种算法 , 观察观察 D1 发现发现 , 对角线以下的对角线以下的元素具有性质元素具有性质 ：： 第第 1 行加第行加第 2 行等于第行等于第 3 行的元素行的元素 ，， 第第 1 行加第行加第 3 行等于第行等于第 4 行的元素行的元素 可利用！可利用！20例例 3 . 计算计算 n 阶行列式阶行列式解：将第一行乘解：将第一行乘 (–1) 加到其余各行上加到其余各行上 ，得，得按第一列分解按第一列分解21 第第 i 列乘列乘1／／a i 加到第加到第 1 列上列上 ，， i = 2 , 3 …. n 。

222324 利用利用递推公式递推公式计算行列式也是常用方法之一计算行列式也是常用方法之一 ！！ 有时也会用有时也会用数学归纳法数学归纳法证明有关行列式的一些题证明有关行列式的一些题 目目 , 这时递推公式更有用这时递推公式更有用 ！！2526证明证明 ：对：对 s 用数学归纳法用数学归纳法 s = 1 时时 ，用定义按第一行展开即得结论，用定义按第一行展开即得结论 假设假设 s = m – 1 时时 ，命题成立，命题成立 s = m 时时 ，将左边按第一行展开，将左边按第一行展开  2728由归纳假设可得由归纳假设可得29 根据归纳法原理根据归纳法原理 ，定理普遍成立，定理普遍成立 ！！* 第二步用了归纳假设第二步用了归纳假设 ，第三步用定义按，第三步用定义按 第一第一行展开行展开 本节要求理解掌握本节要求理解掌握行列式的性质行列式的性质 ，，灵活应用灵活应用 ！进行！进行行列式的计算行列式的计算 。