考研线性代数必背公式(完整版).doc

1线性代数公式大全1、行列式1.行列式共有个元素，展开后有项项，可分解为行列式；n2n!n2n 2.代数余子式的性质： ①、和的大小无关；ijAija②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；A3.代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijij ijijijijMAAM  4.设行列式：nD将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；D1D(1) 2 1( 1)n n DD  将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；D90o2D(1) 2 2( 1)n n DD  将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；D3D3DD将主副角线翻转后，所得行列式为，则；D4D4DD5.行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；②、副对角行列式：副对角元素的乘积；(1) 2( 1)n n  ③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；    ◥◣④、和：副对角元素的乘积； ◤ ◢(1) 2( 1)n n  ⑤、拉普拉斯展开式：、AOACA BCBOB( 1)m nCAOAA BBOBC g⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；6.对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；nA1( 1)n nkn k k kEASkSk7.证明的方法：0A ①、；AA ②、反证法；③、构造齐次方程组，证明其有非零解；0Ax ④、利用秩，证明；( )r An⑤、证明 0 是其特征值； 2、矩阵1.是阶可逆矩阵：An （是非奇异矩阵）；0A （是满秩矩阵）( )r An 的行（列）向量组线性无关； A齐次方程组有非零解；0Ax ，总有唯一解；nbR Axb 与等价； AE可表示成若干个初等矩阵的乘积； A2的特征值全不为 0； A是正定矩阵；TA A 的行（列）向量组是的一组基； AnR是中某两组基的过渡矩阵； AnR2.对于阶矩阵： 无条件恒无条件恒成立；nA**AAA AA E3.1 **111**()()()()()()TTTTAAAAAA***111()()()TTTABB AABB AABB A4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5.关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：AB若，则：12sA AAA   OⅠ、；12sAA AALⅡ、；1 1 1 121 sA AAA    O②、；（主对角分块）111AOAO OBOB③、；（副对角分块）111OAOB BOAO④、；（拉普拉斯）11111ACAA CB OBOB⑤、；（拉普拉斯）11111AOAO CBB CAB 3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；mnArm nEOFOO 等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；A对于同型矩阵、，若；AB( )( )r Ar BAB:2.行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非 0 元素必须为 1；③、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）①、若，则可逆，且；(,)(,)r A EE X:A1XA②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；( ,)A BAEB1A B1( ,)(,)c A BE A B③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；nnAxb( , )(, )r A bE x:A1xA b4.初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；3②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 12n    O AiAiA③、对调两行或两列，符号，且，例如：；( , )E i j1( , )( , )E i jE i j1111111 ④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；( ( ))E i k11( ( ))( ( ))E i kE ik1111(0) 11kkk⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；( ( ))E ij k1( ( ))( ())E ij kE ijk111 11(0) 11kk k 5.矩阵秩的基本性质： ①、；0()min(, )m nr Am n②、；()( )Tr Ar A③、若，则；AB:( )( )r Ar B④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩可逆矩阵不影响矩阵的秩）PQ( )()()()r Ar PAr AQr PAQ⑤、；（※）max( ( ), ( ))( ,)( )( )r A r Br A Br Ar B⑥、；（※）()( )( )r ABr Ar B⑦、；（※）()min( ( ), ( ))r ABr A r B⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）AmnBns0AB Ⅰ、的列列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；B0AX Ⅱ、( )( )r Ar Bn⑨、若、均为阶方阵，则；ABn()( )( )r ABr Ar Bn6.三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）列矩阵（向量）行矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；②、型如的矩阵：利用二项展开式；1 01 001ac b  二项展开式：；01111110()n nnnmn mmnnnnmmn m nnnnnn mabC aC abC abCa bC bC a bLL注：Ⅰ、展开后有项；()nab1nⅡ、0(1)(1)!11 2 3!()!L L g g g L gmn nnnn nnmnCCCmm nmⅢ、组合的性质：；11 11 02  n mn mmmmrnrr nnnnnnnn rCCCCCCrCnC③、利用特征值和相似对角化：7.伴随矩阵：①、伴随矩阵的秩：；*( ) ()1( )1 0( )1nr An r Ar An r An   4②、伴随矩阵的特征值：；*1*(,)AAAXX AA AA XX③、、*1AA A1*nAA8.关于矩阵秩的描述：A ①、，中有阶子式不为 0，阶子式全部为 0；（两句话）( )r AnAn1n②、，中有阶子式全部为 0；( )r AnAn③、，中有阶子式不为 0；( )r AnAn9.线性方程组：，其中为矩阵，则：AxbAmn ①、与方程的个数相同，即方程组有个方程；mAxbm②、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；nAxbn10. 线性方程组的求解：Axb ①、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换只能使用初等行变换）；B②、齐次解为对应齐次方程组的解；③、特解：自由变量赋初值后求得；11. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：nmn①、；11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xb a xa xaxbaxaxaxb   L L L L L L L L L L L L L L②、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）1112111212222212nnmmmnmmaaaxb aaaxbAxbaaaxb   L L MMOMMM LAmnmn③、（全部按列分块，其中）；12 12nnx xaaax     LM12nb bb    M④、（线性表出）1122nna xa xa x L⑤、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）( )( ,)r Ar An n4、向量组的线性相关性1.个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；mnA12,,,m    Lnm12(,,,)mA L    个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；mnB12,,,TTT m   Lmn12TTT mB       M含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.①、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）0Ax ②、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）Axb ③、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）AXB 3.矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例 14)m nAl nB0Ax 0Bx 101P4.；(例 15)()( )Tr A Ar A101P5.维向量线性相关的几何意义：n ①、线性相关； 0 ②、线性相关坐标成比例或共线（平行）；,   ,   5③、线性相关共面；,,     ,,     6.线性相关与无关的两套定理： 若线性相关，则必线性相关；12,,,s    L121,,,,ss      L若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）12,,,s    L121,,,s    L若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：rAnrnB若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）ABBA简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7.向量组（个数为）能由向量组（个数为 ）线性表示，且线性无关，则(二版定理定理 7)；ArBsArs74P向量组能由向量组线性表示，则；（定理定理 3）AB( )( )r Ar B86P向量组能由向量组线性表示AB 有解；AXB （定理定理 2）( )( ,)r Ar A B85P向量组能由向量组等价（定理定理 2 推论推论）AB( )( )( ,)r Ar Br A B85P8.方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；A12,,,lP PPL12lAPPPL①、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解~r ABPABP0Ax0Bx ②、矩阵列等价：（右乘，可逆）；~c ABAQBQ③、矩阵等价：（、可逆）；~ABPAQBPQ9.对于矩阵与：m nAl nB ①、若与行等价，则与的行秩相等；ABAB ②、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；AB0Ax 0Bx AB③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵的行秩等于列秩；A 10. 若，则：m ss nm nABC ①、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；CAB ②、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）CBTA 11. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；0Bx 0ABx  ①、只有零解只有零解；0ABx 0Bx ②、有非零解一定存在非零解；0Bx 0ABx 12. 设向量组可由。