2023年数列求和的基本方法与技巧高一.pdf

学习必备 欢迎下载 数列求和的基本方法与技巧（高一） 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧下面，就几个方面来谈谈数列求和的基本方法和技巧 一、公式求和法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法 1、 等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2) 1(2)(11 2、等比数列求和公式：) 1(11)1 () 1(111qaaaqnaSnnn 3、 11123...(1)2nnkSknn n      2222211123...(1)(21)6nnkSknn nn    333332211123...(123...)[(1)]2nnkSknnn n         练习：①2122...2______________n  （注意：等比数列，共有 n+1 项） ②123...2_______________n   （注意：等差数列，共有2n项） ③已知2122...2nna    ， {}100na则数列的前项和为__________________ ④数列 7，77，777，7777, …，的一个通项公式为____________________ 例 1、 求和：nxxxx32 解：①当 x=0 时，, 0nS ②当 x=1 时，, nSn ③当 x0,且 x1 时， xxxxxxSnnn1111. 例 2、 已知3log1log23x，求nkkx1。

解：由212loglog3log1log3323xxx 由等比数列求和公式得 nkknxS1 nnnxxx211211)211 (211)1 ( 练习：设123...,nSn nN    ，求1( )(32)nnSf nnS的最大值. 二、分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或学习必备 欢迎下载 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 例 3、求和:nnyxyxyx111221, 1, 0yxx 解:原式=nxxxx32nyyy1112 = yyyxxxnn1111111 =nnnnyyyxxx1111 注意：若条件中未给出参数的条件，则应对 x=0,x=1,y=1 进行讨论 例 4、已知112345...( 1).nnSn      设，求1730512sss 分析：注意1 23456...1        解：17305028( 1)172 15( 1)[25( 1)51]47sss       例 5、 求数列的前n项和：211111 1,4,7,...,32,...nnaaa 解：设) 231() 71() 41() 11 (12naaaSnn 21111(1)(14732)nnaaa         当1a时，2) 13(nnnSn＝2) 13(nn  当1a时，2) 13(1111nnaaSnn＝2) 13(11nnaaan 例 6 求数列)}2)(1({ nnn的前n项和。

解：设kkkkkkak2332) 12)(1( ∴ nknkkkS1) 12)(1(＝)32(231kkknk 将其每一项拆开再重新组合得 kkkSnknknkn1213132 )21 ()21 ( 3)21 ( 2222333nnn 2) 1(2) 12)(1(2) 1(22nnnnnnn 列的求和都需要一定的技巧下面就几个方面来谈谈数列求和的基本方法有项注意等差数列共有项已知数列的一个通项公式为例求和解当时当时等比或学习必备欢迎下载常见的数列然后分别求和再将其合并即可例求学习必备 欢迎下载 2) 2() 1(2nnn 三、裂项求和法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解为(1)( )naf nf n 的形式，然后相互抵消，最终达到求和的目的。

通常有以下情形： （1）111) 1(1nnnnan （2）1111()(21)(21)2 2121nannnn （3）1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nan nnn nnn （4） 111nannnn   例 7、求和： 11321211nn 分析：由   1111nnnnnnan=   111nnnnnn=111nn 解：原式=1111113121211nnnn =111n=1nn 例 9、 求数列111,,...,,...12231nn的前n项和 解：设nnnnan111 则 11321211nnSn ＝)1()23() 12(nn ＝11n 例 9、在数列{}na中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{}nb的前n项的和. 解： ∵ 211211nnnnnan ∴ )111( 82122nnnnbn ∴ 数列{}nb的前n项和 列的求和都需要一定的技巧下面就几个方面来谈谈数列求和的基本方法有项注意等差数列共有项已知数列的一个通项公式为例求和解当时当时等比或学习必备欢迎下载常见的数列然后分别求和再将其合并即可例求学习必备 欢迎下载 )]111()4131()3121()211[(8nnSn ＝)111 ( 8n ＝ 18nn ＝11n 四、错位相减求和法 例 10、求和：nn212423132 分析：原式等价于 nnnn211212142132121321 其中 11 .2nnan，象这种通项公式由等差与等比的积组成的数列（混合积数列）的前 n 项和，联系课本中等比数列前 n 项和公式的推导过程，可采用错位相减法求得. 解：令nS 123111111234122222nnnn       ① nS21  234111111234122222nnnn      ② ①－②得：23111111122222nnnnS   nnnnS21212121212132 111122121212nnn     212 122nnn   332nn  练习：①求和：2323nxxxnx  （注意分类讨论） ②求和：132) 12(7531nnxnxxxS （注意分类讨论） 例 11、求和： .0127531132aanaaan 解：①当 a=1 时，12531nSn22121nnn ②当 a1 时，2311 357...21nnSaaana   ① naS  23135...2321nnaaanana  ② ① － ② 得 ： 2111 22221nnna Saaana  列的求和都需要一定的技巧下面就几个方面来谈谈数列求和的基本方法有项注意等差数列共有项已知数列的一个通项公式为例求和解当时当时等比或学习必备欢迎下载常见的数列然后分别求和再将其合并即可例求学习必备 欢迎下载 1112211nnaanaa    aanaaaSnnn1121122 五、对称项求和法（高斯法） 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是找到数列各项相应的对称项，两两结合相加。

有时可将原数列反序排列后再与原数列相加，称为反序相加法 例 12、 已知 1( )1f xx，求 111(1)(2)(3)...(2008)(1)( )( )...()232008ffffffff   分析： 1111( )( )111111xf xfxxxxx 解：原式111[ (1)(1)][ (2)( )][ (3)( )... [ (2008)()]232008ffffffff  1 1 1 ... 1200812008    （个 相加） 列的求和都需要一定的技巧下面就几个方面来谈谈数列求和的基本方法有项注意等差数列共有项已知数列的一个通项公式为例求和解当时当时等比或学习必备欢迎下载常见的数列然后分别求和再将其合并即可例求。