线性代数课件：3-1线性方程组的解的判定.ppt

§3.1 线性方程组的解的判定线性方程组的解的判定 一、非齐次线性方程组解的判定及求解一、非齐次线性方程组解的判定及求解二、齐次线性方程组解的判定及求解二、齐次线性方程组解的判定及求解一、非齐次线性方程组解的判定及求解一、非齐次线性方程组解的判定及求解线性方程组线性方程组记记: 系数矩阵为系数矩阵为A=(aij),则线性方程组可记为则线性方程组可记为: Ax=b.问题：问题：如何利用系数矩阵如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵和增广矩阵 B=(A|b) 来来讨论线性方程组讨论线性方程组 Ax=b 的解的解?  增广矩阵经增广矩阵经 行行 初等变换化为行最简形矩阵，初等变换化为行最简形矩阵，该阶梯形与方程组解的关系该阶梯形与方程组解的关系：行最简形矩阵行最简形矩阵中中非零行的行数非零行的行数< <未知量个数未知量个数无穷多解无穷多解该数不为零，该数不为零，无解无解行最简形矩阵行最简形矩阵中中非零行的行数非零行的行数= =未知量个数未知量个数唯一解唯一解任何矩阵总可以经过有限次任何矩阵总可以经过有限次初等行变换初等行变换化为行最简形化为行最简形.设设 R(A)=r , 还可设增广矩阵还可设增广矩阵 B=(A| b) 的行最简形为的行最简形为: 由此即可分析出定理结论由此即可分析出定理结论.定理定理3.1 n 元线性方程组元线性方程组 Ax = b 1) 无解的充要条件是无解的充要条件是 R(A) < R(A|b).2) 有唯一解的充要条件是有唯一解的充要条件是 R(A) = R(A|b)=n.3) 有无穷多个解的充要条件是有无穷多个解的充要条件是 R(A) = R(A|b)< n.记记 R(A) = R(A|b)= r < n ,例例1 1 判断非齐次线性方程组判断非齐次线性方程组是否有解是否有解? 若有解若有解, 求出其解求出其解. 解解故故方程组无解．方程组无解．例例2 2 判断非齐次线性方程组判断非齐次线性方程组是否有解是否有解? 若有解若有解, 求出其解求出其解. 解解得同解方程组得同解方程组:令令 x3=c1, x4=c2, 则方程组的通解为则方程组的通解为:将增广矩阵用将增广矩阵用初等行变换初等行变换化成行阶梯形矩阵化成行阶梯形矩阵, 便可便可判断其是否有解判断其是否有解. 若有解若有解, 再用再用初等行变换初等行变换化成行化成行最简形矩阵最简形矩阵, 写出同解方程组写出同解方程组, 便可写出其通解便可写出其通解.求解求解非齐次线性方程组非齐次线性方程组步骤步骤:例例3 3 设有线性方程组设有线性方程组问问   取何值时取何值时, 此方程组此方程组: (1)有唯一解有唯一解? (2)无解无解?(3)有无穷多个解有无穷多个解? 并在有无穷多个解时求其通解并在有无穷多个解时求其通解. 解解(1) 当当     1且且     2时时, R(A)=R(B)=3,方程组有唯一解方程组有唯一解.(2) 当当   =  2时时, R(A)=2, R(B)=3, 方程组无解方程组无解.(3) 当当  =1时时, R(A)=R(B)=1<3, 方程组有无穷多解方程组有无穷多解.此时有此时有:得同解方程组得同解方程组:令令 x2=c1, x3=c2, 通解为通解为:此种题型此种题型, 若若方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数, 则可考则可考虑用下面的解法虑用下面的解法:解解系数行列式系数行列式(1) 当当     1且且     2时时, |A|  0,方程组有唯一解方程组有唯一解.(2) 当当   =  2时时,∵ R(A)=2, R(B)=3, ∴方程组无解方程组无解.(3) 当当   = 1时时,此时有此时有:R(A)=R(B)=1,方程组有无穷多解方程组有无穷多解.得同解方程组得同解方程组:令令 x2=c1, x3=c2, 通解为通解为:二、齐次线性方程组解的判定及求解二、齐次线性方程组解的判定及求解定理定理3.2 n 元齐次线性方程组元齐次线性方程组 Ax =0 有非零解充要有非零解充要条件是系数矩阵的秩条件是系数矩阵的秩 R(A)