四川省南山中学2011至2012学年高二下学期期中考试数学理.pdf

打印版 打印版 2012 年 4 月 绵阳南山中学 2012 年春季高 2013 级半期考试 数 学 试 题（理科） 命题人：龙小平 审题人：王怀修 第 I 卷（选择题 共 48 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与 2a－b互相垂直，则k的值是（ ） A．1 B． 51 C．57 D．53 2、函数 f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是（ ） A.（-∞，2） B.（0,3） C.（1,4） D.（2，+∞） 3、若正四棱柱1111ABCDABC D的底面边长为 1，1AB与底面ABCD成 60°角，则11AC到底面ABCD的距离为（ ） A．33 B．1 C．2 D．3 4、如图，函数 yf x的图象在点 P 处的切线方程是 8yx  ，则  55ff （ ） A．2 B．1 C．12 D．0 5、i是虚数单位，已知复数41 3(1)3iZii，则复数 Z对应点落在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6、已知空间四边形OABC，其对角线为,OB AC，,M N分别是边,OA CB的中点，点G段MN上，且使2MGGN，用向量,,OA OB OC表示向量OG是 （ ） 打印版 打印版 A．111633OGOAOBOC B．112633OGOAOBOC C．2233OGOAOBOC D．122233OGOAOBOC 7、给出定义：若函数 fx在 D 上可导，即 /fx存在，且导函数 /fx在 D上也可导， 则称 fx在D上存在二阶导函数， 记 //fx= //fx， 若 //fx＜0 在 D 上恒成立， 则称 fx在 D 上为凸函数， 以下四个函数在0,2上不是凸函数的是（ ） A.  fx=sincosxx B.  fx=xxe C.  fx=321xx D.  fx=2xx㏑ 8、给出的下列不等式中，不成立的是（ ） A．20,(0,1)xxx B. sin,(0,)xx x C. ln,0xx x D. 1,0xex x  9、2008 年北京奥运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有 ( ) A. 48 种 B. 36 种 C. 18 种 D. 12 种 10、曲线ln(21)yx上的点到直线230xy的最短距离是 （ ） A．3 5 B．2 5 C．5 D．0 11、若函数) 1, 1(12)(3kkxxxf在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围是（ ） A．3113kk或 B．3113kkk或或 C．22k D．不存在这样的实数 k 12、已知函数 f x的定义域为1,5，部分对应值如下表，( )f x的导函数( )yfx的图像如图所示．下列命题中，真命题的个数为 （ ）． 第 12 题图 打印版 打印版 ① 函数( )yf x是周期函数；② 函数( )f x在0 2，是减函数；③ 如果当1,xt 时，( )f x的最大值是2，那么t的最大值为4；④ 当12a时，函数( )yf xa有4个零点，其中真命题的个数是 （ ） A．4个 B． 3个 C． 2个 D． 1个 第 II 卷（非选择题 共 52 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分，把答案填在答题卷的相应位置。

13、函数12)(xexxf,1 , 2x的最大值为 14、如图，111ABCABC是直三棱柱，90BCA，点1D、1F分别是11AB，11AC的中点，若1BCCACC，则1BD与1AF所成角的余弦值为 15、设( )f x是偶函数，若曲线( )yf x在点(1,(1))f处的切线的斜率为 1，则该曲线在点( 1,( 1))f处的切线的斜率为 16、给出下列命题： ①某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选修课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有60 种； ②对于任意实数 x，有, 0)( ', 0)( ',0),()(),()(xgxfxxgxgxfxf时且 则);( ')( ',0xgxfx 时 ③ 已 知 点M在 平 面ABC内 ， 并 且 对 空 间 任 一 点O，OCOBOAxOM3121 ，则x的值为 1； ④在正三棱柱111ABCABC中，若2AB ，11AA ，则点A到平面1A BC的距离为32，其中正确命题的序号是 三、解答题：本大题共 4 小题，共 40 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卷上的指定区域内 17、（本题满分 10 分）已知正方体 ABCD－A1B1C1D1， O 是底面 ABCD 对角线的交点. （1）求证：A1C⊥平面 AB1D1； D1ODBAC1B1A1C打印版 打印版 （2）求所成角的正切值与平面直线11DABAC 18、 （本题满分 10 分） 已知函数32( )f xxaxbxc,曲线( )yf x在点1x 处的切线为:310lxy ，若23x 时，( )yf x有极值 . （1）求, ,a b c的值； （2）求( )yf x在3,1上的最大值和最小值 . 19、（本题满分 10 分）已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是 边长为 2 的正方形，PD⊥底面 ABCD， E，F 分别为棱 BC、AD 的中点. （1）求证：DE∥平面 PFB； （2）已知二面角 P-BF-C 的余弦值为66， 求四棱锥 P-ABCD 的体积. 20、（本题满分10分）已知函数 2af xxx， lng xxx，其中0a ． （1）若1x 是函数   h xf xg x的极值点，求实数a的值； （2）若对任意的12,1x xe ，（e为自然对数的底数）都有 1f x≥ 2g x成立，求实数a的取值范围． 绵阳南山中学 2012 年春季高 2013 级半期考试数学试题参考答案及评分标准 一、选择题： CDDAB ABDBC A D 二、填空题： (13)2e (14) 1030 (15) -1 (16)②④ 三、解答题 17 证明：（1） 1CC 面1111ABC D 11!CCB D 1 分 又1111ACB D， 1111B DAC C 面 2 分 111ACB D即 3 分 同理可证11ACAB， 4 分 又1111D BABB 1AC 面11AB D 5 分 （2）法 1:建系求解，求出平面的法向量得 7 分，直线 AC 的向量得 8 分，求出正确结果的得 10 分； 法 2：直线 AC 与平面11AB D所成的角实际上就是正四面体 ACB1D1的一条棱与一个面所成ABECPDFD1ODBAC1B1A1C打印版 打印版 的角， 余弦值为33，从而正切值为2。

法 3：直线 AC 与平面11AB D所成的角实际上就是直线 AC 与平面11AB D 所成的角 法 2、法 3 指出线面角得 8 分，计算出正确结果得 10 分 18、解：（1）由32( )f xxaxbxc得，2( )32fxxaxb 1 分 当1x 时，切线l的斜率为 3，可得20ab ① 2 分 当23x 时，( )yf x有极值，得2( )03f  3 分 可得4340ab ② 由①②解得24ab ， 4 分 由于切点的横坐标为1x ∴(1)4f ∴14abc ∴5c  5 分 （2）由（1）可得32( )245f xxxx ∴2( )344fxxx 6 分 令( )0fx，得2x  ，23x  7 分 当x变化时，,y y的取值及变化如下表： 真确列出表得 9 分 x 3 ( 3, 2) 2 2( 2, )3 23 2( ,1)3 1 y + 0 - 0 + y 8 13 2795 4 ∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值为 13，最小值为2795 10 分 19、解：（Ⅰ）因为 E，F 分别为正方形 ABCD 的两边 BC，AD 的中点， 所以BEFD∥, 2 分 所以，BEDF为平行四边形, 3 分 得//EDFB， 4 分 又因为FB 平面 PFB，且ED 平面 PFB, 所以 DE∥平面 PFB. 5分 （Ⅱ）如图，以 D 为原点，射线 DA,DC,DP 分 ABECPDFxyz打印版 打印版 别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 6 分 设 PD=a, 可得如下点的坐标： P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0) 则有： (1,0,),(1,2,0),PFa FB 因为 PD⊥底面 ABCD，所以平面 ABCD 的 一个法向量为(0,0,1)m， 7 分 设平面 PFB 的一个法向量为( , , )x y zn，则可得 0= 0PFFBnn 即 0+ 2= 0xazxy 令 x=1,得11,2zya ，所以1 1(1,, )2 an. 8 分 由已知，二面角 P-BF-C 的余弦值为66，所以得: 216cos <,>||||6514aam nm nmn, 解得 a =2. 9 分 因为 PD 是四棱锥 P-ABCD 的高， 所以，其体积为182433P ABCDV . 10 分 20、解：∵ 22lnah xxxx，其定义域为0 ，， ∴ 2212ahxxx． 1分 ∵1x 是函数 h x的极值点，∴ 10h， 2分 即230a． 3分 ∵0a ，∴3a ． 4分 （2） 对任意的12,1x xe ，都有 1f x≥ 2g x成立等价于对任意的12,1x xe ， 都有 minf x≥ maxg x． 5分 当x［1，e］时， 110gxx ． ∴函数 lng xxx在1 e，上是增函数． ∴  max1g xg ee． 6分 打印版 打印版 ∵ 2221xaxaafxxx ，且 1,xe，0a ． ①当01a且x［1，e］时， 20xaxafxx， ∴函数 2af xxx在［1，e］上是增函数， ∴  2min11f xfa . 7分 由21a≥1e，得a≥e， 又01a，∴a不合题意． ②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则 20xaxafxx， 若a＜x≤e，则 20xaxafxx． ∴函数 2af xxx在1,a上是减函数，在ae，上是增函数． ∴  min2f xf aa. 由2a≥1e，得a≥12e， 又1≤a≤e，∴12e≤a≤e． 8分 ③当ae且x［1，e］时， 20xaxafxx， ∴函数 2af xxx在1 e，上是减函数．∴  2minaf xf eee. 由2aee≥1e，得a≥e， 又ae，∴ae． 9分 综上所述，a的取值范围为1,2e． 10 分 。