《指数函数的反函数》PPT课件.ppt

指数函数的反函数是什么指数函数的反函数是什么?课前准备课前准备•前天前天,周烨告知同学们周烨告知同学们,将在多媒体教室上一次分将在多媒体教室上一次分组讨论课组讨论课,课题是课题是“指数函数的反函数是什么指数函数的反函数是什么?”同时布置了讨论前的作业同时布置了讨论前的作业.该班是普通班该班是普通班,与特长与特长班相比班相比,学生数学基础普通较差学生数学基础普通较差,但不少学生还比但不少学生还比较喜欢上周烨老师的数学课较喜欢上周烨老师的数学课.这可能与周烨老师比这可能与周烨老师比他们年龄不大了多少有关他们年龄不大了多少有关.第一次听说上数学分组第一次听说上数学分组讨论课讨论课,学生们非常积极学生们非常积极,数学课代表邓晰昨天即数学课代表邓晰昨天即将全班同学按四人一小组分好将全班同学按四人一小组分好,并且每组的两台电并且每组的两台电脑已登记编号脑已登记编号.一切准备就绪一切准备就绪,学生们急切地等待学生们急切地等待这堂课的到来这堂课的到来.王玮的王玮的“发言发言”•虽说学生们对电脑并不陌生虽说学生们对电脑并不陌生,但数学课上用电脑但数学课上用电脑,却是头一次却是头一次.上课铃声一响上课铃声一响,整个多媒体教室异常安静整个多媒体教室异常安静.学生们打开电脑后学生们打开电脑后,急切新奇地注视着大屏幕前的老师急切新奇地注视着大屏幕前的老师,等待着老师发出操作命令等待着老师发出操作命令.不一会儿不一会儿,大屏幕与各组电脑屏幕上同时出现了同一个图形大屏幕与各组电脑屏幕上同时出现了同一个图形.•“ＹｅＹｅ……来劲来劲!”•一贯上课无精打采的王玮兴奋地叫了起来一贯上课无精打采的王玮兴奋地叫了起来.•周烨乘机问周烨乘机问:“王炜王炜,你知道屏幕上是什么函数图象吗你知道屏幕上是什么函数图象吗?”“嗯嗯……眼熟眼熟.”王玮支支吾吾答不出来王玮支支吾吾答不出来.•“笨蛋笨蛋,这不是指数函数图象吗这不是指数函数图象吗!”同组的张杰急不可待地骂了同组的张杰急不可待地骂了一句一句.•周烨连忙说周烨连忙说:“王玮同学今天上课能发言已经有了很大进步王玮同学今天上课能发言已经有了很大进步,相相信他会继续努力的信他会继续努力的,张杰你信吗张杰你信吗?”•张杰自知说话过重张杰自知说话过重,歉意地望了一眼王玮歉意地望了一眼王玮,王玮只好半怒半羞地王玮只好半怒半羞地低下头低下头.李奇说错了李奇说错了 •平息纠纷后平息纠纷后,周烨进入正题周烨进入正题:“正如张杰所说正如张杰所说,屏幕屏幕上是指数函数ｙ上是指数函数ｙ=2ｘｘ的图象的图象.如果我们将此图象关如果我们将此图象关于第一、三象限角的平分线ｙ于第一、三象限角的平分线ｙ=ｘ对称过去ｘ对称过去,会得会得到什么图象呢到什么图象呢?该图象对应的函数表达式是什么该图象对应的函数表达式是什么?下面请同学们随我一起操作下面请同学们随我一起操作.”周烨边说边领着学周烨边说边领着学生们利用取点、描对称点的操作生们利用取点、描对称点的操作,得到了ｙ得到了ｙ=2ｘｘ图图象关于直线ｙ象关于直线ｙ=ｘ的对称图象ｘ的对称图象.这次学生们没有再这次学生们没有再发出新奇的叫声发出新奇的叫声.各小组讨论片刻后各小组讨论片刻后,李奇连忙站李奇连忙站起来说起来说:“图象是ｙ图象是ｙ=2ｘｘ的反函数的图象的反函数的图象.”刚说刚说完完,李奇即得意地坐了下来李奇即得意地坐了下来.•“李奇说得很好李奇说得很好,但是李奇还没有告诉我但是李奇还没有告诉我,该图象该图象的函数表达式是什么的函数表达式是什么?你们谁能你们谁能……”•没等周烨问完没等周烨问完,刚坐下的李奇又站了起来刚坐下的李奇又站了起来,激动地激动地说说:“我知道我知道,表达式是ｘ表达式是ｘ=log2ｙｙ.”另一组的林另一组的林平立即反驳道平立即反驳道:“李奇说错了李奇说错了,ｙｙ=2ｘｘ的反函数表的反函数表达式是ｙ达式是ｙ=log2ｘｘ.”说完看了一眼李奇说完看了一眼李奇,一贯马虎一贯马虎的李奇觉察到自己的错误的李奇觉察到自己的错误,不好意思地摸了摸头不好意思地摸了摸头.•周烨马上严肃地说周烨马上严肃地说:“林平纠正得很好林平纠正得很好,有关如何有关如何求函数的反函数表达式问题求函数的反函数表达式问题,书上第书上第74页说得很清页说得很清楚楚,我们的讨论前作业里也有我们的讨论前作业里也有,你们应该有定期复你们应该有定期复习的习惯习的习惯,是吗是吗?”邓晰指明了一条探索路邓晰指明了一条探索路•“下面下面,我们将继续我们的探索我们将继续我们的探索,哪个小组能告诉同哪个小组能告诉同学们学们,函数ｙ函数ｙ=log2ｘ的定义域是什么ｘ的定义域是什么?道理何在道理何在?”周烨进一步设疑周烨进一步设疑.•张杰这时站起来肯定地说张杰这时站起来肯定地说:“我认为ｙ我认为ｙ=log2ｘ的定ｘ的定义域是正实数集义域是正实数集,因为ｙ因为ｙ=log2ｘ的图象在ｙ轴右边ｘ的图象在ｙ轴右边.”•“说得好说得好,那么函数ｙ那么函数ｙ=log2ｘ的值域是什么呢ｘ的值域是什么呢?”•“值域是Ｒ值域是Ｒ.”下面有学生回答下面有学生回答.•“道理何在道理何在?”见学生沉默不语见学生沉默不语,周烨进一步按自己周烨进一步按自己设想启发学生设想启发学生:“想一想原函数与反函数的关系想一想原函数与反函数的关系,好好吗吗?”•不一会儿不一会儿,邓晰这位一贯做事有条不紊的学生站起邓晰这位一贯做事有条不紊的学生站起来来,慢条斯理地说慢条斯理地说:“因为ｙ因为ｙ=log2ｘ与ｙｘ与ｙ=2ｘｘ互为互为反函数反函数,它们的自变量与因变量互换它们的自变量与因变量互换,定义域与值定义域与值域也应互换域也应互换,而ｙ而ｙ=2ｘｘ的定义域为实数集的定义域为实数集,值域为值域为正实数集正实数集,所以ｙ所以ｙ=log2ｘ的定义域为正实数集ｘ的定义域为正实数集,值值域为实数集域为实数集.”邓晰的话无疑给全班同学指明了一邓晰的话无疑给全班同学指明了一条路条路.各小组开始踊跃发言各小组开始踊跃发言.•学生学生1:“因ｙ因ｙ=2ｘｘ的图象过的图象过(0,1)点点,所以ｙ所以ｙ=log2ｘｘ通过通过(1,0)点点.”•学生学生2:“因ｙ因ｙ=2ｘｘ当ｘ当ｘ>0时ｙ时ｙ>1,当ｘ当ｘ<0时时0<ｙｙ<1,所以ｙ所以ｙ=log2ｘｘ,当ｘ当ｘ>1时ｙ时ｙ>0,当当0<ｘｘ<1时时,ｙｙ<0.”金小毅说出两种数学思想金小毅说出两种数学思想 •“我们今天探索的课题是指数函数的反函数是什么我们今天探索的课题是指数函数的反函数是什么?如果如果我们称指数函数的反函数为对数函数我们称指数函数的反函数为对数函数,那么它的表达式是那么它的表达式是什么什么?性质如何性质如何?”周烨进一步引导学生探索主题周烨进一步引导学生探索主题.•学生学生3:“函数ｙ函数ｙ=aｘｘ的反函数的表达式是ｙ的反函数的表达式是ｙ=logax,它的定它的定义域是正实数集义域是正实数集,值域为实数集值域为实数集.”•学生学生4:“因指数函数的图象皆过因指数函数的图象皆过(0,1)点点,所以对数函数的所以对数函数的图象皆过图象皆过(1,0)点点.”•“对数函数还有哪些性质呢对数函数还有哪些性质呢?”周烨见课堂有所平静周烨见课堂有所平静,又一又一次发问次发问.•过了一会儿过了一会儿,班长金小毅发言班长金小毅发言:“我们组认为应仿照指数函我们组认为应仿照指数函数的性质讨论数的性质讨论,分ａ分ａ>1与与0<ａａ<1两种情况讨论对数函数的两种情况讨论对数函数的性质性质:ａａ>1时与ｙ时与ｙ=log2ｘ性质一样ｘ性质一样;0<ａａ<1时时,因指数函数因指数函数当ｘ当ｘ>0时时0<ｙｙ<1,当ｘ当ｘ<0时时,ｙｙ>1,所以对数函数当所以对数函数当0<ｘｘ<1时ｙ时ｙ>0,当ｘ当ｘ>1时ｙ时ｙ<0.”周烨要求学生勤于思考周烨要求学生勤于思考•“对数函数还有其他性质吗对数函数还有其他性质吗?想想指数函数的性质想想指数函数的性质.”周烨又一周烨又一次引导学生思索次引导学生思索.下面出现了哗哗地翻书声下面出现了哗哗地翻书声,不一会儿不一会儿,李奇抢李奇抢着说着说:“我知道我知道,当ａ当ａ>1时时,指数函数单调递增指数函数单调递增,所以对数函数所以对数函数也单调递增也单调递增;当当0<ａａ<1时时,指数函数单调递减指数函数单调递减,所以对数函数也所以对数函数也单调递减单调递减.”•“李奇说得很好李奇说得很好.但是同学们是否思考过但是同学们是否思考过,是不是所有反函数与是不是所有反函数与其原函数的单调性皆一致呢其原函数的单调性皆一致呢?为什么为什么?”见时间不多了见时间不多了,周烨说周烨说道道:“这个问题留给同学们思考这个问题留给同学们思考,但同学们以后遇事应多问几个但同学们以后遇事应多问几个‘为什么为什么’.现在让我们来类比小结指数函数与对数函数的性现在让我们来类比小结指数函数与对数函数的性质质.”周烨在电脑屏幕上演示出指数函数与对数函数性质比较周烨在电脑屏幕上演示出指数函数与对数函数性质比较一览表一览表.•“叮铃铃叮铃铃……”下课铃响了下课铃响了.•“同学们同学们,下节课我们将通过具体观察函数图象下节课我们将通过具体观察函数图象,验证对数函数验证对数函数的性质的性质.但是你们回去应复习对数函数的运算法则但是你们回去应复习对数函数的运算法则,好吗好吗?”•“ｙｅｙｅ!……”案例问题案例问题•1.这堂课在多媒体教室上有必要吗这堂课在多媒体教室上有必要吗?•2.这堂讨论课对学生的益处何在这堂讨论课对学生的益处何在?•3.周烨在这堂讨论课上扮演的角色适当吗周烨在这堂讨论课上扮演的角色适当吗?有什么不足之处有什么不足之处?案例讨论前的作业单案例讨论前的作业单 •1.什么叫做一个函数的反函数什么叫做一个函数的反函数?•2.反函数与原函数的定义域、值域之间有什反函数与原函数的定义域、值域之间有什么关系么关系?•3.互为反函数的两函数图象有什么位置关系互为反函数的两函数图象有什么位置关系?•4.指数函数有哪些性质指数函数有哪些性质?案例概要案例概要•周烨教高一数学周烨教高一数学.她的学生的数学基础普遍较差她的学生的数学基础普遍较差.进校时进校时,大多数学生对数学缺乏兴趣大多数学生对数学缺乏兴趣,经过一个多经过一个多月的课堂教学气氛调整月的课堂教学气氛调整,大部分学生已经开始喜欢大部分学生已经开始喜欢周烨的数学课周烨的数学课.为了继续激发学生的学习兴趣为了继续激发学生的学习兴趣,周周烨领着学生在多媒体教室上了一堂题为烨领着学生在多媒体教室上了一堂题为“指数函指数函数的反函数是什么数的反函数是什么”的讨论课的讨论课.这是周烨的一种尝这是周烨的一种尝试试.虽然教学进度因此而拖延虽然教学进度因此而拖延,但是周烨在讨论中但是周烨在讨论中,了解了学生的数学思维能力了解了学生的数学思维能力,同时也看到了自己教同时也看到了自己教学的成果及不足学的成果及不足,她决定向传统教学模式进一步挑她决定向传统教学模式进一步挑战战.建议讨论的问题建议讨论的问题 （一）（一）•数学问题数学问题•●本案例所涉及的数学思想方法有哪些本案例所涉及的数学思想方法有哪些?数学教师该如何教数学教师该如何教学生发现问题、解决问题学生发现问题、解决问题?•●谈谈你是如何运用函数方程思想、数形结合思想、等价谈谈你是如何运用函数方程思想、数形结合思想、等价化归思想、分类讨论思想化归思想、分类讨论思想,教学生分析解决问题的教学生分析解决问题的?•●依据教材依据教材,你将教学生哪些数学解题通法你将教学生哪些数学解题通法?•●你认为传统的题海战术你认为传统的题海战术,在帮助学生掌握数学基本思想方在帮助学生掌握数学基本思想方法上法上,有多大作用有多大作用?•●数学教师应如何帮助每位学生数学教师应如何帮助每位学生(包括基础较差的学生包括基础较差的学生)掌掌握一些基本数学思想方法呢握一些基本数学思想方法呢?谈谈你的教学设想谈谈你的教学设想.建议讨论的问题建议讨论的问题 （二）（二）•评价学生的思维评价学生的思维•案例中案例中“王玮的发言王玮的发言”这个小纠纷说明什么这个小纠纷说明什么?•●学生学习的好奇心与学习兴趣之间的关系如何学生学习的好奇心与学习兴趣之间的关系如何?•●在小组合作学习中学生如何交流思想、讨论问题呢在小组合作学习中学生如何交流思想、讨论问题呢?你如何引你如何引导导?•李奇的第一次发言反映了学生的什么思维特点李奇的第一次发言反映了学生的什么思维特点?教师该如何评教师该如何评价价?•●你认为周烨的评价恰当吗你认为周烨的评价恰当吗?你会对李奇说什么你会对李奇说什么?•●教师应如何帮助李奇扬长避短教师应如何帮助李奇扬长避短,培养更佳的思维品质培养更佳的思维品质?•对张杰关于定义域的发言对张杰关于定义域的发言,你认为周烨处理恰当吗你认为周烨处理恰当吗?你会如何评你会如何评价张杰的发言呢价张杰的发言呢?•●张杰发言中的闪光点是什么张杰发言中的闪光点是什么?周烨没有及时给予肯定周烨没有及时给予肯定,你认为你认为这会对张杰产生何种影响这会对张杰产生何种影响?•●当学生思维与教师教学设想不一致时当学生思维与教师教学设想不一致时,你认为教师应如何处理你认为教师应如何处理?建议讨论的问题建议讨论的问题 （三）（三）•教学方法问题教学方法问题•你认为小组讨论式教学应如何组织你认为小组讨论式教学应如何组织?•●小组讨论式教学是否适合任何教学内容小组讨论式教学是否适合任何教学内容?•●教师该为小组讨论课做好哪些准备教师该为小组讨论课做好哪些准备?•●教师在小组讨论式教学中教师在小组讨论式教学中,应如何扮演角色应如何扮演角色?如何如何设疑引导讨论设疑引导讨论?•●教师应如何组织管理好小组讨论课教师应如何组织管理好小组讨论课?研究性学习研究性学习的组织管理原则、方法是什么的组织管理原则、方法是什么?小组讨论式教学是小组讨论式教学是否会影响教学进度否会影响教学进度,不利于学生完成应试教育不利于学生完成应试教育?建议讨论的问题建议讨论的问题 （四）（四）•你认为教师该如何运用多媒体辅助教学你认为教师该如何运用多媒体辅助教学?•●多媒体辅助教学的优点是增加学生的形象直观感多媒体辅助教学的优点是增加学生的形象直观感.有条件的学校有条件的学校,应鼓励学生学会使用电脑软件探究应鼓励学生学会使用电脑软件探究数学问题数学问题.然而然而,如何恰到好处地运用多媒体辅助如何恰到好处地运用多媒体辅助教学教学,仍是值得教师思索的问题仍是值得教师思索的问题.•●教师不应将多媒体电脑屏幕视为教师不应将多媒体电脑屏幕视为“电子黑板电子黑板”,也不应将自己当作放映员也不应将自己当作放映员.那么那么,在多媒体教学中在多媒体教学中,教师该如何扮演角色呢教师该如何扮演角色呢?•●你是怎样看待你是怎样看待“王玮挨骂王玮挨骂”这件事的这件事的?小组合作小组合作学习是否会抑制差生的参与意识学习是否会抑制差生的参与意识,教师在鼓励合作教师在鼓励合作小组竞争的同时该如何调动差生的学习积极性小组竞争的同时该如何调动差生的学习积极性?周周烨的处理方法恰当吗烨的处理方法恰当吗?建议讨论的问题建议讨论的问题 （五）（五）•改革传统教学模式改革传统教学模式,教师有什么重要作用教师有什么重要作用?•●国家教育部将研究性学习列入国家教育部将研究性学习列入《《全日制普通高级中学课程计全日制普通高级中学课程计划划》》,目的何在目的何在?•●为实施研究性学习为实施研究性学习,教师自身急需补充哪些知识教师自身急需补充哪些知识?•●教师应如何对研究性学习进行教学设计教师应如何对研究性学习进行教学设计?•●研究性学习的教学原则有哪些研究性学习的教学原则有哪些?教师应怎样贯彻于实际教学中教师应怎样贯彻于实际教学中?•数学课上应如何以学生为主体进行教学数学课上应如何以学生为主体进行教学?•●周烨尝试以多媒体激发学生学习兴趣周烨尝试以多媒体激发学生学习兴趣,以小组讨论形式鼓励学以小组讨论形式鼓励学生自主探索学习生自主探索学习,你认为这堂课以学生为主体展开学习恰当吗你认为这堂课以学生为主体展开学习恰当吗?学生为主体的研究性学习是否适合于任何教学内容、任何水平学生为主体的研究性学习是否适合于任何教学内容、任何水平的学生群体的学生群体?•●在以学生为主体的研究性学习中在以学生为主体的研究性学习中,教师的角色是什么教师的角色是什么?师生关师生关系怎样系怎样?•●研究性学习中研究性学习中,教师应怎样评价学生的表现和收获教师应怎样评价学生的表现和收获?建议讨论的问题建议讨论的问题 （六）（六）•扩展扩展•●设想一下设想一下,如果周烨及时肯定张杰发言中如果周烨及时肯定张杰发言中的数形结合思想的数形结合思想,换一种启发方式换一种启发方式,那么这那么这节课可能走入何种情境节课可能走入何种情境?你能设计一下教学你能设计一下教学进程吗进程吗?•●设计一份教案设计一份教案,谈谈如何替周烨上好下节谈谈如何替周烨上好下节课课,课上你将如何发挥学生的主体作用课上你将如何发挥学生的主体作用.。